屯溪一中2023-2024学年度高二上学期期末数学测试卷（原卷版）-A4

这是一份屯溪一中2023-2024学年度高二上学期期末数学测试卷（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则( )
A. AB与AC是共线向量
B. 与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是 5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b//c，则|a+b|=( )
A. B. C. 3D. 4
3.已知公差不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比数列，则等差数列{an}的前8项和S8为( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
4.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为( )
A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0
C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=0
5.若直线l经过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(0,−5)到它的距离相等，则l的方程为( )
A. 4x−y−2=0B. 4x−y+2=0
C. x=1或4x−y−2=0D. 4x−y+2=0或x=1
6.圆x2+y2−ax−2y+1=0关于直线x−y−1=0对称的圆的方程是x2+y2−4x+3=0，则a的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.已知F1，F2是双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，椭圆C2与双曲线C1的焦点相同，C1与C2在第一象限的交点为P，若PF1的中点在双曲线C1的渐近线上，且PF1⊥PF2，则椭圆的离心率是( )
A. 53B. 55C. 12D. 32
8.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则QR2=QC⋅QD.如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1,0，点P是圆O:x2+y2=4上的任意一点，过点B1,0作直线BT垂直AP于点T，则2PA+3PT的最小值是( )
A. 6 2B. 8 2C. 4 2D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0m∈R恒过定点(−3,−3)
B. 已知圆C:x2+y2=4，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点(1,2)
C. 曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 圆x2+y2=4上存在4个点到直线l:x−y+2=0的距离都等于1
10.已知曲线C:x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是 ( )
A. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2 m
B. 若mb>0)，与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2=π3，则e12+e22的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60∘，A1C1=3NC1，D1B=2MB，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)试用a、b、c表示AN；
(2)求MN 的长度．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2(n∈N∗)，在数列{bn}中，b1=1，2+bn=bn+1．
求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记Tn=a1b1+a2b2+···+anbn,求Tn．
17.(本小题15分)
如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．
(I)求证：A1E⊥平面BCDE；
(II)求二面角E−A1D−B的余弦值；
(III)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BP？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
已知圆C的圆心在直线y=12x上，且过圆C上一点M(1,3)的切线方程为y=3x．
(1)求圆C的方程；
(2)设过点M的直线l与圆交于另一点N，求▵CMN的最大值及此时的直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点是F1,F2，且C1的离心率为 32.抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2 6．
(1)求椭圆C1的标准方程；