2025-2026学年河南省郑州市经开四中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年河南省郑州市经开四中九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成-东风−5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风−5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与左舰图相同D. 三种视图都不相同
2.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是( )
A. 当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D. 当AB=AC时，四边形ABCD是菱形
3.一元二次方程2x2−5x+2=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无法确定
4.下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是( )
A. a=1，b=1，c=1，d=5
B. a=2，b= 5，c=2 3，d= 15
C. a=1，b= 2，c=2 2，d=8
D. a= 2，b=3，c=2，d=8
5.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A. 20B. 24C. 27D. 30
6.如图，AD是△ABC的中线，ED=2AE，BE的延长线交AC于点F，则AFAC的值为( )
A. 13
B. 15
C. 25
D. 35
7.如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，表高影长≈12；夏至日影最短，表高影长≈3.若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为( )
A. 2.1m
B. 2.4m
C. 5.6m
D. 5.8m
8.如图，点A是射线y=65x(x≥0)上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y=kx交CD边于点E，则DEEC的值为( )
A. 65
B. 95
C. 165
D. 1
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接AC交DF于点M，则AMCM的值为( )
A. 1
B. 98
C. 87
D. 65
10.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 2；③EB⊥ED；④S正方形ABCD=4+ 6.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将一元二次方程x2−6x+5=0化成(x−a)2=b的形式，则ab=______.
12.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，AB= 5，点B的坐标为(2,0)，点M是对角线AC上一点，AC//OB，AM=BC，则点M的坐标为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0，x>0)的图象上，PB⊥x轴于点B，点C在x轴负半轴上，且BO=2CO，连接OP、CP，若△PBC的面积为3，则k的值为 .
14.☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法如下：如图，以a2和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的正根.
利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx=36时，若构造后的图形满足AD=2BD，则m的值为 .
15.如图，菱形ABCD中，CD=2 3，∠BCD=30∘，点P为射线AE上一个动点，连接DP，点A′为点A关于直线DP的对称点，连接A′P，A′D，当A′P⊥BC时，AP的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
请选择合适的方法解下列方程：
(1)2x2−4x−5=0；
(2)(x−1)(x+2)=70.
17.(本小题8分)
某数学小组在数学节对“你最认可的‘在杭州横空出世的新兴事物’”进行调查，随机调查了m人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出m=______，n=______；
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全；
(3)已知A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学选的事物一样的概率.
18.(本小题8分)
已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB=AF；
(2)若AG=AB，∠BCD=120∘，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
19.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，(要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2；请画出放大后的△A1B1C1.
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM=32.
(3)在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得△ABD∽ACB.
20.(本小题8分)
通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.
【数学思考】
如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______；
【解决问题】
如图②，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m.已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度.
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+3的图象与反比例函数y2=kx的图象交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C(−6,0)、D，点E在第一象限，点F是x轴正半轴上一点，菱形CDEF的边DE与反比例函数的图象交于点G，且EGDG=12.
(1)利用无刻度的直尺，在反比例函数y2=kx的图象上作出点Q，使S△OCB=S△OCQ(不写作法，保留作图痕迹).
(2)求a的值和反比例函数的表达式；
(3)将菱形CDEF向下平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为______.
22.(本小题8分)
超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件.为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件.
(1)当一件商品降价x元时，每天销售量可达到______件，每件盈利______元；
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
(3)在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，则k的值为______.
(可以利用学过的Δ判别式，或利用配方法来解决问题).
23.(本小题8分)
定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.
(1)下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______；
A.正方形
B.矩形
C.有一个角是60∘的菱形
D.有一个角是60∘的平行四边形
E.有一个角是45∘的平行四边形
(2)在“N字平行四边形”中，∠A=45∘，AB>BC，则ABBC=______；
(3)如图1，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B=75∘，AB=AC=8，点F是AB边上一点，FG//AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；
(4)如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB=2AF，求ABBC的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：东风−5C洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，
故选：B.
根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，解题的关键具有空间概念．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法．
利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可得出正确的选项．
【解答】
解：A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以得到，故A正确，不符合题意；
B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到，故B正确，不符合题意；
C.根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断，故C正确，不符合题意；
D.当AB=AC时，不能得到四边形 ABCD是菱形，故D错误，符合题意.
3.【答案】A
【解析】解：由题意得，Δ=(−5)2−4×2×2=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A.
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，则OB=x，PB=y.
由条件可知CO=12x，
∴BC=BO+CO=x+12x=32x.
∵△PBC的面积为3，
∴S△PBC=12×BC×PB.
即12×32x×y=3，
化简得34xy=3，
xy=4.
∵点P(x,y)在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上，
∴k=4.
故答案为：4.
设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出xy的值，根据反比例函数性质求出k的值即可．
考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标．
14.【答案】3 2
【解析】解：根据题意，构造图形如图所示：
则AC=6，BC=BD=m2，
∵AD=2BD，
∴AD=m，
即m就是x2+mx=36的一个正根，
∴m2+m2=36
解得 m=3 2(负值已舍).
故答案为：3 2.
根据题意构造图形，则AC=6，BC=BD=m2，AD=m，然后代入一元二次方程即可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键．
15.【答案】2或6
【解析】解：设A′D交AB于G，延长CB交A′P于H，连接AA′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CB，CD=AD=2 3，
∵∠BCD=30∘，
∴∠ABH=30∘，
∵A′P⊥BC，
∴∠BHP=60∘，
∵点A′为点A关于直线DP的对称点，
∴∠DA′P=∠DAP=30∘，
∴∠A′GP=90∘，
∴A′D⊥AE，
∴A′D⊥CD，
∴∠CDA′=90∘，
∵∠CDA=180∘−∠DCB=150∘，
∴∠ADA′=60∘，
∵DA′=DA=2 3，
∴△AA′D的等边三角形，
∴AA′=AD，
∴A′G=12A′D= 3，
∴A′GA′P=sin60∘= 32，
∴A′P=2，
∴PA=PA′=2，
如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CB，CD=AD=2 3，
∵∠BCD=30∘，
∴∠PBC=30∘，
∵A′P⊥BC，
∴∠BHP=90∘，
∴∠BPH=60∘，
∵点A′为点A关于直线DP的对称点，
∴∠DA′P=∠DAP=30∘，
∴∠A′GP=90∘，
∴A′D⊥AE，
∴A′D⊥CD，
∴∠CDA′=90∘，
∴∠AGD=90∘，
∴DG=12AD= 3，
∴A′G=3 3，
∴PA′=6，
∴PA=PA′=6，
故答案为：2或6.
设A′D交AB于G，延长CB交A′P于H，连接AA′，根据菱形的性质得到AB//CB，CD=AD=2 3，根据轴对称的性质得到∠DA′P=∠DAP=30∘，根据等边三角形的性质得到AA′=AD，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】x1=1+ 142，x2=1− 142；
x1=−9，x2=8
【解析】(1)方程化为x2−2x=52，
配方，得x2−2x+1=52+1，
(x−1)2=72，
开方，得x−1=± 142，
解得：x1=1+ 142，x2=1− 142；
(2)(x−1)(x+2)=70，
整理，得x2+x−72=0，
(x+9)(x−8)=0，
x+9=0或x−8=0，
解得：x1=−9，x2=8.
(1)利用配方法解方程即可；
(2)整理后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：即一元如此方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17.【答案】100，35；
补全条形统计图，如图即为所求；
16
【解析】(1)由图可得，m=10÷10%=100，
∴选“脑机接口”的人数为：100×15%=15(人)，
∴选“人形机器人”的人数为：100−40−15−10=35(人)，
∴n%=35÷100=35%，
故答案为：100，35；
(2)选“deepseek”的人数为：40100×100%=40%，
补全条形统计图，如图即为所求；
(3)A、B两位同学都选了“deepseek”，C同学选了“人形机器人”，D同学选了“3D仿真游戏”，从四名同学中抽取两名同学，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样有2种等可能的结果，
∴两位同学选的事物一样的概率为：212=16.
(1)先利用选“3D仿真游戏”的人数除以其所占的百分比求得总人数m，进而求得，选“脑机接口”的人数和选“人形机器人”的人数，再利用选“人形机器人”的人数除以总人数求解即可；
(2)利用选“deepseek”的人数除以总人数求得其所占的比例，再根据(1)得，n=35，再补全条形统计图即可；
(3)列表格得，总共有12种等可能的结果，其中两位同学选的事物一样的结果有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，概率公式，理解题意，明确图中的信息是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF.
(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120∘，
∴∠FAG=60∘，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【解析】(1)只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
(2)结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】(1) (2) (3)
【解析】解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)点M如图所示；
(3)点D如图所示．
(1)根据位似图形的定义，延长CA到点A1，使得CA1=2CA，延长CB到点B1，使得CB1=2CB，连结A1B1，可证明△ABC与△A1B1C1位似，位似比为1：2，所以△A1B1C1即为所求；
(2)在点C的左侧作水平线段BC=5个单位长度，连结AC，在BC上取点N，使BN=2个单位长度，过点N沿格点线作NM//AC，交AB于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得AMBM=32，所以点M就是所求的点；
(3)过点A作AE⊥AC，使得AE=AC，点E恰为格点，过点B作BF//AE，使得BF=AE，点F恰为格点，BF与AC交于点D，则AC⊥BF，同时可证得∠ABC=90∘，由此即可证明△ABD∽△ACB，所以点D就是所求的点．
本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
20.【答案】D
【解析】【数学思考】等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，
∴y与x之间函数关系的图象大致为D，
故答案为：D；
【解决问题】∵CD//EF//AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴CDAB=DFBF，EFAB=GFBG，
又∵CD=EF，DF=3m，FG=4m，BF=BD+DF=(BD+3)(m)，BG=BD+DF+FG=(BD+7)(m)，
∴DFBF=GFBG，
∴3BD+3=4BD+7，
∴BD=9m，BF=9+3=12(m)，
∴1.6AB=312，
解得：AB=6.4，
∴灯杆AB的高度为6.4m.
【数学思考】等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案；
[解决问题]根据题意可得出△CDF∽△ABF，△EFG∽△ABG，得到CDAB=DFBF，EFAB=FGBG，进而得到DFBF=FGBG，即可求出BD的长，即可求出AB的长．
本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】见解析过程；
a=12，反比例函数的表达式为y2=6 5x；
5.
【解析】解：(1)如图，点Q为所求解；
(2)∵点C(−6,0)在一次函数y=ax+3的图象上，
∴−6a+3=0，
∴a=12，
∴一次函数的表达式为：y1=12x+3，
∵一次函数y1=12x+3与x轴、y轴分别交于点C(−6,0)、D，
∴D(0,3)，
∴CD= OC2+OD2=3 5，
∵四边形OCDE是菱形，
∴DE=CD=3 5，
∵DE//x轴，EGDG=12，
∴DG=2 5，点G的纵坐标为3，
∴点G(2 5,3)，
∴k=2 5×3=6 5，
∴反比例函数的表达式为y2=6 5x；
(3)设平移的距离为h，
∵点C(−6,0)，将菱形CDEF向下平移，
∴点C平移后的对应点的坐标为(−6,−h)，
∵点C落在这个反比例函数的图象上，
∴−h=6 5−6=− 5，
∴h= 5，
故答案为： 5.
(1)连接BO，并延长交反比例函数图象于点Q；
(2)利用待定系数法可求a的值，由菱形的性质和勾股定理可求点G坐标，即可求解；
(3)由平移的性质可得点C平移后的对应点的坐标为(−6,−h)，代入解析式，即可求解．
本题是反比例函数综合题，一次函数的应用，待定系数法，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】(30+2x)，(50−x)；
20元；
2112.5
【解析】(1)根据题意得：当一件商品降价x元时，每天销售量可达到(30+2x)件，
每件盈利(50−x)元．
故答案为：(30+2x)，(50−x)；
(2)根据题意得：(50−x)(30+2x)=2100，
整理得：x2−35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
又∵要尽快减少库存，
∴x=20.
答：每件商品降价20元时超市每天盈利可达到2100元；
(3)根据题意得：(50−x)(30+2x)=k，
整理得：2x2−70x+k−1500=0，
∵该方程有实数根，
∴Δ=(−70)2−4×2×(k−1500)=4900−8k+12000≥0，
解得：k≤2112.5，
∴k的最大值为2112.5.
故答案为：2112.5.
(1)利用每天的销售量=30+2×一件商品降价的钱数，可用含x的代数式表示出每天的销售量；利用每件的盈利=50−一件商品降价的钱数，可用含x的代数式表示出每件的盈利；
(2)利用总利润=每件的盈利×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论；
(3)利用总利润=每件的盈利×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，由方程有实数根，可得出Δ=4900−8k+12000≥0，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量及每件的盈利；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)利用根的判别式Δ≥0，求出k的取值范围．
23.【答案】C；
2；
AF=8 33；
ABBC=23或47.
【解析】(1)解：正方形的对角线是边长的 2倍，故A选项不是；
矩形的对角线是直角三角形的斜边比边长大，故B选项不是；
有一个角是60∘的菱形必定包含等边三角形，
会有一条对角线等于边长，故C选项是；
有一个角是60∘的平行四边形和有一个角是45∘的平行四边形并不必然出现对角线等于边长，故D、E选项均不是；
故选：C；
(2)解：如图，
∵▱ABCD是“N字平行四边形”，
∴DA=DB，
∵∠A=45∘，
∴∠ABD=45∘，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴ABAD= 2，
∴ABBC= 2，
故答案为： 2；
(3)证明：连接AG，CF，
∵在N字▱ABCD中，∠B=75∘，AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=75∘，∠BAC=30∘.
∵AB//DG，
∴∠B=∠BCG=75∘，
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150∘，
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，
若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况：
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30∘，
过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，AH= 3FH，
又∵AC=8，
∴AH=12AC=4，
∴FH=4 33，AF=2FH=8 33；
②当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30∘，此时，∠ACF=120∘>∠ACB矛盾．
综上，若▱AFGC为N字平行四边形，AF=8 33；
(4)过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠A=∠C=90∘，AB=DC=FN，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴FD=BE，FB=DE，
∴AF=AD−FD，CE=BC−BE，即AF=CE.
∵四边形BEDF为N字平行四边形，
又∵BD>BE，BD>DE，
∴有以下两种情况：
①当FB=FE时，
∵FN⊥BE，
∴N为BE的中点，
∴BN=NE.
在矩形ABNF中，AF=BN，
又∵AF=CE，
∴BN=NE=CE=AF，
∴BC=BN+NE+CE=3AF，
∵AB=2AF，
∴ABBC=2AF3AF=23；
②当EB=EF时，
∵EM⊥BF，
∴M为BF的中点，BM=12BF，
设AF=t，则AB=2t，BF= AF2+AB2= 5t，BM= 52t，
∵EM⊥BF，
∴∠EMB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠MBE，
∴Rt△BAF∽Rt△EMB，
∴AF：AB：BF=MB：ME：BE=1：2： 5，
由BM= 52t可得BE=52t，
∴BC=72t，
∴ABBC=2t7t2=47；
综上，ABBC=23或47.
(1)根据选项逐一判断即可；
(2)画出图形，证明△ABD是等腰直角三角形即可得解；
(3)由题易得∠ACG=∠ACB+∠BCG=150∘，则▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为两种情况：①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30∘，②当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30∘，再分别求解即可；
(4)过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，分两种情况：①当FB=FE时，②当EB=EF时，分别画出图形求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．-
A
B
C
D
A
-
AB
AC
AD
B
BA
-
BC
BD
C
CA
CB
-
CD
D
DA
DB
DC
-