广东省湛江市2026届高三上学期10月调研测试数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省湛江市2026届高三上学期10月调研测试数学试卷（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ）
A. 8B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【详解】按照分层随机抽样，在智界汽车车主中共抽取人．
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】集合，
，
故，
∴．
故选：B．
3. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【详解】记，
所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
4. 在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【详解】直线上的点到点的距离的最小值为点到直线的距离．
故选：D
5. 曲线在点处的切线l过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】令函数，则，故，
所以l的方程为，整理得，
所以l经过定点．
故选：D．
6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【详解】由题意可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2．
故选：C
7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在中，由余弦定理得，
代入，，可得，
由有两解，可得关于b的方程有两个不等正根，
则，
由①解得．由②可解得，故可得.
故选：C．
8. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和，
放入后，取出白球的概率分别为1和，
故，．
当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布，
取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1；
取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为；
取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为，
则，
且放入的两个球中白球数的期望，
则，
则，
所以，又，，故．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（ ）
A. 底面半径为1，高为2的圆锥B. 底面半径为1，高为2的圆柱
C. 上、下底面半径分别为，，高为2的圆台D. 半径为1的球
【答案】BD
【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为，
所以，故A错误；
对于B，圆柱的体积为，表面积为，
所以，故B正确；
对于C，圆台的体积为，
表面积：，
所以，故C错误；
对于D，球的体积为：，表面积为：，
所以，故D正确．
故选：BD．
10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 的值域为
C. 在区间上先单调递减后单调递增
D. 曲线关于点中心对称
【答案】BCD
【详解】由题意得
．
对于A，由题意可得，解得，故A错误；
对于B，由A的分析可得 ．因为，所以的值域为，故B正确；
对于C，当时，，由余弦函数的图象性质可知先单调递减后单调递增，故C正确；
对于D，令，，得，．
令，可得曲线关于点中心对称，故D正确．
故选：BCD．
11. 设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ）
A. l始终与圆P相离B. 无最值
C. 存在点P，使得D. 时，P到l的距离为3
【答案】AB
详解】
对于A，因抛物线的准线，则，解得，故．
设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确；
对于B，设点，则，
因，则四边形AMPN的面积为，
可得，故B正确；
对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为，
两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误；
对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取，
则，由已知，且，可得O，M，P三点共线，
由，可得，
此时PM斜率为，而AM的斜率为，
此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知定义在上的偶函数满足：时，，则________．
【答案】
【详解】由题意可得，又因为为偶函数，故，故．
故答案为：
13. 已知，则________．
【答案】##
【详解】因为，
所以．
故答案:．
14. 已知双曲线E：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与E的左、右两支分别交于M、N两点，与y轴交于点P，线段与E交于点Q．若，，则E的离心率为________．
【答案】
【详解】不妨设，则，记，设，
则，
∵，∴，解得，即，
由可知P是的中点，由中点坐标公式可得点，
将N与Q代入E的方程，可得，
而E的离心率，故，
可得，
故由，可解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，圆锥SO中，P，Q为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形．

（1）证明：平面；
（2）若，求点S到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
圆锥的高平面，平面，故，．
中，，，则．同理，．
由于是边长为4的等边三角形，故．
在中，，故．
由于，，，且平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）知，，．
如图所示，以O为原点，
，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，；
由，易得．
则，．
设平面的一个法向量，
则，故可取．
由于，
设点S到平面的距离为d．
，
故点S到平面的距离为．
16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率：
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况．
（1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率；
（2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高．
【答案】（1）
（2）采用补贴方案二的补贴额更高
【小问1详解】
记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月，
事件B：单个家庭共生育2个婴儿，
则，
，
；
【小问2详解】
记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为，
，
，
，故采用补贴方案二的补贴额更高．
17. 已知椭圆（）的离心率为．
（1）求E的方程；
（2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
不妨记E的半焦距为c，则，解得，
故E的方程为．
【小问2详解】
当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去；
当直线AB的斜率不为0时，记，联立，
消去可得，显然，设，，
则，，
于是，
，
即，可得（舍）或，故，
故：，故O到的距离，
故的面积．

18. 记为递增数列的前n项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
∵，∴，
两式相减得，
即，即，
当时，有，解得，
又∵数列单调递增，故，
故只能有，
由等差数列的定义可知是以首项和公差均为1的等差数列，故．
【小问2详解】
，
记数列前n项和为，
则，
则，
两式相减，得．
【小问3详解】
当时，,不等式成立；
当时，
故，
．
综上所述，原不等式得证．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若无零点，且有两个不同的极值点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【小问1详解】
由题意可得，
令，则．判别式．
①当，即时，恒成立，
即恒成立，在R上单调递增；
②当，即时，方程有2个实根，
且由求根公式可知该方程的解为，
由二次函数单调性知在区间和上单调递增，
在区间上单调递减．
综上，时，在R上单调递增；
时，在区间和上单调递增，
区间上单调递减．
【小问2详解】
（ⅰ）令，即，
由于无零点，则直线与无交点，则；
又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为．
（ⅱ）由（1）中方程有，．
不妨设，．
则
，
设函数，，
且在上恒成立，故单调递增，
且，．单个家庭生育婴儿数
1
2
3
补贴方案一
每月补助300元，共补贴3年
每月补助1100元，共补贴3年
每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案二
每月补助1000元，共补贴3年
单个家庭生育婴儿数
0
1
2
3
概率