广东省揭阳市榕城区真理中学2025—2026学年上册九年级数学期末模拟卷 [含答案]

这是一份广东省揭阳市榕城区真理中学2025—2026学年上册九年级数学期末模拟卷 [含答案]，共30页。试卷主要包含了如图所示的几何体，其俯视图是，已知关于x的方程，小亮和爸爸计划乘动车外出旅游等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．C．D．
2．已知关于x的方程（k﹣2）x|k|+x﹣4＝0是一元二次方程，则k的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．不能确定
3．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）
A．16B．14C．13D．25
题3 题4 题5
4．如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
5．如图，已知矩形ABCD面积为50cm2，HB＝2cm，BG＝4cm，AE＝2cm，FC＝5cm，则阴影部分的面积（ ）
A．23cm2B．22cm2C．21cm2D．20cm2
6．一次函数y＝kx+k2+1与反比例函数y=−kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若BC＝6cm，AB＝16cm，水面BF离桌面的高度为9.6cm，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A．10cmB．13.2cmC．14.4cmD．16cm
题7题8题9题10
8．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（2，﹣1），点C的坐标是（2，5），连接BD，则BD的长是（ ）
A．4B．6C．5D．29
9．如图，点A、B在双曲线y1=k1x（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2=k2x（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（ ）
A．﹣10B．﹣11C．﹣12D．﹣13
10．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为5：1，则sin∠DGE等于（ ）
A．1010B．55C．31010D．255
二．填空题（共5小题）
11．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝2，点P，Q分别是AB，AC的中点，连接PQ，DQ，则四边形ADQP的周长是 ．
题11 题13 题14 题15
12．对于实数a，b，定义：a*b＝a+b，a#b＝ab．若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）＝1，则x＝ ．
13．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2），B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点D的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB位于第一象限，∠ABO＝90°，点A、C在函数y=82x(x＞0)的图象上，其中点B与点C关于线段OA的垂直平分线对称，延长CB交x轴于点D，当S△OAB=62时，OD＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B在y轴上，点C到y轴的距离是3，AB＝BC，∠ABC是锐角且sin∠ABC=45，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
16．（1）计算：−tan45°+(−12)−1+20250−2cs60°；（2）解方程：2x2+4＝7x．
17．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中，作△ABC的中线BD；
（2）在图②中，在AC上找一点E，使AE=35AC；
（3）在图③中，以C为对称中心画一个中心对称四边形ABMN，且点M、N在格点上．
18．在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若BC＝3，CD＝4，求线段BF的长．
19．如图，已知A（﹣2，1），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx+b＜mx的解集．
20．2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
21．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角
∠DON＝32°．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
22．已知：双曲线y=kx(k＜0)．
（1）若直线y＝x﹣4与双曲线交于点（2，m），求k和m的值；
（2）在（1）的条件下，直线y＝x﹣4分别交x轴、y轴于点B、C，若▱BCPQ的顶点P在双曲线上，点Q在平面内，且▱BCPQ的面积是某个定值，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标；
（3）若点B（4，0），点A双曲线的第二象限，连接AO并延长AO交双曲线于点D，连接BD交双曲线于点E（点D在点E的左侧），连接AE交x轴于点F，若点A的横坐标为﹣1，求OF的长．
23．【阅读理解】在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有a+b≥2ab，当且仅当“a＝b”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若x＞0时，则有x+1x≥2x⋅1x=2，即x+1x≥2，当且仅当“x=1x”，即x＝1时，等号成立，从而x+1x有最小值为2．
【类比求值】（1）填空：若x＞0，则x+9x的最小值为 ，此时x＝ ；
【拓展应用】（2）若x＞0，求代数式2x2−5x+3x的最小值；
【问题解决】（3）现有一个面积为1.5的锐角三角形ABC，按照如图所示的方式裁剪正方形DEFG，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：
设DE＝x，AC＝a，AC边上的高BH＝h，最终推导出x=3a=h．
①请你补充该小组的推导过程；
②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可．由S△ABC为定值，即ah＝3，可得h+3a．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？
真理中学2025-2026学年度第一学期九年级数学科目期末模拟卷01
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
2．【答案】B
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意得|k|＝2且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小亮和爸爸相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；（A，B），（B，A），（D，E），（E，D），共4种，
∴小亮和爸爸相邻而坐的概率为412=13．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
4．【答案】B
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【解答】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是P2．
故选：B．
【点评】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
5．【答案】B
【分析】设矩形的长AB＝CD＝acm，宽AD＝BC＝bcm，得矩形ABCD面积＝ab＝50cm2，AH＝a﹣2，CG＝b﹣4，DF＝a﹣5，DE＝b﹣2，然后根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：设矩形的长AB＝CD＝acm，宽AD＝BC＝bcm，
∴矩形ABCD面积＝ab＝50cm2，
∵HB＝2cm，BG＝4cm，AE＝2cm，FC＝5cm，如图，
∴AH＝a﹣2，CG＝b﹣4，DF＝a﹣5，DE＝b﹣2，
∴阴影部分的面积=12×AE•AH+12×BH•BG+12×FC•CG+12×DF•DE
=12×[（2（a﹣2）+2×4+5（b﹣4）+（a﹣5）（b﹣2）]
=12×（﹣6+ab）
=12×（﹣6+50）
＝22（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
6．【答案】D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+k2+1中，k2+1＞0，
∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k＞0，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
7．【答案】C
【分析】过点C作桌面的垂线CM，垂足为点M，交BF于点N；过点B作桌面的垂线BP，垂足为点P；根据题意易得BP＝MN＝9.6cm，通过证明△CNB∽△APB，求出BN＝3.6cm，再根据勾股定理求出CN=BC2−BN2=4.8cm，最后根据CM＝CN+MN，即可求解．
【解答】解：过点C作桌面的垂线CM，垂足为点M，交BF于点N；过点B作桌面的垂线BP，垂足为点P，
∵水面BF离桌面的高度为9.6cm，
∴BP＝MN＝9.6cm，
∵BF∥AP，CM⊥AP，
∴CN⊥BF，
∵∠CBN+∠ABF＝∠ABP+∠ABF＝90°，
∴∠CBN＝∠ABP，
又∵∠CNB＝∠APB，
∴△CNB∽△APB，
∴BNBP=BCAB，即BN9.6=616，
解得：BN＝3.6，
根据勾股定理可得：CN=BC2−BN2=4.8（cm），
∴CM＝CN+MN＝4.8+9.6＝14.4（cm），
即此时点C离桌面的高度为14.4cm．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的应用，认识立体图形，关键是勾股定理的熟练应用．
8．【答案】B
【分析】连接AC，根据矩形的性质得BD＝AC，根据点A的坐标是（2，﹣1），点C的坐标是（2，5），得AC＝6，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（2，﹣1），点C的坐标是（2，5），
∴AC＝6，
∴BD的长是6，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
9．【答案】C
【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S△EKD＝S△AHD，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则S△ODE=S△OAD=14S△AOC=5，由AG∥y轴，得到OGOC=ADDC=15，则S△AGO=S△AHO=15S△AOC=4，则S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝1，则可求S△OEK=S△OED+S△EKD=6=12|k2|，即可求解k2的值．
【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，
由条件可知S△OAH=S△OBF=12k1，
∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，
∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH，
由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等，
∴AB∥FH，
∴四边形DHFB为平行四边形，
∴BF＝DH，
∵AH∥x轴，
∴∠DAH＝∠BCF，
∵∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
在△EKD和△AHD中，
∠EDK=∠ADH∠EKD=∠AHDAD=DE，
∴△EKD≌△AHD（AAS），
∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED，
∵AB＝3BC，
∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，
∴ED=14AC，
∴S△ODE=S△OAD=14S△AOC=14×20=5，
∵AG∥y轴，
∴OGOC=ADDC=13+1+1=15，
∴S△AGO=S△AHO=15S△AOC=15×20=4，
∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1，
∴S△EKD＝S△AHD＝1，
∴S△OEK=S△OED+S△EKD=5+1=6=12|k2|，
∵双曲线y2=k2x(x＜0)经过第二象限，
∴k2＝﹣12，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．
10．【答案】A
【分析】由题意得：a2+b2=(5x)2a−b=x，解得：a=2xb=x，进而求解．
【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为5x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG=2b，
由题意得：a2+b2=(5x)2a−b=x，解得：a=2xb=x，
在△GDE中，EG=2GH=2b，则NE＝ND=22ED=22b=22x，EG=2GH=2（a﹣b）=2x，
则tan∠DGE=NDGN=13，
则sin∠DGE=1010，
故选：A．
【点评】本题为解直角三角形综合运用题，涉及到正方形的性质，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【答案】5+5．
【分析】根据矩形的性质得AC=AB2+BC2，结合题意得PQ为△ABC的中位线，则AP=12AB、PQ=12BC和 DQ=12AC，即可求得周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=42+22=25，
∵点P，Q分别是AB，AC的中点，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴AP=12AB=2，PQ=12BC=12×2=1，DQ=12AC=12×25=5，
∴四边形ADQP的周长=PQ+AD+AP+DQ=1+2+2+5=5+5，
故答案为：5+5．
【点评】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质得AC=AB2+BC2解答．
12．【答案】−1+52．
【分析】根据新定义a*b＝a+b，a#b＝ab，可得1*x＝1+x，1#x＝x，则（1+x）#x＝x（1+x），再根据（1*x）#（1#x）＝1，可得：x（1+x）＝1，解一元二次方程求解即可．
【解答】解：∵a*b＝a+b，a#b＝ab，
∴1*x＝1+x，1#x＝x，（1+x）#x＝x（1+x），
∵（1*x）#（1#x）＝1，
∴x（1+x）＝1，即x2+x﹣1＝0，
∴x=−1±12−4×1×(−1)2=−1±52，
∴x1=−1+52，x2=−1−52，
∵x＞0，
∴x=−1+52．
故答案为：−1+52．
【点评】本题考查了解一元二次方程，理解新定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．【答案】（6，2）．
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出D点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，
∴B点与D点是对应点，
∵B点的坐标为（3，1），位似比为：1：2，
∴点D的坐标为：（6，2），
故答案为：（6，2）．
【点评】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键．
14．【答案】3．
【分析】先根据题意推出△ACO≌△OBA，然后通过设OD＝m分别求出点A和点C的坐标，进而判定EC是△OAF的中位线，并推出OA＝OF＝2m，最后利用两点距离公式建立关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【解答】解：如图，过点C作x轴的平行线交AO于点E，连接OC，延长AC交x轴于点F．
根据题意点B和点C关于线段AO的垂直平分线对称，则线段AC和OB也关于线段AO的垂直平分线对称．
∴四边形ACBO是等腰梯形，四边形ODCE为平行四边形．
根据轴对称的性质，△ACO≌△OBA，
∴S△AOC＝S△OAB＝62，
∵S△AOC＝S△AEC+S△OEC=12EC•yA，
设OD＝EC＝m，则S△AOC=12myA＝62，即yA=122m，xA=82m122=23m．
∴直线OA的函数解析式为：y=182m2x．
根据函数图象平移的性质，直线CD的函数解析式为：y=182m2（x﹣m）．
联立直线CD解析式和反比例函数y=82x(x＞0)求解点C坐标为（43m，62m）．
根据平行线分线段成比例可得：AEOA=ACAF=yA−yCyC=12．
∴EC为△AOF的中位线，
∴OF＝2EC＝2m．
又∵∠ACO＝∠ABO＝90°，
∴直线OC是线段AF的垂直平分线，
∴OA＝OF＝2m，
则OA2=xA2+yA2=（122m）2+（23m）2＝（2m）2，解得m＝3．
∴OD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称的性质，中位线定理，两点距离公式等知识点，根据轴对称的性质得出△ACO≌△OBA是解答本题的关键．
15．【答案】故答案为：8.5或4．
【分析】根据点C到y轴的距离是3可分为以下两种情况：（1）当点C在y轴的左侧时，此时又有两种情况：①当点B在y轴的正半轴上时，过点B作y轴垂线l，过点C作CG⊥AB于G，过点A作AF⊥直线l于F，在BF的延长线取一点D，连接AD，使∠ADB＝∠ABC，在FB上取一点E，连接AE，使∠E＝∠ABC，过点C作CK⊥直线l于K，则∠ADB＝∠ABC＝∠E，根据A（1，2），点C到y轴的距离是3得BK＝3，BF＝1，根据sin∠ADB＝sin∠ABC＝sin∠E=45，在Rt△CDF中设AF＝4a，AD＝5a，则DF＝3a，BD＝BF+DF＝3a+1，cs∠ADB=35，证明△BAD和△EBE全等得BD＝CE＝3a+1，AD＝BE＝5a，则EK＝BE﹣BK＝5a﹣3，根据cs∠E＝cs∠ADB=EKEC=35得a=98，则AF＝4a＝9/2，再由勾股定理求出AB＝BC=852，然后再求出CG=2855，进而可得△ABC的面积；②当点B在y轴的负半轴上时，同①可得△ABC的面积；（2）当点C在y轴的左侧时，只有一种情况，即点B在y轴的正半轴上，过点B作y轴垂线l，过点C作CG⊥AB于G，过点A作AF⊥直线l于F，在FB的延长线取一点D，连接AD，使∠D＝∠ABC，在BF上取一点E，连接CE，使∠BEC＝∠ABC，过点C作CK⊥直线l于K，则sin∠D＝sin∠ABC＝sin∠BEC=45，同（1）①得AF＝4a，BF＝3a，AD＝5a，cs∠D=35，BF＝1，BK＝3，BD＝3a﹣1，△ABD≌△BCE，进而得AD＝BE＝5a，CE＝BD＝3a﹣1，EK＝5a﹣3，再根据cs∠D＝cs∠BEC=EKEC=35，得a=34，进而得AF＝4a＝3，再由勾股定理得AB＝BC=10，然后再求出CG=4105，进而可得△ABC的面积；综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点C到y轴的距离是3，
∴有以下两种情况：
（1）当点C在y轴的左侧时，
∵点B在y轴上，
∴又有两种情况：
①当点B在y轴的正半轴上时，过点B作y轴垂线l，过点C作CG⊥AB于G，过点A作AF⊥直线l于F，在BF的延长线取一点D，连接AD，使∠ADB＝∠ABC，在FB上取一点E，连接AE，使∠E＝∠ABC，过点C作CK⊥直线l于K，如图1所示：
∴∠ADB＝∠ABC＝∠E，
∵点A的坐标为（1，2），点C到y轴的距离是3，
∴BK＝3，BF＝1，
∵sin∠ABC=45，
∴sin∠ADB＝sin∠ABC＝sin∠E=45，
在Rt△CDF中，sin∠ADB=AFAD=45，
∴设AF＝4a，AD＝5a，
由勾股定理得：DF=AD2−AF2=3a，
∴BD＝BF+DF＝3a+1，cs∠ADB=FDAD=35，
∴cs∠E＝cs∠ADB=35，
∵∠ABE＝∠BAD+∠ADB，
又∵∠ABE＝∠EBC+∠ABC，∠ADB＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠EBC，
在△BAD和△EBE中，
∠BAD=∠EBC∠ADB=∠EAB=BC，
∴△BAD≌△EBE（AAS），
∴BD＝CE＝3a+1，AD＝BE＝5a，
∴EK＝BE﹣BK＝5a﹣3，
∵cs∠E=EKEC=35，
∴5a−33a+1=35，
∴a=98，
∴AF＝4a=92，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=BF2+AF2=852，
∴BC＝AB=852，
在Rt△BCG中，sin∠ABC=CGAB=45，
∴CG=45AB=45×852=2855，
∴S△ABC=12AB•CG=12×852×2855=8.5；
②当点B在y轴的负半轴上时，过点B作y轴垂线l，过点C作CG⊥AB于G，过点A作AF⊥直线l于F，在BF的延长线取一点D，连接AD，使∠ADB＝∠ABC，在FB上取一点E，连接AE，使∠E＝∠ABC，过点C作CK⊥直线l于K，如图2所示：
（2）当点C在y轴的左侧时，只有一种情况，即点B在y轴的正半轴上，
过点B作y轴垂线l，过C作CG⊥AB于G，过点A作AF⊥直线l于F，在FB的延长线取一点D，连接AD，使∠D＝∠ABC，在BF上取一点E，连接CE，使∠BEC＝∠ABC，过点C作CK⊥直线l于K，如图3所示：
则∠D＝∠ABC＝∠BEC，
∴sin∠D＝sin∠ABC＝sin∠BEC=45，
同（1）①得：AF＝4a，BF＝3a，AD＝5a，cs∠D=35，BF＝1，BK＝3，BD＝3a﹣1，△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE＝5a，CE＝BD＝DF﹣BF＝3a﹣1，EK＝BE﹣BK＝5a﹣3，
∵cs∠D＝cs∠BEC=EKEC=35=3/5，
∴5a−13a−1=35，
∴a=34，
∴AF＝4a＝3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=AF2+BF2=10，
∴AB＝BC=10，
在Rt△BCG中，sin∠ABC=CGBC=45，
∴CG=45BC=45×10=4105，
∴S△ABC=12AB•CG=12×10×4105=4．
综上所述：△ABC的面积为：8.5或4．
故答案为：8.5或4．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，坐标与图形性质，三角形的面积等，熟练掌握坐标与图形性质，三角形的面积公式，灵活运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解决问题的难点，分类讨论是解决问题的易错点．
三．解答题（共8小题）
16．【答案】（1）﹣3；
（2）x1=7−174，x2=7+174．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零指数幂分别运算，再合并即可；
（2）把方程化成一般式，再利用公式法解答即可．
【解答】解：（1）−tan45°+(−12)−1+20250−2cs60°
=−1+(−2)+1−2×12
＝﹣3+1﹣1
＝﹣3；
（2）∵2x2+4＝7x，
∴2x2﹣7x+4＝0，
∴a＝2，b＝﹣7，c＝4，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，
∴x=7±172×2=7±174，
∴x1=7−174，x2=7+174．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键．
17．【答案】（1）作图见解析过程；
（2）作图见解析过程；
（3）作图见解析过程．
【分析】（1）取格点G、H，连接GH交AC于点D，连接BD即可；
（2）取格点P、F，连接PF交AC于点E，则点E满足条件，即为所作的点；
（3）延长AC到M，延长BC到N，且使AC＝MC，BC＝NC，显然M、N均是格点，依次连接AN，NM，MB，则可得四边形ABMN是中心对称图形．
【解答】解：（1）如图①，取格点G、H，连接GH交AC于点D，连接BD，则BD为所作△ABC的中线；
（2）如图②，取格点P、F，连接PF交AC于点E，则AE=35AC；
（3）如图③，延长AC到M，延长BC到N，且使AC＝MC，BC＝NC，显然M、N均是格点，依次连接AN，NM，MB，则可得四边形ABMN是中心对称图形．
【点评】本题考查了矩形的性质，中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
18．【答案】（1）见解析；
（2）45．
【分析】（1）根据矩形性质先判定四边形BEFD是平行四边形，然后有BE＝BD即可证明菱形；
（2）先根据矩形性质得到AD和AB的长度，然后用勾股定理算出BD即为DF，然后算出AF的长度，在利用勾股定理计算BF即可．
【解答】（1）证明：由矩形可得：BE∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴平行四边形BEFD是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=5，
由（1）得：DF＝BD＝5，
∴AF＝AD+DF＝8，
在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=42+82=45．
【点评】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是解题的关键．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）点A（﹣2，1）代入y=mx可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入y＝kx+b，可求出一次函数的解析式，即可；
（2）设直线AB与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，即可求解；
（3）直接观察函数图象，即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数图象过点A（﹣2，1）
1=m−2，解得：m＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=−2x，
把点B（n，﹣2）代入y=−2x得：
−2=−2n，解得：n＝1，
∴点B（1，﹣2），
把点A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b，得：
−2k+b=1k+b=−2，解得：k=−1b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）如图，设直线AB与x轴交于点C，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵点A（﹣2，1），B（1，﹣2），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×1+12×1×2=32；
（3）观察图象得：关于x的不等式kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键．
20．【答案】（1）月平均增长率是20%．
（2）售价应降低30元．
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+y2×4）件，根据使销售该公仔每天获利1200元，列出关于y的一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
根据题意得：5（1+x）2＝7.2，
解：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+y2×4）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+y2×4）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝20，y2＝10（不符合题意，舍去），
答：售价应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【答案】（1）BC＝20cm；
（2）BD＝3.8cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可；
（2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20cm；
（2）由题可知ON＝EC=12AC＝10cm，
∴NB＝ON＝10cm，
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm，
∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．【答案】（1）k＝﹣4，m＝﹣2．
（2）（﹣2，2）或（6﹣42，﹣6﹣42）或（6+42，﹣6+42）．
（3）2．
【分析】（1）先把点（2，m）代入直线y＝x﹣4求出m的值，再把（2，﹣2）代入双曲线表达式求得k值．
（2）根据题意先判定点P在双曲线第二象限只有一个位置，并根据双曲线的对称性求出该点坐标，然后根据直线平移规律求出点P在第四象限时直线PQ的解析式，与双曲线解析式联立即可求出点P在第四象限时的坐标．
（3）设点A坐标为（﹣1，﹣k）并得出点D坐标，然后根据待定系数法求出直线BD的解析式并与双曲线解析式联立求出D、E两点坐标，再通过构造AH∥GE，根据平行线分线段成比例求出OF的长度．
【解答】解：（1）把点（2，m）代入直线y＝x﹣4，m＝﹣2．
又因（2，﹣2）在双曲线y=kx上，则﹣2=k2，k＝﹣4．
故k＝﹣4，m＝﹣2．
（2）对于直线y＝x﹣4和双曲线y=−4x，联立两解析式可得：−4x=x﹣4，
整理得：x2﹣4x+4＝0，解得：x＝2，此时y＝﹣2，
故根据图象可以看出直线BC与双曲线的第四象限的这一支相切，切点M坐标为（2，﹣2）．
根据平行四边形的性质，PQ∥BC，
根据双曲线轴对称和中心对称的性质，结合▱BCPQ的面积是某个定值，且符合条件的点P有且只有三个，
可以得出：直线PQ与双曲线的第二象限的这一支相切或直线PQ与双曲线的第四象限的那支相交，这样符合条件的点P在第二象限只有一个，在第四象限有2个．
根据双曲线中心对称的性质，直线PQ在第二象限与双曲线相切时切点P与点M关于原点中心对称，则点P坐标为（﹣2，2）．
如图直线PQ交x轴于点K．
根据双曲线的轴对称性质，OK＝OB＝4，BK＝8，S△PCB＝S△KCB＝2S△OCB＝16．
当点P在第四象限时，由于S△PCB＝16，则点P到BC的距离和第二象限时点P到BC的距离相等．
根据直线平移的规律，PQ在第四象限时的解析式为y＝（x﹣8）﹣4＝x﹣12．
联立y=−4xy=x−12，解得：x=6−42y=−6−42或x=6+42y=−6+42，
故点P的坐标为（﹣2，2）或（6﹣42，﹣6﹣42）或（6+42，﹣6+42）．
（3）设点A坐标为（﹣1，﹣k），则点D坐标为（1，k），
设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点坐标代入得：
k=k1+b10=4k1+b1，解得k1=−k3b1=4k3，
∴直线BD的解析式为y=−k3x+4k3．
联立直线BD和双曲线的解析式得：y=−k3x+4k3y=kx，解得x=1y=k或x=3y=k3．
∴点D坐标为（1，k），点E坐标为（3，k3）．
过点A、E分别向x轴作垂线，垂足为H、G，则AH∥GE．
∴AHGE=FHFG，
∵AH＝yA＝﹣k，GE＝﹣yE=−k3，GH＝xG﹣xH＝xE﹣xA＝4．
∴FHFG=3，
∴FH＝3，
∴OF＝FH﹣OH＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线四边形的性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答本题的关键．
23．【答案】（1）6，3；
（2）26−5；
（3）①见解析；
②当底边长a为3时，内接正方形面积S最大，最大值为34．
【分析】（1）根据x+9x≥2x⋅9x=6，得到x+9x≥6，当且仅当“x=9x”，即x＝3时，等号成立，从而x+9x的最小值为6；
（2）化简代数式2x2−5x+3x=2x−5+3x，要使2x−5+3x最小，得到2x+3x最小即可．当x＞0时，2x+3x≥22x⋅3x=26，于是得到结论；
（3）①设DE＝x，AC＝a，AB边上的高BH＝h，则MH＝DE＝x，根据三角形的面积公式得到ah＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据a+3a≥2a⋅3a=23，得到当a+3a=0，即a=3a时，a+3a有最小值为23，此时a=3，于是得到结论．
【解答】解：（1）x+9x≥2x⋅9x=6，
即x+9x≥6，当且仅当“x=9x”，即x＝3时，等号成立，从而x+9x的最小值为6．此时x＝3，
故答案为：6，3；
（2）∵2x2−5x+3x=2x−5+3x，要使2x−5+3x最小，
∴2x+3x最小即可．
∵x＞0时，2x+3x≥22x⋅3x=26，
∴2x−5+3x的最小值是26−5，即2x2−5x+3x的最小值是26−5；
（3）①设DE＝x，AC＝a，AB边上的高BH＝h，则MH＝DE＝x，
∵锐角三角形ABC的面积为1.5，
∴12AC⋅BH=12a⋅h=1.5，
∴ah＝3，
∵△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BMBH，
∴xa=h−xh，
∴x=aha+h=3a+h；
②∵a+3a≥2a⋅3a=23，
∴当a+3a=0，即a=3a时，a+3a有最小值为23，此时a=3，
∴当a=3时，a+h有最小值为23，
∴x=3a+h有最大值32，
∴S＝x2有最大值为34，
即当底边长a为3时，内接正方形面积S最大，最大值为34．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，“均值不等式”的概念，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
B
D
C
B
C
A
A
B
D
E
A
（A，B）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，D）
（B，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，D）