2025-2026学年广东省广州市荔湾区协和中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市荔湾区协和中学八年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5m 2m 3mB．5m 2m 2m
C．5m 2m 4mD．5m 12m 6m
3．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
5．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（ ）
A．AB＝AB′，∠A＝∠A′，AC＝A'C'
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B'
C．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′
D．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，CB＝C'B'
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D
7．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
8．（3分）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，∠BPC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
9．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8B．16C．24D．32
10．（3分）如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）图中x的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为 °．
14．（3分）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边是 cm．
15．（3分）如图，等边三角形△ABC的边长为10，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过E作EF⊥AC于点F．若AD＝2，则AF＝ ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）
17．（4分）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
18．（4分）如图所示，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠CDE的度数．
19．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
20．（6分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，∠CAB＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm．求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长差．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度数．
22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
23．（10分）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D，
（1）如图1．在图1中尺规作图作出点D；若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AD于F，求证：BF＝DF．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0．
（1）求点B的坐标．
（2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）
②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，直线OM与x轴的夹角（锐角）是多少度？
25．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC＝50°时，则∠AED＝ °；
（2）当∠BAC＝60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE﹣PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 ，并证明．
2025-2026学年广东省广州市荔湾区协和中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本题包括16小题，每小题3分，共48分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。多选、错选均不得分。
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形，
故选：A．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5m 2m 3mB．5m 2m 2m
C．5m 2m 4mD．5m 12m 6m
【解答】解：A、2+3＝5，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+2＜5，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+4＞5，能组成三角形，故C符合题意；
D、5+6＜12，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
5．（3分）下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（ ）
A．AB＝AB′，∠A＝∠A′，AC＝A'C'
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B'
C．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′
D．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，CB＝C'B'
【解答】解：A．若AB＝AB′，∠A＝∠A′，AC＝A'C'，则△ABC≌△A'B'C'（SAS），所以A选项不符合题意；
B．若AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A'B'C'（ASA），所以B选项不符合题意；
C．若AB＝AB′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C'，则△ABC≌△A'B'C'（AAS），所以C选项不符合题意；
D．若∠A＝∠A′，AB＝A'B'，CB＝C′B′，则不能判定△ABC≌△A'B'C'（SAS），所以D选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠D
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
8．（3分）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，∠BPC＝130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．80°C．100°D．70°
【解答】解：∵点P到三边AB，AC，BC的距离PD＝PE＝PF，
∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PBC）＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．
故选：B．
9．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【解答】解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32；
故选：D．
10．（3分）如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴AE＝BE，ED＝EC，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∵AD＝AC，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分CD，①正确；
∵∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，
∴∠AEC＝∠BED，
在△ACE和△BDE中，，
∴△ACE≌△BDE（SAS），
∴∠ACE＝∠BDE，AC＝BD，
∵∠DNE＝∠CNM，如图所示：
∴由三角形内角和定理得：∠CMB＝∠DEC＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AD＝AB，
∴AC平分∠BAD，②正确；
∵AC＝BD，AD＝AC＝AB，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，③正确；
∴∠BAD＝∠ABD＝60°，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BCD＝2×75°＝150°，④正确；
正确的个数有4个，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【解答】解：∵关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣3，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
12．（3分）图中x的值为 70 ．
【解答】解：由三角形外角的性质可得，2x°＝x°+70°，
解得x＝70，
故答案为：70．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为 55 °．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠B＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为：55．
14．（3分）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边是 2或4 cm．
【解答】解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣4﹣4＝2（cm），4+4＞2，符合三角形的三边关系；
若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣4）÷2＝3（cm），此时三角形的三边长分别为3cm，3cm，4cm，符合三角形的三边关系；
∴等腰三角形的底边长为2或4cm，
故答案为：2或4．
15．（3分）如图，等边三角形△ABC的边长为10，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过E作EF⊥AC于点F．若AD＝2，则AF＝ 7 ．
【解答】解：∵AB＝10，AD＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝8，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE＝BD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝6，
在Rt△CFE中∠CEF＝90°﹣∠C＝30°，
∴CF＝CE＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
故答案为4.8．
三、解答题：（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）
17．（4分）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
18．（4分）如图所示，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠CDE的度数．
【解答】解：∵∠A＝62°，∠B＝74°，
∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝22°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝22°．
19．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
20．（6分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，∠CAB＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm．求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长差．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝90°，AD是边BC上的高，
∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），
∴AD的长为4.8cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长
＝（AC+AE+CE）﹣（AB+BE+AE）
＝AC﹣AB
＝8﹣6
＝2（cm），
∴△ACE和△ABE的周长差是2cm．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度数．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵BE＝AC，
∴AE＝AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
（2）解：由（1）知AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠C＝∠AED＝70°，
∵AD⊥EC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°．
22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ 0，﹣2 ），B1（ ﹣2，﹣4 ），C1（ ﹣4，﹣1 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 5 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【解答】解：（1）如图所示：A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案为：5；
（3）如图所示：点P即为所求．
23．（10分）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D，
（1）如图1．在图1中尺规作图作出点D；若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AD于F，求证：BF＝DF．
【解答】（1）解：如图1中，线段AD即为所求；
∵∠C＝75°，∠C＝3∠B，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣15°＝25°；
（2）证明：证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，
∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0．
（1）求点B的坐标．
（2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）
②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，直线OM与x轴的夹角（锐角）是多少度？
【解答】解：（1）∵|4﹣b|＝0，
∴4﹣b＝0
解得：b＝4，
∴B（0，4）；
（2）①A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵PM⊥AP，
∴∠MPA＝∠AOP＝90°，
∴∠MPB+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠MPB＝∠OAP，
又∵BR∥MP，
∴∠MPB＝∠RBO，
∴∠PAO＝∠RBO，
在△OBR和△OAP中，
，
∴△RBO≌△PAO（ASA），
∴RO＝PO，
∵P（0，t）为y轴上一动点，
∴R（﹣t，0）；
②如图2，PM⊥PA，过点M作MN⊥y轴于N，
∴∠MPA＝90°，
∵∠PAO+∠APO＝90°，
∴∠MPN＝∠PAO，
在△PMN和△APO中，
，
∴△PMN≌△APO（AAS），
∴MN＝PO，PN＝OA，
又∵OA＝OB，
∴OB＝PN，
∴BN＝OP＝MN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠NBM＝45°，
∴M点在过B点且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动；
如图3，设直线BM与x轴交于点D，当OM⊥BD时，OM最小，
∵∠MBN＝∠OBA＝∠BAO＝45°，
∴△DOM是等腰直角三角形，
∴直线OM与x轴的夹角是45°．
25．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC＝50°时，则∠AED＝ 80 °；
（2）当∠BAC＝60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE﹣PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为 PE﹣PD＝2AB ，并证明．
【解答】解：（1）如图1中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝280°，
∴∠AED＝360°﹣280°＝80°，
故答案为：80．
（2）①结论：△ADE时等边三角形．
理由：如图2中，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝300°，
∴∠AED＝360°﹣300°＝60°，
∴△ADE时等边三角形；
②结论：PE﹣PD＝2AB．
理由：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．
当点P在ED′的延长线上时，PE﹣PD的值最大，此时PE﹣PD＝ED′，
∵∠CFD+∠CFE＝180°，∠CFD＝∠CAE，
∴∠CAE+∠CFE＝180°，
∴∠ACF+∠AEF＝180°，
∵∠AED＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∴∠ACB＝∠FCD＝30°，
∴∠DCF＝∠FCD′＝30°，
∴∠DCD′＝60°，
∵CD＝CD′，
∴△CDD′时等边三角形，
∴DC＝DD′，∠CDD′＝∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝∠EDD′，
∵DA＝DE，
∴△ADC≌△EDD′（SAS），
∴AC＝ED′，
∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB，
∴PE﹣PD＝2AB．
故答案为：PE﹣PD＝2AB．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
D
B
A
B
D
D