2025-2026学年浙江省温州市乐清市公立寄宿宿学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年浙江省温州市乐清市公立寄宿宿学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（ ）球的可能性最大.
A. 黄B. 白C. 红D. 黑
2.已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A. B. C. 2a=3bD. 3a=2b
3.⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 无法确定B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O内
4.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. y=（x+2）2+3B. y=（x-2）2+3C. y=（x+2）2-3D. y=（x-2）2-3
5.对于二次函数y=-（x-3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=3
C. 当x=3时，y有最大值0D. 当x＜3时，y随x的增大而减小
6.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A. （2，1）
B. （1，2）
C. （3，0）
D. （0，3）
7.若点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=2x2-x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y3＜y1＜y2D. y2＜y3＜y1
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE和OD，若∠BCD：∠BAD=5：3，则∠DOE的度数是（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 70°
9.如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动.设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD=2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在五张质地都相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是偶数的概率是 .
12.已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AB=2，AP＞BP，那么AP= .
13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为劣弧AB上的动点（不与A，B重合），则∠APB的大小为 .
14.如图，二次函数与一次函数y2=mx+c的图象交于点（0，3）和（-3，0），则满足ax2+bx＞mx的x的取值范围为 .
15.已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y=x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 .
16.如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，且OC=8，AB=10，则BC= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知抛物线y=ax2+2x-3上（a是常数）经过点A（1，0）.
（1）求二次函数解析式；
（2）判断点（2，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由.
18.(本小题7分)
某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱．
（1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是______；
（2）若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率．
19.(本小题8分)
如图，在⊙O中，AB=AC.
（1）求证：OA平分∠BAC.
（2）若，求∠BAC的度数.
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，⊙O交边BC于点D，延长CA交⊙O于点E，连接DE交AB于点F，且DE=DC.
（1）求证：BD=CD；
（2）若EF=DF=3，求图中阴影部分的面积.
21.(本小题10分)
如图，双曲线经过Rt△AOB斜边的中点P，交直角边AB于点Q，连接OQ，点A的坐标为（8，4）.
（1）求双曲线的解析式；
（2）求证：△BOQ∽△BAO.
22.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2mx+m+2（m是常数）.
（1）若函数图象经过点（2，3），求函数图象的顶点坐标.
（2）若函数图象经过点（-1，p），（1，q），求证：pq≤12.
（3）已知函数图象经过点（-3，y1），（m-1，y2），（n,y3）.若对于任意的3≤n≤5，都有y1＞y2＞y3成立，直接写出m的取值范围.
24.(本小题12分)
已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB=60°，DH=1，∠OHD=80°，
①求⊙O的半径；
②求∠BDE的大小．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】-1
13.【答案】144°
14.【答案】-3＜x＜0
15.【答案】4
16.【答案】2
17.【答案】解：（1）将点A坐标代入y=ax2+2x-3得，
a+2-3=0，
解得a=1，
所以二次函数解析式为y=x2+2x-3．
（2）不在，理由如下：
将x=2代入y=x2+2x-3得，
y=4+4-3=5≠4，
所以点（2，4）不在这个二次函数图象上．
18.【答案】解：（1） ；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选中一男一女的有12种情况，
∴选中一男一女的概率为=．
19.【答案】连接并延长AO交⊙O于点E，
∵AB=AC，
∴，
∴AE垂直平分BC，且，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AO平分∠BAC．
∠ BAC的度数是36°
20.【答案】（1）证明：如图1，连接AD，

∵DE=DC，
∴∠C=∠E，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=DC．
（2）解：如图2，连接OD，AD，则OD=OA，

∵AB是⊙O的直径，且EF=FD=3．
∴AB⊥DE，
∴∠OFD=90°，
由（2）得△AEF∽△ODF，
∴==1，
∴OF=AF=OA=OD，
∴DE垂直平分OA，
∴AD=OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°，
∵FD===OD=3，
∴OB=OD=2，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD=-×2×3=4π-3，
∴阴影部分的面积是4π-3．
21.【答案】双曲线的解析式为y=；
∵△AOB为直角三角形，
∴AB∥x轴，
∴A，Q两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式y=得：x=2，
∴点Q的坐标为（2，4）．
∵点A的坐标为（8，4），
∴BQ=2，OB=4，AB=8，
∴，=，
∴，
又∵∠OBQ=∠ABO，
∴△BOQ∽△BAO
22.【答案】解：（1）把（0，0）代入y=mx2-4mx-20m+5得：-20m+5=0，
∴m=，
∴抛物线解析式为：y=，
∴顶点D的坐标为（2，-1）．
（2）∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=45°，
在y=x+2中，当x=6时，y=8，
在y=中，当x=6时，y=3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF=8-3=5，
∵EF∥OB，
∴∠GFE=∠ABO=45°，
∵点E、E′是叶片上的一对对称点，
∴EE′=2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG==，
∴EE′=2EG=5．
23.【答案】（1）解：二次函数y=x2-2mx+m+2经过点（2，3），
∴3=4-4m+m+2．
解得m=1．
∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2．
∴函数图象的顶点坐标为（1，2）；
（2）证明：函数y=x2-2mx+m+2的图象经过点（-1，p），（1，q），
∴p=1+2m+m+2=3m+3，q=1-2m+m+2=-m+3．
∴pq=（3m+3）（-m+3）=-3m2+6m+9=-3（m-1）2+12．
∴pq≤12；
（3）解：∵y=x2-2mx+m+2，设函数图象经过点A（-3，y1），B（m-1，y2），C（n,y3）．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=m,则点B（m-1，y2）在对称轴左侧，
∵对于任意的3≤n≤5，都有y1＞y2＞y3成立，
∵对于任意的3≤n≤5，都有y1＞y3＞y2成立，
∴存在如下情况：
如图1，当-3＜m-1＜n时，

则C（n,y3）关于对称轴的对称点为（2m-n,y3），
∴m-1＞2m-n＞-3，
∴m+1＜n＜2m+3，
∵3≤n≤5，
∴，
解得1＜m＜2；
如图2，当-3＜n＜m-1时，

∵3≤n≤5，
∴m-1＞5，
解得：m＞6，
综上所述，m的取值范围为1＜m＜2或m＞6．
24.【答案】（1）证明：∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠PBC+∠ABF=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠ABF，
∴∠PBC=∠DAE，
∵∠PCB=∠DAE，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
∴△PCB是等腰三角形；
（2）连接OD，OB，DE交AC于点M，
①∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∴CB⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
同理：BH∥DC，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1，
∵∠ACB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=1，
∴⊙O的半径长是1；
②∵OD=DH=1，
∴∠DOH=∠DHO=80°，
∵DE∥BC，
∴∠OMH=∠ACB=60°，
∴∠MOH=40°，
∴∠DOM=∠DOH-∠MOH=40°，
∴∠DBC=∠DOC=20°，
∴∠EDB=∠DBC=20°． 研究植物叶片的生长状况
背景素材
大自然里有许多数学的奥秘.一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成.
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y=mx2-4mx-20m+5图象的一部分，且经过原点.
心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x=6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G.
问题解决
任务1
确定心形叶片的形状
求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
任务2
研究心形叶片的尺寸
求叶片此处的宽度EE′.