湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

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命题人：彭泽华 审题人：高李
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系.
【详解】，
因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案．
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：C．
3. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用不等式的性质即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
即，所以的取值范围是.
故选：C.
4. 已知，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用均值不等式求出的最小值，进而求出的最大值.
【详解】因为，
所以由均值不等式，，
当且仅当时，即时，不等式取等号，
故，即的最大值为.
故选：B.
5. 在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据新定义运算求出的表达式，再求解不等式.
详解】依题意得，
所以，
解得：或.
故选：C.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解.
【详解】由函数的定义域为，所以，
所以的定义域为，所以，
则的定义域为，故A正确.
故选：A.
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解.
【详解】由，又在上单调递增，
又，所以，即，又，所以，
故选：D.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可.
【详解】由题知：函数是“函数”，
所以在区间的值域为，
，，即在区间的值域为.
当时，，值域为
当时，，对称轴为，开口向上，
所以在区间为增函数，值域为.
所以，则的最大值为14.
故选：C
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用不等式性质计算可判断CD.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，，
因为，所以，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的充分条件
C. 命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题
D. 集合中的元素个数为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，命题的真假及集合的列举法逐一判断选项，即可得出结果.
【详解】选项A，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以A错误；
选项B，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以B正确；
选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足中至少有1个大于2，所以C正确；
选项D，因为，且8的因数有，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以，共有8个元素，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分段函数的赋值思想不断求值和递推求值，再结合复合函数单调性求值域，从而可判断各选项.
【详解】对于A，根据题意，由，故A正确；
对于B，根据题意，由，故B正确；
对于C，根据题意，由
，故C错误；
对于D，由于当时，函数，
满足，
所以图象关于直线对称，
当时，，
所以，，即；
当时，，故，；
当时，由于，所以此时；
当时，由于，所以此时，
以此类推，根据定义域为，所以可得函数的值域为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性列不等式，由此求得的范围.
【详解】函数的开口向上，对称轴为，
由于上具有单调性，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
13. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可.
【详解】解：由二次函数图象可知，
二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为，
所以，，解得，
所以化简整理得：，解得或，
所以不等式的解集为
故答案为：
14. 方程的正实数解为______．
【答案】
【解析】
分析】先证明，然后将等式进行化简求出结果即可.
【详解】令，两边同时取对数得
，
所以，所以.
所以对于有.
化简得.
因为函数，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则求值.
（2）根据对数的运算法则求值.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
16. 已知集合，集合．
（1）若，求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的运算法则求解.
（2）因为，所以，再分和求实数的取值范围.
【小问1详解】
由.
所以，.
当时，.
所以，
或.
【小问2详解】
由，得.
当即时，，此时成立；
当即时，，
由.
综上.
所以实数的取值范围为.
17. 已知函数，．
（1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式．
【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析.
（2）函数为奇函数；不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来确定单调性；
（2）通过判断的关系得奇偶性；再由奇偶性和单调性解关于a的不等式.
【小问1详解】
函数在上单调递增.
证明：任取，且，
则，
因为，且，
所以，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
因为，定义域关于原点对称，
，所以函数为奇函数，
由可得，
所以，解得：.
故不等式的解集为.
18. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案．
方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P；
方案二：其给出的整体报价为元（）．
（1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值；
（2）求P函数解析式，并求总报价P的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围．
【答案】（1）20 （2）；最小值
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定函数代入计算即得；
（2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值；
（3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得.
【小问1详解】
因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且
则，解得
所以的值为20.
【小问2详解】
设底面长为，由题意易得，
故墙面面积为，
则，
因，则，当且仅当时取等，
即总报价P的最小值为.
【小问3详解】
对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
设，，
因，则，，
当且仅当，即时，取得最小值，
故，又，则，
所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为.
19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式的解集；
（3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接待定系数法求解即可；
（2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得；
（3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，即，解得：
所以，
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，即，
所以，令，
则，
解得；解得，
所以，的解集为，即，解得，
所以不等式的解集为
【小问3详解】
由得函数，
当时，，
故，
当时，
因为对任意，存在，使得成立，
所以是的子集，
所以，即，
所以实数的取值范围为