2025-2026学年山东省济宁市高新区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（带答案和解析）

这是一份2025-2026学年山东省济宁市高新区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（带答案和解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是( )
A. 3，4，5B. 5，7，7C. 10，6，4.5D. 4，5，9
3.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线.则下列结论错误的是( )
A. BF=CF
B. ∠BAE=∠EAC
C. ∠C+∠CAD=90∘
D. S△BAE=S△EAC
4.下列各组数中是勾股数的是( )
A. 2，3，4B. 0.3，0.4，0.5C. 8，11，12D. 16，30，34
5.如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，BC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是( )
A. AB=CD
B. AB//DE
C. AC=DE
D. ∠B=∠DCE
6.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. HL
7.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
8.如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是( )
A. 16m
B. 18m
C. 22m
D. 24m
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点.若AB=10，BC=6，则线段CD的长为( )
A. 3B. 103C. 83D. 165
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC−BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这个三角形的面积是______.
12.在△ABC中，AB=AC，∠C=65∘，则∠B= .
13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50∘，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是______.
14.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 .
15.在等腰△ABC中，∠A=30∘，AB=6，如果CD为AB边上的高，则CD2= .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB//CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
17.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线l上找一点P，使得△BPC的周长最小；
(3)求△A′B′C′的面积．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，且AC=15cm，△BCD的周长等于25cm.
(1)求BC的长；
(2)若∠A=36∘，∠ABC=∠C，求∠DBC的度数.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)若∠B=76∘，∠C=30∘，求∠EAD的度数；
(2)若AD是△ABE的中线，AB=3，CE=5，△ABD的周长比△ADC周长小9，求AC的长.
20.(本小题8分)
已知：线段k，∠α，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法．
(1)求作：线段k的垂直平分线．
(2)求作：△ABC，使AB=BC=k，∠B=∠α.
21.(本小题8分)
数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70∘.
(1)∠AOB的度数为______；
(2)若∠ABC=60∘，求∠DAE的度数．
23.(本小题8分)
小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC=90∘.
(1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
(3)秋千的起始位置A处与距地面的高是______m.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形的概念可知：
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念．熟练掌握该知识点是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、3+4>5，满足三角形三边关系，故此项正确；
B、5+7>7，满足三角形三边关系，故此项正确；
C、10+6>4.5，满足三角形三边关系，故此项正确；
D、4+5=9，不满足三角形三边关系，故此项错误，
故选D.
本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
3.【答案】D
【解析】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，B说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90∘，
∴∠C+∠CAD=90∘，C说法正确，不符合题意；
∵BE≠EC，
∴S△ABE≠S△AEC，D说法错误，符合题意；
故选：D.
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数，不符合题意；
B、∵0.3、0.4、0.5不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+112≠122，∴8，11，12不是勾股数，不符合题意；
D、∵162+302=342，∴16，30，34是勾股数，符合题意，
故选：D.
根据勾股数的定义逐项分析即可解答．
本题主要考查了勾股数，熟知满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意；
B、由AB//DE推出∠A=∠CDE，而∠ACB=∠E，BC=CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意；
C、AC=DE，而∠ACB=∠E，BC=CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意；
D、∠B=∠DCE，而∠ACB=∠E，BC=CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意．
故选：A.
由全等三角形的判定方法，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
6.【答案】B
【解析】解：在△AOB与△COD中，
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
故选：B.
根据SAS可证明结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在△ODC和△O′D′C′中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
故选：A.
根据SSS 证明三角形全等即可．
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．
8.【答案】A
【解析】解：如图：
∵BC=7.5m，AC=4m，
∵∠C=90∘，
∴AB2=AC2+BC2，
即AB2=42+7.52，
∴AB=8.5m，
∴这棵树在折断之前的高度=8.5+7.5=16m.
故选：A.
根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
9.【答案】A
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，
即5DE+3CD=24，
∴CD=3.
故选：A.
利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=8，然后利用面积法得到12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，最后解方程即可．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了角平分线的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=90∘，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60∘，∠C=30∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=12∠ABC=30∘，
∴∠EBC=∠C，
∴EB=EC，
∴AC−BE=AC−EC=AE，①正确；
∵EB=EC，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，②正确；
∵∠BAC=90∘，∠ABE=30∘，
∴AEB=60∘，
∵AD⊥BE，
∴∠DAE=30∘，
∴∠DAE=∠C，③正确；
∵∠BAC=90∘，∠C=30∘，
∴BC=2AB，④错误，
故选：B.
根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
11.【答案】54
【解析】解：∵92+122=152，
∴△ABC为直角三角形，
∴这个三角形的面积是：12×12×9=54，
故答案为：54.
利用勾股定理逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后再求面积即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
12.【答案】65∘
【解析】解：如图，
∵AB=AC，∠C=65∘，
∴∠B=∠C=65∘，
故答案为：65∘.
根据“等腰三角形的两底角相等”求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】15∘
【解析】解：∵AB=AC，∠A=50∘，
∴∠ABC=12(180∘−∠A)=12(180∘−50∘)=65∘，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=50∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65∘−50∘=15∘.
故答案为：15∘.
根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
14.【答案】76
【解析】解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD=6×2=12，BC=5.
∵∠BCD=90∘，
∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2，
∴BD=13，
∴AD+BD=6+13=19，
∴这个风车的外围周长是19×4=76.
故答案为：76.
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
本题考查勾股定理在实际情况中的应用，并注意用隐含的已知条件来解答此类题．
15.【答案】3或9或27
【解析】解：等腰△ABC中，∠A=30∘，AB=6，CD为AB边上的高，分三种情况讨论：
当AB=AC=6时，如图1，作CD⊥AB，
∵∠A=30∘，
∴CD=12AC=3，
∴CD2=9；
当AB=BC=6时，如图2，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∠A=∠ACB=30∘，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=60∘，
∴∠BCD=90∘−∠CBD=30∘，
∴BD=12BC=3，
∴CD2=BC2−BD2=62−32=27；
当AC=BC时，如图3，作CD⊥AB，
∴AD=12AB=3，
∵∠A=30∘，
∴AC=2CD，
在Rt△ACD中，AC2−CD2=AD2，(2CD)2−CD2=32，
∴CD2=3.
综上所述，CD2为3或9或27，
故答案为：3或9或27.
根据题意分三种情况：当AB=AC=6时，当AB=BC=6时，当AC=BC时，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别解答即可．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题．
16.【答案】解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
(2)∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∠1=∠2∠ABE=∠CDFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(AAS).
【解析】(1)根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
(2)根据AB//CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)如图，点P即为所求；
(3)△A′B′C′的面积=3×4−12×1×2−12×3×2−12×4×2=4.
【解析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)连接BC′交直线l于点P，即可使得△BPC的周长最小；
(3)根据网格利用割补法即可求△A′B′C′的面积．
本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18.【答案】解：(1)∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长等于25cm，
∴BC+BD+CD=25cm，
∴BC+AD+CD=25cm，即BC+AC=25cm，
又∵AC=15cm，
∴BC=10cm；
(2)∵∠A=36∘，∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2=72∘，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=36∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBA=36∘.
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据三角形周长公式推出BC+AC=25cm，再由AC=15cm，可得BC=10cm；
(2)先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ABC=72∘，∠DBA=36∘，则∠DBC=∠ABC−∠DBA=36∘.
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
19.【答案】23∘；
7
【解析】(1)∵∠B=76∘，∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−76∘−30∘=74∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=37∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−∠B=90∘−76∘=14∘，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=37∘−14∘=23∘；
(2)∵AD是△ABE的中线，
∴BD=DE，
∵CE=5，
∴CD−DE=CD−BD=5，
∵△ABD的周长比△ADC周长小9，
∴(AC+CD+AD)−(AB+BD+AD)=9，
∴AC+CD−BD+AD−AB−AD=9，
∴AC−AB=9−5=4，
∴AC=7.
(1)根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE；
(2)根据三角形的中线的性质得到BD=DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，直线l即为所求．
(2)如图，△ABC即为所求．

【解析】(1)利用尺规作出线段k的垂直平分线l即可．
(2)作∠MBN=α，在射线BM，BN上分别截取BA=BC=k，连接AC，△ABC即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】9.8米；
8米．
【解析】解：(1)由题意得，∠ACB=90∘，BC=15米，AB=17米，CD=1.8米，
∴AC= AB2−BC2= 172−152=8(米)，
∴AD=AC+CD=9.8(米).
答：风筝离地面的垂直高度为9.8米；
(2)当风筝沿DA方向再上升12米，
所以A′C=AC+AA′=8+12=20米，
在Rt△A′BC中，∠A′CB=90∘，BC=15米，
由勾股定理，可得A′B= A′C2+BC2= 202+152=25(米)，
则应该再放出25−17=8(米)，
答：他应该再放出8米长的线．
(1)利用勾股定理求出的AC长，再加上CD的长度，即可求出AD的高度；
(2)根据勾股定理计算即可得到结论．
本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
22.【答案】解：(1)125∘；
(2)∵在△ABC中，AD是高，∠C=70∘，∠ABC=60∘，
∴∠DAC=90∘−∠C=90∘−70∘=20∘，∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=50∘，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=12∠CAB=25∘，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25∘−20∘=5∘，
∴∠DAE=5∘.
【解析】【分析】
本题考查了三角形高线，角平分线，三角形内角和定理，角的计算，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
(1)根据角平分线的定义得出∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC=180∘−∠C=110∘，进而可求解；
(2)根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出∠CAE=12∠CAB=25∘，根据∠DAE=∠CAE−∠CAD，即可求解．
【解答】
解：(1)∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，
在△ABC中，∠C=70∘，
∴∠BAC+∠ABC=180∘−∠C=110∘，
∴∠AOB=180∘−∠OAB−∠OBA=180∘−12(∠BAC+∠ABC)=125∘.
故答案为：125∘；
(2)见答案.
23.【答案】(1)△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90∘，OB=OC，
∵∠BOC=90∘，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90∘.
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，
∠COE=∠OBD∠CEO∠ODBOC=OB，
∴△COE≌△OBD(AAS)；
(2)∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD，OE=BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD=2.4m，OE=1.8m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=2.4−1.8=0.6(m)，
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM=1.2m，
∴EM=DM+DE=1.8(m)，
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；
(3)0.6.
【解析】解：(1)△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90∘，OB=OC，
∵∠BOC=90∘，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90∘.
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，
∠COE=∠OBD∠CEO∠ODBOC=OB，
∴△COE≌△OBD(AAS)；
(2)∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD，OE=BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴OD=2.4m，OE=1.8m，
∴DE=OD−OE=CE−BD=2.4−1.8=0.6(m)，
∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM=1.2m，
∴EM=DM+DE=1.8(m)，
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；
(3)∵OA=OB= OD2+BD2= 2.42+1.82=3(m)，
∴AM=OD+DM−OA=2.4+1.2−3=0.6(m).
∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m.
故答案为：0.6.
(1)由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
(2)由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=BD，求出DE的长则可得出答案；
(3)因为OA=OB，由勾股定理求得OB，再根据AM=OD+DM−OA便可求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m.牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m.
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
(1)运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度AD.
(2)如果想要风筝沿DA方向再上升12m，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
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