2025-2026学年河南省洛阳市西工区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年河南省洛阳市西工区八年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.利用直角三角板，画△ABC的高，下列画法正确的是( )
A. B. C. D.
3.同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是( )
A. B. C. D.
4.有四个条件：①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角；②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；③△ABC中，∠A−∠B=∠C；④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5.其中不能确定△ABC是直角三角形的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
5.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A. 57∘B. 53∘C. 60∘D. 70∘
6.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为( )
A. 4B. 6C. 8D. 4或8
7.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是( )
A. 24B. 30C. 36D. 42
8.如图，等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F，点G是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小值是( )
A. 4.5cmB. 5cmC. 5.5cmD. 6cm
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC=90∘.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( )
A. 1mB. 1.6mC. 1.8mD. 1.4m
10.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.命题“等边三角形的三个内角都是60∘”的逆命题是： .
12.正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，(3,4)，(−1,4)，则此正方形的重心坐标为 .
13.如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30∘，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15∘，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为______米.
14.如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：______，使得△ABD≌△ACD.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50∘，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50∘，DE交线段AC于点E.当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70∘.
(1)若∠ABC=60∘，求∠DAE的度数；
(2)求∠AOB的度数.
17.(本小题9分)
如图，已知：△ABC.
(1)过点A在△ABC的外部作∠BAD=∠B.(要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)结合(1)所作图形，证明：∠BAC+∠B+∠C=180∘.
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A(−1,3)，B(−3,−2)，C(1,1).直线l过点C且平行于y轴.
(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，(其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1)；
(2)点A1的坐标是______，点B1的坐标是______；
(3)如果M(a,b)为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是(______，______)(结果用含a，b的式子表示).
19.(本小题9分)
如图，已知∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE.求证：∠B=∠D.
20.(本小题9分)
求证：等腰三角形两底角的平分线相等.根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”.
已知：在△ABC中，______， BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：______.
证明：
21.(本小题10分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点K.
(1)求证：AD垂直平分EF.
(2)若∠BAC=60∘，求证：AK=3DK.
22.(本小题10分)
如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中.
(1)求证：△ABQ≌△CAP.
(2)连接PQ，当点P，Q运动______秒时，△PBQ是直角三角形.
23.(本小题10分)
下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.
任务：
(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______(填序号).
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由.
(3)如图3，已知∠AOB=60∘，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30∘时，直接写出∠OEP的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由三角形的高线的定义可知：
A、作法错误；
B、作法错误；
C、作法正确；
D、作法错误；
故选：C.
根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可．
本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D.
根据三角形具有稳定性判断即可．
本题考查的是三角形的稳定性，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：①不知道∠A、∠B的度数，不能判定△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②△ABC的最大角=180∘×31+2+3=90∘，判定△ABC是直角三角形，故②不符合题意；
③由∠A−∠B=∠C，得到∠A=∠B+∠C=180∘−∠A，求出∠A=90∘，判定△ABC是直角三角形，故③不符合题意；
④△ABC的外角的最小角=360∘×33+4+5=90∘，与其相邻的△ABC的内角是180∘−90∘=90∘，判定△ABC是直角三角形，故④不符合题意．
∴其中不能确定△ABC是直角三角形的是①．
故选：A.
由三角形的内角和是180度和三角形的外角和是360度求出有关的角，由直角三角形的判定方法即可判断．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形的内角和是180度和三角形的外角和是360度求出有关的角．
5.【答案】A
【解析】解：由三角形全等可得，∠1=180∘−53∘−70∘=57∘，
故选：A.
根据全等三角形的对应角相等解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．
6.【答案】A
【解析】解：当等腰三角形的腰长是4时，底边=16−4−4=8，
4+4=8，不满足三角形三边关系定理，
当等腰三角形的底边长是4时，腰长=12×(16−4)=6，
4+6>6，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的底边长是4.
故选：A.
由三角形三边关系定理判定等腰三角形的底边长只能是4.
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90∘，
∴DH=CD=4，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DH+12BC⋅CD=12×6×4+12×9×4=30，
故选：B.
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接GB.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3cm，
∵S△ABC=12BC⋅AD=6cm2，
∴AD=2cm，
∵EF垂直平分AB，
∴GB=GA，
∴AG+GD=BG+GD，
∵BG+GD≥BD，
∴GB+GD≥3cm，
∴GB+GD的最小值为3cm，
∴△ADG周长的最小值为2cm+3cm=5cm，
故选：B.
如图，连接GB.利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出GB=GA，推出AG+GD=BG+GD，由BG+GD≥BD，推出GB+GD≥3cm，GB+GD的最小值为3cm，由此即可解决问题．
本题考查轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵∠BOC=90∘，
∴∠BOD+∠COE=90∘，
由题意可知，OB=CO，DA=1m，BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BDO=∠OEC=90∘，
∴∠BOD+∠OBD=90∘，
∴∠COE=∠OBD，
在△OBD和△COE中，
∠BDO=∠OEC∠OBD=∠COEOB=CO，
∴△OBD≌△COE(AAS)，
∴OE=BD=1.4m，OD=CE=1.8m，
∴AE=OA−OE=OD+DA−OE=1.8+1−1.4=1.4(m)，
即小丽距离地面的高度是1.4m，
故选：D.
证明△OBD≌△COE(AAS)，得OE=BD=1.4m，OD=CE=1.8m，即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】

【解析】
11.【答案】如果一个三角形的三个内角都等于60∘，那么这个三角形是等边三角形
【解析】解：命题“等边三角形的三个内角都是60∘”的逆命题为：如果一个三角形的三个内角都等于60∘，那么这个三角形是等边三角形，
故答案为：如果一个三角形的三个内角都等于60∘，那么这个三角形是等边三角形．
把命题“等边三角形的三个内角都是60∘”的题设和结论互换即可得到逆命题．
本题考查命题与定理，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
12.【答案】(1,2)
【解析】解：连接AC，BD相交于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴PA=PC，点P是正方形ABCD的重心，
设点P的坐标为(a,b)，
∵点A的坐标为(−1,0)，点C的坐标为(3,4)，
∴a=−1+32=1，b=0+42=2，
∴点P的坐标为(1,2)，
∴正方形ABCD的重心坐标为(1,2).
故答案为：(1,2).
连接AC，BD相交于点P，则PA=PC，点P是正方形ABCD的重心，根据线段中点坐标公式求出点P的坐标即可．
此题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，理解正方形对角线的交点是重心，熟练掌握线段中点坐标公式是解决问题的关键．
13.【答案】25
【解析】解：∠MAN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB=∠MAN−∠ABM=30∘−15∘=15∘，
∴∠AMB=∠ABM，
∴AM=AB=50米，
在Rt△AMN中，∠MAN=30∘，
∴MN=12AM=25米；
故答案为：25.
根据三角形的外角性质、等腰三角形的判定得到AM=AB=50米，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记含30∘角的直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】AB=AC(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=AC，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠1=∠2AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
故答案为：AB=AC(答案不唯一).
要判定△ABD≌△ACD，已知AD=AD，∠1=∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB=AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD.
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15.【答案】30∘或15∘
【解析】解：AB=AC，∠B=50∘，
∴∠C=∠B=50∘，
∴∠BAC=80∘，
∵∠ADE=50∘，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD=AE时，∠AED=∠ADE=50∘，
∴∠DAE=80∘，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50∘，
∴∠BAD=80−50∘=30∘；③DA=DE时，∠DAE=∠DEA=65∘，
∴∠BAD=80∘−65∘=15∘，
综上，∠BAD的度数为30∘或15∘.
故答案为：30∘或15∘.
根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD=AE时，②EA=ED时，③DA=DE时，分别求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
16.【答案】5∘；
125∘.
【解析】解：(1)在△ABC中，∠ABC=60∘，∠C=70∘，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=180∘−60∘−70∘=50∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=12×50∘=25∘.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90∘，
∴∠CAD=180∘−∠ADC−∠C=180∘−90∘−70∘=20∘，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25∘−20∘=5∘；
(2)在△ABC中，∠C=70∘，
∴∠ABC+∠BAC=180∘−∠C=180∘−70∘=110∘，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴∠BAO=12∠BAC，∠ABO=12∠ABC，
∴∠BAO+∠ABO=12∠BAC+12∠ABC=12(∠ABC+∠BAC)=12×110∘=55∘，
∴∠AOB=180∘−(∠BAO+∠ABO)=180∘−55∘=125∘.
(1)在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD是△ABC的高，可得出∠ADC=90∘，结合三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE=∠CAE−∠CAD，即可求出∠DAE的度数；
(2)在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BAO+∠ABO的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出∠AOB的度数．
本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180∘”是解题的关键．
17.【答案】(1)如图所示; (2)延长DA到E，
∵∠DAB=∠B，
∴DE//BC，
∴∠EAC=∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180∘，
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘
【解析】(1)解：如图所示；
(2)证明：延长DA到E，
∵∠DAB=∠B，
∴DE//BC，
∴∠EAC=∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180∘，
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘.
(1)根据题意作出图形即可；
(2)根据平行线的判定和性质和三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了作图-基本作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，正确地作出图形是解题的关键．
18.【答案】见解答．
(3,3)；(5,−2).
2−a；b.
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，A1(3,3)，B1(5,−2).
故答案为：(3,3)；(5,−2).
(3)由题意得，点M关于直线l的对称点M1的坐标是(2−a,b).
故答案为：2−a；b.
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)根据轴对称的性质可得答案．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴∠B=∠D.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：AB=AC；BD=CE；
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD和CE是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
在△DBC和△ECB中，
∠DCB=∠EBCBC=CB∠DBC=∠ECB，
∴△DBC≌△ECB(ASA)，
∴BD=CE，
∴等腰三角形两底角的平分线相等．
【解析】解：已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE.
证明见答案，
故答案为：AB=AC；BD=CE.
由等腰三角形的性质推出∠ABC=∠ACB，由角平分线的定义得到∠DBC=∠ECB，判定△DBC≌△ECB(ASA)，推出BD=CE.
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出△DBC≌△ECB(ASA).
21.【答案】∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DE，FF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED=∠AFD=90∘，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BCA，∠BAC=60∘，
∴∠DAE=12∠BAC=30∘，
∵∠AED=90∘，
∴AD=2DE，
∵EF⊥AD，
∴∠EKD=90∘，
∵∠ADE=90∘−30∘=60∘，
∴∠DEK=90∘−60∘=30∘，
∴DE=2DK，
∴AD=4DK，
∴AK=3DK
【解析】证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DE，FF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED=∠AFD=90∘，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
(2)∵AD平分∠BCA，∠BAC=60∘，
∴∠DAE=12∠BAC=30∘，
∵∠AED=90∘，
∴AD=2DE，
∵EF⊥AD，
∴∠EKD=90∘，
∵∠ADE=90∘−30∘=60∘，
∴∠DEK=90∘−60∘=30∘，
∴DE=2DK，
∴AD=4DK，
∴AK=3DK.
(1)判定△ADE≌△ADF(AAS)，推出AE=AF，DE=DF，得到A、D都在线段EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF.
(2)由含30度角的直角三角形的性质推出AD=2DE，DE=2DK，得到AD=4DK，即可证明AK=3DK.
本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的定义，关键是判定△ADE≌△ADF(AAS)，掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理．
22.【答案】(1)依题意得：BQ=AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠B=∠CAP=60∘，
在△ABQ和△CAP中，
AB=CA∠B=∠CAPBQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP(SAS) 43或83
【解析】(1)证明：依题意得：BQ=AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠B=∠CAP=60∘，
在△ABQ和△CAP中，
AB=CA∠B=∠CAPBQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：设点P，Q运动的时间为t秒，
∴BQ=AP=tcm，
∵△ABC为等边三角形，且边长为4cm，
∴∠B=60∘，AB=4cm，
∴BP=AB−AP=(4−t)cm，
当△PBQ是直角三角形时，有以下两种情况，
①当∠PQB=90∘时，如图1所示：
在Rt△PBQ中，∠BPQ=90∘−∠B=30∘，
∴BQ=12BP，
∴t=12(4−t)，
解得：t=43，
即当点P，Q运动43秒时，∠PQB=90∘，此时△PBQ是直角三角形；
②当∠QPB=90∘时，如图2所示：
在Rt△PBQ中，∠BQP=90∘−∠B=30∘，
∴BP=12BQ，
∴4−t=12t，
解得：t=83，
即当点P，Q运动83秒时，∠PQB=90∘，此时△PBQ是直角三角形，
综上所述：当点P，Q运动43秒或83秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：43或83.
(1)依题意得：BQ=AP，根据等边三角形性质得AB=CA，∠B=∠CAP=60∘，由此可依据“SAS”判定△ABQ和△CAP全等；
(2)设点P，Q运动的时间为t秒，则BQ=AP=tcm，BP=(4−t)cm，再分两种情况讨论如下：①当∠PQB=90∘时，在Rt△PBQ中，根据∠BPQ=90∘−∠B=30∘得BQ=12BP，即t=12(4−t)，由此解出t=43；②当∠QPB=90∘时，在Rt△PBQ中，根据∠BQP=90∘−∠B=30∘得BP=12BQ，即44−t=12t，由此解出t=82，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含有30∘角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含有30∘角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
23.【答案】⑤；
射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，
∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，
∴∠PEC=∠PFD，
∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，
∴△CPE≌△DPF(AAS)，
∴PE=PF，
∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，
∴△OPE≌△OPF(SSS)，
∴∠POE=∠POF，
即∠POA=∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线；
45∘
【解析】(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PGO的依据是HL，
故答案为：⑤；
(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，
∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，
∴∠PEC=∠PFD，
∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，
∴△CPE≌△DPF(AAS)，
∴PE=PF，
∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，
∴△OPE≌△OPF(SSS)，
∴∠POE=∠POF，
即∠POA=∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线；
(3)如图3，连接OP，
由(2)可知，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，
∴∠PEC+30∘=∠PFD+30∘，
∵∠AOB=60∘，
∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30∘，
∵∠CPE=30∘，
∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30∘，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30∘，
∴∠OCP=∠OPC=12(180∘−∠POE)=12×(180∘−30∘)=75∘，
∵∠PCO=∠OEP+∠EPC，
∴∠OEP=75∘−30∘=45∘.
(1)由HL即可得出结论；
(2)证△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；
(3)连接OP，由(2)可知，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，则∠POE=∠POF=30∘，再证∠OCP=∠OPC，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.
简述理由如下：
由作图知，∠PGO=∠PHO=90∘，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.
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