2025-2026学年山东省淄博市周村区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2025-2026学年山东省淄博市周村区七年级（上）期中数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是2024年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形( )
A. 3，3，3B. 3，4，5C. 5，6，10D. 4，5，9
3.如图，一棵大树在台风中于离地面8米处折断倒下，树的顶端落在离树干6米远处，这棵大树在折断前的高度为( )
A. 10米
B. 14米
C. 18米
D. 19米
4.能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是( )
A. 三角形的一条中线B. 三角形的一条角平分线
C. 三角形的一条高D. 三角形一边的垂直平分线
5.如图，在△ABC中，∠B=90∘，∠C=30∘，DE垂直平分AC.如果DE=2，那么BC的长为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
6.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60∘，则∠BFC等于( )
A. 100∘
B. 110∘
C. 120∘
D. 150∘
7.如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道.在两个城镇之间有一个生态保护区(长方形ABCD)，燃气管道不能穿过该区域.下列四种铺设管道路径的方案：
其中铺设管道路径最短的方案是( )
A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案4
8.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )
A. 4.1米
B. 4.0米
C. 3.9米
D. 3.8米
9.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=40∘，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
10.如图，过边长为6的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，PQ交AC于点D，当AP=CQ时，DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 不能确定
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知等腰三角形的一个底角为80∘，则顶角的度数是______.
12.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E，连接AE.如果AE=AC，∠B=25∘，那么∠C的度数是 .
13.如图，BD=BC，BE=CA，∠DBE=∠C=62∘，∠BDE=75∘，则∠EBC的度数为 .
14.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大的正方形E的边长是 .
15.如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形.
17.(本小题10分)
如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图.
(1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数.
(2)在图2中，画出一个面积为10的正方形.
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=10，AD=8，BD=6，AC=17.(1)求∠ADB的度数；
(2)求△ABC的面积.
19.(本小题10分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
(1)试说明：△ABF≌△DCE；
(2)连接AE，若∠AFB=40∘，∠D=65∘，AB=AE，求∠AED的度数.
20.(本小题12分)
如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F.
(1)若∠AFD=155∘，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B.
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CA=4，CB=6，D是BC的中点，E是AC边上一点，连接DA，DE.将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处.
(1)求AD的长；
(2)求CE的长.
22.(本小题13分)
如图，图1，图2，图3均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，在给定的网格中，请只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图1中，作出△ABC中BC边上的中线AO；
(2)在图2中，在AB边上作出点D，使CD⊥AB；
(3)在图3中，在AC边上作出点E，使∠ABE=45∘.
23.(本小题13分)
已知：△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，CD，AE交于点F，BD=CE.
(1)如图1，求∠AFC的度数；
(2)如图2，FG为∠AFC的角平分线，交AC于点G，求证：CE=CG；
(3)如图3，延长FG至点H，使HG=CD，连接HA、HC，试判断△ACH的形状并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B、C选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、3+3>3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
B，3+4>5，3+5>4，5+4>3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
C、5+6>10，5+10>6，6+10>5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；
D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；
故选：D.
先回顾一下三角形的三边关系定理，根据判定定理逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
3.【答案】C
【解析】解：如图，BC=8m，AC=6m，∠ACB=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
即82+62=AB2，
解得AB=10，
∴AB+BC=10+8=18(m)，
即这棵大树在折断前的高度为18m，
故选：C.
利用勾股定理可直接列式计算BC的长，进而可求解．
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.由等底同高的三角形面积相等得，三角形的一条中线将任意一个三角形分成的两部分积一定相等，所以此选项正确，符合题意；
B.三角形的一条角平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，所以此选项错误，不符合题意；
C.三角形的一条高将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，所以此选项错误，不符合题意；
D.三角形一边的垂直平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，所以此选项错误，不符合题意；
故选：A.
由等底同高的三角形面积相等即可判断．
本题考查了三角形的中线，理解三角形的中线是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AC，
∴CD=DA，∠DEC=90∘，
∴∠C=∠CAD=30∘，
∵DE=2，
∴CD=2DE=4，
∵∠B=90∘，
∴∠CAB=90∘−∠C=60∘，
∴∠BAD=∠CAB−∠CAD=30∘，
∴BD=12AD=2，
∴BC=BD+CD=2+4=6，
故选：C.
先利用线段垂直平分线的性质可得CD=DA，∠DEC=90∘，从而可得∠C=∠CAD=30∘，然后在Rt△CDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CD=4，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠CAB=60∘，从而可得∠BAD=30∘，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠A=120∘，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，
∴∠BFC=180∘−(∠FBC+∠FCB)=120∘，
故选：C.
由∠A=60∘，求得∠ABC+∠ACB=120∘，因为∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，所以∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，则∠FBC+∠FCB=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，求得∠BFC=180∘−(∠FBC+∠FCB)=120∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于180∘”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接P′C交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置．
故选：C.
作点P关于直线l的对称点P′，连接P′C交直线l于点G即可．
本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
8.【答案】A
【解析】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD= OC2−OD2= 22−1.22=1.6(m)，
CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米，
故选：A.
首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长；然后再根据CH=CD+DH，进而得出CH的长，即可得出答案．
本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：分三种情况①AP=AB，②BA=BP，③PA=PB：
如图，①以点A为圆心，AB长为半径交直线AC于点P1和P2，
②以点B为圆心，BA长为半径交直线AC于点A和P3，
③线段AB垂直平分线与直线AC的交点记为点P4，
∴符合条件的点P共有4个，
故选：C.
根据题意，画出图形，即可得到答案．
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识，正确画出图形．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过P作BC的平行线交AC于点F，
∴∠Q=∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴∠APF=∠B=60∘，∠AFP=∠ACB=60∘，AC=6，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDCPF=QC，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=12AC，
∵AC=6，
∴DE=3.
故选：B.
过P作BC的平行线交AC于点F，证明△APF是等边三角形，得AP=PF，则PF=CQ，再证明△PFD≌△QCD(AAS)，得FD=CD，然后由等边三角形的性质得AE=EF，即可解决问题．
本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，
11.【答案】20∘
【解析】解：∵等腰三角形的底角为80∘，
∴顶角的度数为：180∘−80∘−80∘=20∘.
故答案为：20∘.
由已知底角为80∘，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出顶角的度数．
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解题的关键．
12.【答案】50∘
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠B=∠BAE=25∘，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=50∘，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C=50∘，
故答案为：50∘.
根据线段垂直平分线的性质可得：EA=EB，从而可得∠B=∠BAE=25∘，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC=50∘，再利用等腰三角形的性质可得∠AEC=∠C=50∘，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13.【答案】13∘
【解析】解：由题意知，
在△ABC和△EDB中，
BD=BC∠DBE=∠C=62∘BE=CA，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠ABC=∠EDB，
∵∠BDE=75∘，
∴∠ABC=75∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠DBE=75∘−62∘=13∘.
故答案为：13∘.
根据已知条件证明△ABC≌△EDB，得出∠ABC=∠EDB，再利用已知条件通过角的和差关系求得∠EBC的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质及角的和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：如图所示，MN2+PN2=MP2，
∵A，B，F都是正方形，
∴SA=MN2,SB=PN2,SF=PM2，
∴SF=SA+SB=122+162=400，
同理可得SG=SC+SD=92+122=225，
∴SE=SF+SG=625，
∴最大正方形E的边长为25.
故答案为：25.
先根据勾股定理可得MN2+PN2=MP2，即可求出SF=SA+SB，同理可得SG=SC+SD，接下来求出SE，则此题可解．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15.【答案】6
【解析】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′=M′E，
∴CE=CM′+M′E=CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为15，AB=5，
∴12×5⋅CE=15，
∴CE=6.
即CM+MN的最小值为6.
故答案为：6.
过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值．
16.【答案】见试题解答内容．
【解析】解：如图所示：
.
直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵ 32+42=5，
∴两条直角边长为3和4的直角三角形ABC即为所求，
如图1所示：
(2)∵面积为10的正方形的边长为 10，
12+32= 10，
∴四边形ABCD即为所求，
如图2所示：
【解析】(1)由正方形的性质和勾股定理即可得出结果；
(2)正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90∘；
(2)在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90∘，
∴CD= AC2−AD2= 172−82=15，
∴BC=BD+CD=6+15=21，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×21×8=84.
【解析】(1)根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，即可求解；
(2)在Rt△ACD中利用勾股定理即可求出CD的长，再根据三角形面积公式可得出结论．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
19.【答案】(1)证明：因为BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，
所以BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
所以△ABF≌△DCE(SAS)；
(2)解：因为△ABF≌△DCE，
∠AFB=40∘，
所以∠DEC=∠AFB=40∘，∠B=∠C=180∘−∠D−∠DEC=75∘，
又因为AB=AE，
所以∠AEB=∠B=75∘，
所以∠AED=180∘−∠AEB−∠DEC=65∘.
【解析】(1)利用SAS证明三角形全等即可．
(2)由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠DEC=∠AFB=40∘，∠B=∠C=75∘，再根据等边对等角得出∠AEB=∠B=75∘，最后根据平角的定义求解即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
20.【答案】解：(1)∵∠AFD=155∘，
∴∠DFC=25∘，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90∘，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90∘−25∘=65∘，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65∘，
∴∠EDF=360∘−65∘−155∘−90∘=50∘.
(2)连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90∘，
∠CBF+∠BFD=90∘，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=12∠ABC.
【解析】(1)求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
(2)连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=12∠ABC.
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
21.【答案】解：(1)∵∠ACB=90∘，CA=4，CB=6，D是边BC的中点，
∴CD=12BC=3，
∴AD= AC2+CD2=5；
(2)∵将△CDE沿DE翻折，点C落在AD上的点F处，
∴CD=DF=3，CE=EF，∠EFD=90∘，
∴AF=AD−DF=2，∠AFE=90∘，
设CE=x，则EF=x，AE=AC−CE=4−x，
在Rt△AFE中，由勾股定理，得：(4−x)2=x2+22，
解得x=32，
∴CE=32.
【解析】(1)勾股定理求出AD的长；
(2)根据折叠得到CD=DF，CE=EF，∠EFD=90∘，设CE=x，在Rt△AFE中，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】


【解析】(1)如图1，取BC的中点O，连接AO，
则AO即为所求．
(2)如图2，点D即为所求．
(3)如图3，作AF⊥AB且AF=AB，连接BF交AC于点E，
此时△ABF为等腰直角三角形，
∴∠ABF=45∘，
即∠ABE=45∘，
则点E即为所求．
(1)取BC的中点O，连接AO即可．
(2)利用网格画图即可．
(3)作AF⊥AB且AF=AB，连接BF交AC于点E，则点E即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】120∘；
证明见解答过程；
△ACH是等边三角形，证明见解答过程．
【解析】(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=CA，∠B=∠ACE=∠BAC=60∘，
在△BCD和△CAE中，
BC=CA∠B=∠ACEBD=CE，
∴△BCD≌△CAE(SAS)，
∴∠BCD=∠CAE，
∵∠AFD是△CAF的外角，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACE=60∘，
∴∠AFC=180∘−∠AFD=120∘；
(2)证明：过点C作CH⊥FG于点H，CP⊥AE，交AE的延长线于点P，如图2所示：
由(1)可知：∠AFC=120∘，
∵FG为∠AFC的角平分线，
∴∠AFG=∠CFG=12∠AFC=60∘，
∵∠CFP=∠AFD=60∘，
∴∠CFG=∠CFP=60∘，
∴CF是∠GFP的平分线，
又∵CH⊥FG于点H，CP⊥AE，
∴CH=CP，∠CHG=∠P=90∘，
∵∠CGH是△AFG的外角，∠CEP是△CEF的外角，
∴∠CGH=∠CAE+∠AFG=∠CAE+60∘，∠CEP=∠CFP+∠BCD=60∘+∠BCD，
由(1)可知：∠BCD=∠CAE，
∴∠CGH=∠CEP，
在△CHG和△CPE中，
∠CHG=∠P=90∘∠CGH=∠CEPCH=CP，
∴△CHG≌△CPE(AAS)，
∴CG=CE，
即CE=CG；
(3)解：△ACH是等边三角形，证明如下：
由(2)可知：∠AFG=∠CFG=60∘，CE=CG，
∵BD=CE，
∴CG=BD，
∵∠CGH是△CGF的外角，∠BDC是△ADC的外角，
∴∠CGH=∠CFG+∠ACD=60∘+∠ACD，∠BDC=∠BAC+∠ACD=60∘+∠ACD，
∴∠CGH=∠BDC，
在△BCD和△CHG中，
HG=CD∠CGH=∠BDCCG=BD，
∴△BCD≌△CHG(SAS)，
∴BC=CH，∠B=∠HCA=60∘，
∵BC=AC，
∴CH=AC，
又∵∠HCA=60∘，
∴△ACH是等边三角形．
(1)证明△BCD和△CAE全等得∠BCD=∠CAE，根据三角形外角性质得∠AFD=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=60∘，由此即可得出∠AFC的度数；
(2)过点C作CH⊥FG于点H，CP⊥AE，交AE的延长线于点P，由(1)可知∠AFC=120∘，根据FG为∠AFC的角平分线得∠AFG=∠CFG=∠AFD=∠CFP=60∘，则CF是∠GFP的平分线，再根据角平分线性质得CH=CP，再根据三角形外角性证明∠CGH=∠CEP，由此可依据“AAS”判定△CHG和△CPE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
(3)由(2)可知∠AFG=∠CFG=60∘，CE=CG，进而得CG=BD，根据三角形外角性质证明∠CGH=∠BDC，由此依据“SAS”判定△BCD和△CHG全等得BC=CH=AC，∠B=∠HCA=60∘，据此即可判定△ACH的形状．
此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键．方案1：
过点P作PE⊥l于点E，连接EC，CQ，则铺设管道路径是PE−EC−CQ.
方案2：
连接QC并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是PF−FQ.
方案3：
作点P关于l的对称点P′，连接P′C交l于点G，连接PG，CQ，则铺设管道路径是PG−GC−CQ.
方案4：
作点Q关于l的对称点Q′，连接Q′P交l于点H，连接HC，CQ，则铺设管道路径是PH−HC−CQ.