广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试卷（Word版附解析），共19页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】不等式的解集为
所以集合，又，
所以.
故选：B
2. 若，其中是虚数单位，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【详解】因为，所以.
故选：A.
3. 设函数，则函数为（ ）
A. 奇函数，且在单调递增
B. 奇函数，且在单调递减
C. 偶函数，且在单调递增
D. 偶函数，且在单调递减
【答案】A
【详解】易知的定义域为，且，
所以为奇函数，
因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
故选：A
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 10B. C. 40D.
【答案】C
【详解】展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式中的系数是.
故选：C．
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以，即；
因为，所以对数函数在上单调递增，所以，即.
综上可得：.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，得，由，得，
所以
.
故选：B
7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【详解】
在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，
所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为，
得外接球半径，所以.
又，所以，
所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以三棱锥的体积的最大值为，
故选：D
8. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】依题意，，
令，则.
对于A，当时，，故A错误.
对于B，当时，由，得；
由，得，
则，
又，
因为，，，所以，即,
即，故，B正确.
对于C，假设存在，使得.
当时，，由得；
当时，，，；
当时，，
所以（），则，
若，则，
即，则，即，
展开得，因,解之得，故C错误.
对于D，由选项C分析可知，而，
所以.
先证明不等式：
构造函数，则，
所以在区间上单调递减，而，
所以当时，，即.
令，则，
故，
则，故D错误.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某企业招聘考试分笔试与面试，笔试满分为100分，笔试成绩排名前（含）的考生才可以参加面试．现有1800人报名参加笔试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如下图所示，则（ ）
A. 90后考生比00后考生多100人
B. 所有考生笔试成绩的分位数约为83.3（保留一位小数）
C. 进入面试笔试成绩最低分约为85.7（保留一位小数）
D. 所有考生笔试成绩的中位数大于平均数
【答案】BD
【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得，
解得，则前三个矩形的面积和，
前四个矩形的面积和，
所有考生笔试成绩的分位数，所以，
所以笔试成绩的分位数为分，所以B正确；
对于C中，设进入面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，
因为前两个矩形的面积和，前三个矩形的面积和，
设考试成绩的中位数设为，所以，所以笔试成绩的中位数为分，所以D正确.
故选：BD.
10. 已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D.
【答案】ABD
【详解】对A，都有，令得，所以，A正确；
对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称，
从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确；
对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有，
由两个对称性得，C错误；
对D，由以上分析得，
所以，所以是周期函数，4是其一个周期，
，，，，，
所以，
所以
，D正确．
故选：ABD．
11. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ）
A.
B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切
C. 设，则
D. 点位于定直线上
【答案】ACD
【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组，
消得：，
由可得：，
又由，
所以，故A正确；
设中点，
则，
即中点到准线的距离为
，
假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则，
这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误；
由
，
所以有，故C正确；
由抛物线方程或，
求导得：或，
则抛物线在点的切线方程分别为：和，
两式消得：，
，
令，则
所以，
所以交点在直线上，故D正确；
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数在处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】，
，
所以切线方程为：，
即，
故答案为：
13. 在中，内角的对边分别是，若，则的面积为__________
【答案】##
【详解】，由正弦定理得，
又，故，
由得，
由面积公式得.
故答案为：
14. 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答）
【答案】
【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则，
事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则，
所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的最小正周期为．
（1）求及；
（2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
易知，
又最小正周期为，所以，
即，则
【小问2详解】
的图象向右平移个单位长度得到，
因为时，，
根据正弦函数的单调性可知即时，，
时即，，即，则.
16. 设数列的前项和为，且．
（1）证明：等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【小问1详解】
由题，，
当时，，
，又，
所以，
所以是以为首项，公比为3的等比数列；
【小问2详解】
由（1），，
则.
设数列，且，其前n项和为，
则，
，
两式相减可得，
，
则；
再设数列，且，其前n项和为，
则，
从而.
17. 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若为等腰三角形且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
因为在四棱锥中，底面为直角梯形，
且，，所以；
又，所以，
平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，，平面，所以平面.
因为平面，所以，.
所以即为二面角的平面角，所以.
又为等腰三角形，所以为等边三角形.
取中点，连接，如下图：
则，平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
且.
又，
所以.
在中，，，
.
所以
设点到平面的距离为，则.
由.
设直线与平面所成的角为，
则.
18. 已知椭圆过点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为．
①证明：直线过定点；
②求四边形面积的最小值．
【答案】（1）；
（2）①过定点，证明见解析；②.
【小问1详解】
因为椭圆过点，离心率，且.
所以，，即，得，
代入，得，即，所以.
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
①当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为.
因为右焦点，直线的方程为，设.
由，消去得，.
，，.
所以线段的中点M的坐标，，即.
同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成），
所以线段的中点N的坐标，，即.
所以的斜率，其中，直线的方程为
，化简，即
所以当，直线：过定点.如图：
当时，，此时直线与轴垂直且过定点；
当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点；
当直线的斜率不存在时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知，
此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点；
当直线的斜率为0时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知，
此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点；
综上可知，直线过定点.
②当直线的斜率存在且不等于零时，
由①可知，
同理可得（只需将换成），因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值.
当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换，
此时，，或者，
所以，显然.
综上可知，所以四边形面积有最小值.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点．
①求的取值范围；
②设的两个极值点为，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）①；②证明见解析
【小问1详解】
函数的定义域为，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由可得；由，可得.
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
①因为，则，
因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点，
即有两个不同的根，
则函数与有两个不同的交点，
又因为，则有，即有单调递增，
则有，即有单调递减，
所以，
又时，，当时，，
则函数与有两个不同的交点，有，即，
故存在两个极值点，的取值范围为；
②证明：由①可知时，存在两个极值点，设，
则，即，
则，
所以，要证，
即证明，即证，
由①知在上单调递增，则即证，
又因为，即证，
令，
，
所以在上单调递增，又，
所以在上有，
即成立，