浙江省杭州北斗联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考试题 数学 Word版含解析含答案解析

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考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故选：C
2. 在中，已知，，，则等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理，，即，解得
故选：B.
3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断.
【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合.
故选：D.
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直定义及判定定理，逐一判断正误.
【详解】A中，若，，，则直线m，n平行或异面，所以A错误．
B中，若，，则或，所以B错误．
C中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知C正确．
D中，β，γ两平面可能相交或平行，所以D错误．
故选：C
5. 已知圆，圆，若与有公共点，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到两圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，依题意可得，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】圆则圆心，半径为，
圆则圆心，半径，
又，
因为与有公共点，则，又，
所以，即的最小值为.
故选：B
6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】解：在上的投影向量的坐标为
故选：B.
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p．
故选C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
8. 已知两点到直线距离分别为，则满足条件的直线共有（ ）
A. 条B. 条C. 条D. 条
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成以为圆心，半径分别为的两圆的公切线的条数，再判断出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
又，所以圆和圆外切，
当直线与圆和圆均相切时，两点到直线的距离分别为，
所以满足条件的直线共有条，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两直线与，则（ ）
A. 直线过定点B. 直线在轴上的截距为1
C. 当时，D. 当时，与之间的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项.
【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得.
所以直线过定点，选项A正确.
对于选项B，对于直线，令，则，解得.
所以直线在轴上的截距为，选项B错误.
对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即，
，解得，选项C正确.
对于选项D，当时，，解得.
此时，即.
两平行直线与之间的距离公式为.
对于与，距离，选项D错误.
故选；AC.
10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为
C. 直线平面
D. 二面角的大小为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，因为为正方体，所以,且，
所以四边形为平行四边形，所以，且，
所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.
再由正方体的性质可得为等边三角形，故，
即异面直线与所成的角为，故A错误；
对于B，由题意可知，，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，
所以，
因为为正方体，所以四边形为正方形，即，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理可证，又，平面，
所以平面，故 C正确；
对于D，由正方体的性质可知，平面，平面，
所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即，
所以是二面角的平面角，
因为为正方体，所以四边形为正方形，
所以，即，
所以二面角的大小为，故D 错误.
故选：BC.
11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
分析】A选项，令得；
B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；
C选项，赋值得到；
D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，令得，∴，A正确；
B选项，任选，且，中，令，得，
因为当时，，又，所以，
故，
所以在定义域上单调递增，B正确；
C选项，中，令得，
故，
故，C错误；
D选项，因为，所以，中，令得，
∵，∴，
由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确.
故选：ABD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为_________.
【答案】125°
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以，
设直线的倾斜角为，
则，
又，所以，
即直线的倾斜角为.
故答案为：
13. 已知椭圆的焦距为6，则的值为_________.
【答案】29
【解析】
【分析】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求得即可.
【详解】因为椭圆的焦距为6，所以．
当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得（舍去）；
当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得．
综上所述，的值为．
故答案为：．
14. 已知扇形OPQ中，半径，圆心角为，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，分别用含的三角函数表示，表示出矩形的面积，由矩形面积为1求得的最小值.
【详解】连接，设，则，
，，，
则，
则，即，
即，
∴当时，，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上.
(1)求值；
(2)求的值.
【答案】（1）（2）3
【解析】
【详解】（1）由于角终边在射线上，可设终边上一点 ，则，，
，，此时.
(2)，
∵，∴原式.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

（1）试用，，表示出向量；
（2）求与所成的角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；
（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．
【小问1详解】
因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以.
【小问2详解】
由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以．
17. 已知圆经过点和，其圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为，代入点的坐标，解方程即可求得圆的标准方程.
（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
设圆的标准方程为，
所以，
解得，
故圆的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）可知圆心为．
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即
由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或．
18. 如图，将边长为2正方形沿对角线折成一个直二面角，且平面，.
（1）若，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求实数的值，使得二面角的大小为60°.
【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，利用数量积为0，即可证得平面；利用向量的夹角即可求解正弦值.
（2）确定平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用二面角的大小为60°，结合向量的夹角公式，即可求求实数的值．
【小问1详解】
（i）证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方形的对角线相交于，
由于
则,
所以
设平面的一个法向量为，
取时，，
由于，故，
又不在平面内，所以平面；
（ii）平面的一个法向量为，,
设直线与平面所成角为，
则
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系，，
设平面的一个法向量为，则有
取时，，
，
设平面的一个法向量为，
则有
取时，，
由于二面角的大小为60°，故，
即，解得，
又，所以．
19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数.
（1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由；
（2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围；
（3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值.
【答案】（1）是“距”增函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“距”增函数.
（2）根据函数新定义可得对任意都成立，法1：根据二次函数的性质可求参数的范围；法2：参变分离后，设，证得函数在上为单调递减函数，则参数范围可求；
（3）根据函数新定义可得，分和两种情况进行讨论后可求函数的最小值.
【小问1详解】
函数是“距”增函数.
因为的定义域为
任取，
因为，所以，即，，所以，
所以，函数是“距”增函数.
【小问2详解】
因为函数，为“距”增函数
所以，对任意，
所以，
即，
因为，，所以，（**）
法1：因为函数图象开口向上且对称轴为
所以，函数在上单调递增
所以，当时，函数取得最小值为
若对任意都成立，则，即
因此，若函数，为“距”增函数，则.
法2：（接（**））即，对任意都成立，设
对于任意，且，
因为，所以，，，所以，
即，
所以，在上为单调递减函数
所以，，所以，
因此，若函数，为“距”增函数，则；
【小问3详解】
由题意可知，，若函数，为“2距”增函数
则，，
即
即，即，所以，，
所以，
由，设，
①当时，，且
则，
因为，所以，，，
所以，，即
所以，，所以，在上单调递增，
②当时，
当且仅当，即时，取得等号.
此时，，
综上，.
【点睛】“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.