安徽省华师联盟2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第一章~第三章3.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 过三点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 过定点的直线与圆相交于两点，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（ ）
A. 不是定值B. 恒为C. 恒为D. 恒为
8. 已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆方程为为原点，则（ ）
A. 圆的半径为定值
B. 当在圆外部时，
C. 当圆上的点都在第一象限时，
D. 当点在直线上时，圆上的点到的距离最大值为
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，则在上的投影向量为
B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角
C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为
11. 已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（ ）
A. 面积的最大值为
B. 存在点，使得
C. 若垂直于轴，则的最小值为-2
D. 若过原点，则的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________．
13. 已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________．
14. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）若经过点直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程；
（2）已知直线与直线平行，求与距离．
16. 已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且线段中点坐标为，求直线的方程．
17. 如图，在三棱锥中，．求：
（1）的长；
（2）异面直线与所成角的余弦值．
18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．
（1）棱上是否存在点，使得平面，并证明；
（2）若，求：
（i）点到平面的距离；
（ii）平面与平面夹角的余弦值．
19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点．
（1）求的方程；
（2）若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值；
（3）记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．