安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期2月开学考试数学试题

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期2月开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l:x−ay+1=0过点(−1,1)，则l的倾斜角为( )
A. 0B. π4C. π2D. 3π4
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=S15，且a7=3，则a1=( )
A. −3B. 0C. 3D. 6
3.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−6x+8=0的位置关系为( )
A. 外切B. 相交C. 外离D. 内含
4.已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且PO=λPA+13PB+12PC(λ∈R)，则PO⋅PB=( )
A. 13B. 23C. 34D. 43
5.已知双曲线x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线与直线2x+y−3=0垂直，则双曲线的焦距为( )
A. 2 3B. 4 3C. 2 5D. 4 5
6.已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且1a1+2+1a2025+2=12，则T2025=( )
A. 2024B. 2025C. 22024D. 22025
7.如图，圆锥PO的底面圆周上有A，B，C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2，则直线CD和平面PBC所成角的正弦值为( )
A. 13B. 49C. 33D. 2 23
8.1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：x3+y3−3axy=0，则下列说法错误的是( )
A. 当a=2时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为A(2,2)
B. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
C. 笛卡尔叶形线关于直线y=x对称
D. 当a=2时，若点P(x,y)是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则x2+y2的最大值为18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知{an}满足a1=3，an+1=3an3+2an(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A. a2=1
B. {1an}是等差数列
C. an=2n−13
D. 设{anan+1}的前n项和为Sn，则Sn=9n2n+1
10.定义：λ曲线的方程为(x2+y2)2−4y2=λ(λ是常数).若点P在λ曲线上，O是坐标原点，A(2,2)，则下列说法正确的是( )
A. 当λ=0时，|AP|的最小值为 5−1
B. 当λ=1时，|OP|的最小值为 5−2
C. 当λ=0时，|AP|的最大值为 13+1
D. 当λ=1时，|OP|的最大值为 5+2
11.已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AP=AB+λAD+μAA1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 当μ=1时，三棱锥B−A1CP的体积为定值
B. 当λ=1时，△BD1P周长的最小值为 3+ 5
C. 当λ=13时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D. 当|AP|= 2时，D1P2的最小值为4−2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列{an}中，a3+a5=5，a6+a8=40，则{an}的公比为 .
13.已知空间三点A(1,2,1)，B(1,3,2)，C(2,3,1)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 .
14.已知点O为坐标原点，点F是抛物线E:y2=4x的焦点，且A(4,4)，连接AF并延长交抛物线E于点B，则△OAB的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2−2x+y2−4y−11=0，点P为圆C上一点.
(1)若点Q为CP的中点，求动点Q的轨迹Ω的方程;
(2)过坐标原点O的直线l被曲线Ω截得的弦长为2 3，求直线l的方程.
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，AB= 3，AD=1，BC=2 3，∠ABC=120∘，∠BAD=90∘，E为PC的中点.
(1)证明：BE//平面PAD;
(2)求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2 3，过F1作直线交E于A，B两点，|AB|的最小值为4.
(1)求E的方程;
(2)若AF1=3F1B，过F2作与AB关于y轴对称的直线交E于C，D两点，求四边形ACBD的面积.
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn=n(n+2)，正项数列{bn}满足bn2=bn+1bn−1(n≥2)，且a2−b2=a3−b3=3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(2)设cn=bnan2+bn+1an+1−bn+2Sn，求证：数列{cn}为等比数列;
(3)求数列{an+1⋅bn+1}的前n项的和Tn.
19.(本小题12分)
已知每项均不为0的数列{an}满足：a1=1，(an+1an+1)(an+1−an−2)=0.
(1)若a4=−5，求a2的值;
(2)若an>0(n∈N*)，bn=(910)n⋅an，求数列{bn}的最大项;
(3)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在满足条件的数列{an}，使得S2025=2025?如存在，求出这样的数列的一个通项公式;若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由直线l:x−ay+1=0过点(−1,1)，得−1−a+1=0，解得a=0，
则l:x=−1，故l的倾斜角为π2.
故选C.
2.【答案】D
【解析】解：由S10=S15得，S15−S10=a11+a12+⋯+a15=5a13=0，∴a13=0.
∵a1+a13=2a7=6，∴a1=6.
3.【答案】A
【解析】解：圆C1：x2+y2=4的圆心C1(0,0)，半径r1=2，
圆C2：x2+y2−6x+8=0，即(x−3)2+y2=1的圆心C2(3,0)，半径r2=1，
所以|C1C2|=3，
所以|C1C2|=|r1+r2|.
所以两圆外切．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得，λ=1−12−13=16，
且PA⋅PB=PC⋅PB=1×1×csπ3=12，
所以PO⋅PB
=(16PA+13PB+12PC)⋅PB
=16PA⋅PB+13PB2+12PC⋅PB
=16×12+13+12×12
=23.
故选B.
5.【答案】D
【解析】解：双曲线x2a2−y24=1(a>0)的渐近线方程为y=±2ax，
所以2a⋅(−2)=−1，解得a=4，因此双曲线的焦距为2 42+22=4 5.
故选D.
6.【答案】D
【解析】解：由题意得，1a1+2+1a2025+2=a1+a2025+4a1⋅a2025+2(a1+a2025)+4=12，
则2(a1+a2025)+8=a1⋅a2025+2(a1+a2025)+4，
∴a1⋅a2025=4=a10132，
∵an>0，∴a1013=2，
∴T2025=(a1013 )2025=22025.
故选D.
7.【答案】B
【解析】解：建立空间直角坐标系如图所示，
则O(0,0,0)，P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0,−12,1)，
所以PB=(0,1,−2)，PC=(1,0,−2).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则PB⋅n=0PC⋅n=0，即y−2z=0x−2z=0，
令z=1，则n=(2,2,1).
设直线CD和平面PBC所成角为θ，
又DC=(1,12,−1)，
所以sinθ=|cs|=|DC⋅n||DC||n|=|2+1−1| 94× 9=49.
故选B.
8.【答案】A
【解析】解：对于A，当a=2时，笛卡尔叶形线方程：x3+y3−6xy=0.
令x=y，解得x=y=3或x=y=0，故顶点坐标A(3,3)，故A错误；
对于B，在x3+y3−3axy=0中，令x=0，则y=0，令y=0，则x=0，
即笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点(0,0)，故B正确；
对于C，在x3+y3−3axy=0中，将点(y,x)代入可得：y3+x3−3ayx=0，
显然方程不变，即笛卡尔叶形线关于直线y=x对称，故C正确；
对于D，由图象知(3,3)离原点距离最大，于是x2+y2的最大值为18，故D正确．
9.【答案】ABD
【解析】解：an+1=3an3+2an⇒1an+1−1an=23，
所以{1an}是等差数列，则1an=13+23(n−1)=2n−13，
所以an=32n−1，则a2=32×2−1=1，
anan+1=9(2n−1)(2n+1)=92(12n−1−12n+1)，
则Sn=92(1−12n+1)=9n2n+1.
故选ABD.
10.【答案】AC
【解析】解：当λ=0时，(x2+y2)2−4y2=0，
即(x2+y2+2y)(x2+y2−2y)=0，
即x2+y2+2y=0或x2+y2−2y=0，
此时曲线表示两个圆，圆心为O1(0,−1)和O2(0,1)，半径都为1.
因为A(2,2)，所以|AP|≤|AO1|+1= 13+1，且|AP|≥|AO2|−1= 5−1，
则|AP|的最大值为 13+1，最小值为 5−1，故A，C正确;
当λ=1时，(x2+y2)2−4y2=1，即(x2+y2)2=4y2+1≥1，
当且仅当y=0，x2=1时，等号成立，所以|OP|= x2+y2的最小值是1，故B错误;
当λ=1时，曲线方程为(x2+y2)2−4y2=1，令t=x2+y2，则t2−4y2=1，解得y2=t2−14，
由于x2≥0，即t−y2≥0即t−t2−14≥0， 可得t2−4t−1≤0，解得2− 5≤t≤2+ 5，
又因为y2≥0，所以t2≥1，∴t≥1或t≤−1(舍去)，结合t的取值范围，可得1≤t≤2+ 5。
则1≤x2+y2≤ 5+2， ∴1≤|OP|= x2+y2≤ 5+2，故 D错误.
故选AC.
11.【答案】ABD
【解析】解：建立空间直角坐标系如图所示，则P(1,λ,μ).
当μ=1时，点P在线段B1C1上，则S△PBC=12，
所以VB−A1CP=VA1−PBC=13×12×1=16，故A正确;
当λ=1时，点P在线段CC1上，将平面BCC1B1与平面DCC1D1沿CC1展开，得(D1P+BP)min= 5，
又BD1= 3，故△BD1P周长的最小值为 3+ 5，故B正确;
当λ=13时，A1P=(1,13,μ−1)，BP=(0,13,μ)，
若A1P⊥BP，则
A1P⋅BP=19+μ(μ−1)=0，解得μ=3± 56，
所以符合条件的点P有两个，故C错误;
AP=(1,λ,μ)，则当|AP|= 2⇒λ 2+μ 2=1，
D1P=(1,λ−1,μ−1)，
则D1P2=1+(λ−1)2+(μ−1)2，
(λ−1)2+(μ−1)2表示单位圆上的点到点(1,1)的距离的平方，
则其最小值为( 12+12−1)2=( 2−1)2=3−2 2，
所以D1P2的最小值为4−2 2，故D正确.
故选ABD.
12.【答案】2
【解析】解：因为a3+a5=5，a6+a8=40
可得q3=a6+a8a3+a5=8，解得q=2.
故答案为：2.
13.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
求得AB，AC的坐标，可得AB⋅AC，|AB|，|AC|，进而得cs∠BAC，sin∠BAC的值，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：AB=(0,1,1)，AC=(1,1,0)，
∴AB⋅AC=1，
|AB|= 02+12+12= 2，
|AC|= 12+12+02= 2，
∴cs∠BAC=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=1 2× 2=12.
∴sin∠BAC= 1−cs2∠ABC= 32，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
S=|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC= 2× 2× 32= 3，
故答案为： 3.
14.【答案】52
【解析】解：由题意得，F(1,0)，由A(4,4)，得直线AF的方程为y=43(x−1).
联立y=43(x−1)y2=4x，解得，所以B(14,−1)，
则S△OAB=12×1×|4−(−1)|=52.
15.【答案】解：(1)由题意得，圆C:(x−1)2+(y−2)2=16，
故|CP|=4，所以|CQ|=2，
故动点Q的轨迹Ω的方程为(x−1)2+(y−2)2=4.
(2)因为直线l被曲线Ω截得的弦长为2 3，
所以圆心C(1,2)到直线l的距离为1.
当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0符合题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx−y=0，
故|k−2| 1+k2=1，解得k=34，故l:3x−4y=0.
综上，直线l的方程为x=0或3x−4y=0.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)因为∠BAD=90∘，即BA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
故以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B( 3,0,0)，C(2 3,3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，E( 3,32,12).
在平面四边形ABCD中，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
过点B作BF//AD交CG于点F，得BF=3，CF= 3，所以C(2 3,3,0)
因为BE=(0,32,12)，平面PAD的一个法向量为AB=( 3,0,0)，所以BE⋅AB=0.
因为BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD.
(2)设平面PBD的法向量为m=(x1,y1,z1)，PB=( 3,0,−1)，BD=(− 3,1,0)，
则m⋅PB= 3x1−z1=0m⋅BD=− 3x1+y1=0，取x1=1，则m=(1, 3, 3).
设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,z2)，BD=(− 3,1,0)，BE=(0,32,12)，
则n⋅BD=− 3x2+y2=0n⋅BE=32y2+12z2=0，取x2=1，则n=(1, 3,−3 3).
所以|cs|=|m⋅n||m|⋅n=|1+3−9| 7× 31=5 217217，
所以平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为5 217217.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)设半焦距为c，由|F1F2|=2 3，得c= a2−b2= 3，
当AB⊥x轴时，|AB|的值最小.
将x=−c代入x2a2+y2b2=1，得y=±b2a，
所以2b2a=4，解得a2=9，b2=6，
所以E的方程为x29+y26=1.
(2)由题意得，直线AB的斜率不为0，设l:x=my− 3，
联立x=my− 3x29+y26=1整理得(2m2+3)y2−4 3my−12=0.
易知△>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4 3m2m2+3，y1y2=−122m2+3(*)，
由AF1=3F1B得y1=−3y2，
代入(*)，得−2y2=4 3m2m2+3，−3y22=−122m2+3，解得m2=3.
由对称性可知，四边形ACBD为等腰梯形，其面积为
S=12|2x1−2x2|⋅|y1−y2|=|x1−x2|⋅|y1−y2|=|m||y1−y2|2= 3[(y1+y2)2−4y1y2]
= 3|(4 3m2m2+3)2+4×122m2+3|= 3×(169+163)=64 39，
所以四边形ACBD的面积为64 39.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】(1)解：因为数列{an}的其前n项的和Sn=n(n+2)=n2+2n，
所以当n=1时，a1=S1=3;
当n≥2时，Sn−1=(n−1)(n+1)=n2−1，
所以an=Sn−Sn−1=(n2+2n)−(n2−1)=2n+1;
当n=1时，a1=3也满足an=2n+1，
所以an=2n+1(n∈N*).
因为正项数列{bn}满足bn2=bn+1bn−1(n≥2)，
所以{bn}是等比数列，设{bn}的公比为q，
由a2−b2=a3−b3=3，得5−b1q=37−b1q2=3，解得b1=1q=2，
故bn=b1qn−1=2n−1.
(2)证明：由(1)得，cn=bnan2+bn+1an+1−bn+2Sn
=2n−1⋅(2n+1)2+2n⋅(2n+3)−2n+1⋅n⋅(n+2)
=2n+1⋅n2+2n+1⋅n+2n−1+2n+1⋅n+3⋅2n−(2n+1⋅n2+2n+2⋅n)=7⋅2n−1，
所以cn+1cn=7⋅2n7⋅2n−1=2，
所以{cn}是以7为首项，2为公比的等比数列.
(3)解：令dn=an+1⋅bn+1=(2n+3)⋅2n，
其前n项和Tn=d1+d2+⋯+dn=5×21+7×22+⋯+(2n+3)⋅2n，①
2Tn=5×22+⋯+(2n+1)⋅2n+(2n+3)⋅2n+1，②
①-②得，−Tn=5×2+2×22+⋯+2×2n−(2n+3)⋅2n+1
=10+23(1−2n−1)1−2−(2n+3)⋅2n+1
=10+2n+2−8−(2n+3)⋅2n+1=2−(2n+1)⋅2n+1，
因此，Tn=(2n+1)⋅2n+1−2.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：(1)因为(an+1an+1)(an+1−an−2)=0，
所以an+1an=−1或an+1−an=2.
因为a1=1，所以a2=−1或a2=3.
当a2=−1时，a3=1，a4=−1或a4=3，不满足题意，舍去;
当a2=3时，a3=−3或a3=5，
当a3=−3时，a4=3或a4=−1，不满足题意，舍去;
当a3=5时，a4=−5或a4=7，满足题意，
所以a2=3.
(2)由an>0(n∈N*)，得an+1−an=2，
所以数列{an}为等差数列，其通项为an=2n−1.
则bn=(910)n⋅(2n−1)>0，
所以bn+1bn=(910)n+1⋅(2n+1)(910)n⋅(2n−1)=9(2n+1)10(2n−1)，
令9(2n+1)10(2n−1)≥1，解得n≤192，
所以b1