2026年高考数学一轮复习专题课件：数列的综合应用

　数列的综合应用2026年高考数学一轮复习专题课件★★　题型一　 数列的实际应用 (人教A版选修二P38例11)去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)．【答案】　见解析【思路】　由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算． 【解析】　设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…＋6＋1.5n)当n＝5时，S5≈63.5.所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．状元笔记在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，或等差数列、等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理． 思考题1　(2025·重庆一中模拟)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，In表示第n周的虫害指数，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.02In－0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列{In}满足In＋1＝1.08In－0.46.当某周的虫害指数小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更低？【答案】　(1)见解析　 (2)设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】　(2)第9周题型二　 等差、等比数列的综合运算 (2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令 记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；【答案】　(1)an＝3n【解析】　方法一：(1)3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d.方法二：(1)3a2＝3a1＋a3⇒3(a1＋d)＝3a1＋a1＋2d，可得a1＝d，则an＝nd， (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.下面进行验证：整理可得(a1－d)(a1－2d)＝0，故a1＝d或a1＝2d，状元笔记高考命制数列综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，两者之间相互联系、相互转化，破解这类问题的关键是寻找通项公式．思考题2　(人教A版选修二P56T11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式．【答案】　(1)an＝2×3n－1【解析】　(1)由an＋1＝2Sn＋2，可得an＝2Sn－1＋2(n≥2)，两式相减可得an＋1＝3an(n≥2)，由于{an}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1＋2＝2a1＋2，解得a1＝2，所以an＝2×3n－1. (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】　(2)不存在，理由见解析因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k，从而(*)可以化简为k2＝mp.  可得k＝m＝p，这与题设矛盾．所以数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．题型三　 数列与不等式的综合应用　 (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，  记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通项公式；【答案】　(1)an＝2n＋3设{an}的公差为d，∴an＝5＋2(n－1)＝2n＋3.(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.【答案】　(2)证明见解析∴当n>5时，Tn>Sn.综上，当n>5时，Tn>Sn.状元笔记已知数列不等式恒成立求参数范围的综合问题的解题策略有：①分离参数法：对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题，优先考虑分离参数，再转化为最值问题处理；②单调性法：对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题，可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式，再求参数范围；③最值(有界性)法：对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题，一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界)，进而求出参数范围．【答案】　(1)证明见解析(2)求{an}的通项公式；【答案】　(3)证明见解析题型四　 数列中的新定义问题 (2024·新课标Ⅰ卷，节选)设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i