安徽省省十联考2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试题（原卷版）-A4

这是一份安徽省省十联考2024-2025学年高二上学期1月期末测试数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了答题时，必须使用0等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一、单选题
1. 平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A. 1B. C. D.
2. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
6. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A. 55B. 75C. 91D. 109
7. 已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 是递增数列B.
C. 当时，取得最小值D. 若，则的最小值为11
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点与重合，则，
B. 若平面，则
C. 存在唯一的点使得平面
D. 若，，则点到平面的距离为
11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为2，且的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上除端点外的一点，用过，，三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥体积为
B. 若，则平面与圆锥底面的夹角为
C. 当时，截得的曲线是椭圆的一部分
D. 若，平面截该圆锥面所得曲线的离心率为
三、填空题
12. 已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则________.
13. 已知数列的前项和为，，若数列的前项和为，则________.
14. 已知曲线，为上一点，则的取值范围为________.
四、解答题
15. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
16. 若数列的前项和为，且.数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并证明.
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上，是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
18. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知点，过点且斜率不为0一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点.
①求证：直线与直线的斜率之积为常数；
②求面积的取值范围.
19. 若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“对称数列”.
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且，，成等比数列，，，成等差数列，，试写出的每一项；
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为3的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最小值？最小值为多少？
（3）设数列是项数为（且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和．若，，求的最小值．