安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了15 分等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年第一学期鼎尖名校大联考
高二数学 A 卷
满分:150 分考试时间:120 分钟
命题学校: 颍上一中审题学校: 庐江中学终审学校: 淮南一中
注意事项:
答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚, 将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0. 5 毫米黑色字迹签字笔书写,字体工整、笔迹清晰。
请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试卷上答题无效。
作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
直线 3x-y-2025=0 的倾斜角是
0°B. 60°C. 120°D. 150°
x2y2,
已知双曲线 -=1 右支上的一点P 到其右焦点的距离为 9 则点P 到其左焦点的距
1620
离为
A. 17B. 19C. 2D. 1
已知空间直角坐标系中的三点A(0 , -3 , -2) ,B(2, -6, -1) ,C(-1, -5 ,1) , 则△ABC 为
等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
若直线 l:mx+ny=1与圆O:x2 +y2 =1没有公共点, 则点M 与圆O 的位置关 系是
点M 在圆O 上B. 点M 在圆O 外
C. 点M 在圆O 内D. 以上皆有可能 5. 已知a=(1, 3 , 4) ,b=(1, 2, 2) , 则a 在b 上的投影向量坐标为
3
3
3
A. B.
26 13 13
26 13 13
C. D.
某校科技节中, 同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器, 其镜面的剖面轮廓符合抛物线y2 =8x. 为提高信号接收稳定性, 需要在镜面剖面上安装三个信号源A、B、C, 使得信号 接收焦点F 恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心, 则这三个信号源到焦点F 的距离之和为
A. 8B. 10C. 12D. 14
如图, 在正四棱锥O-ABCD 中, 点M 是棱AB 的中点, 点 N 在线段OM 上, 点P 在线段
CN 上, 点Q 在平面ABCD 内, 且MN=3ON,CP
2→→
CN,OQλOP, 则λ 的值为
==
5
.
.
A 5B 10
37
C. 2D. 5
4
:x2y2()、,,
已知椭圆E a2 +b2 =1 a>b>0 上两点P Q 关于原点对称 F2 为椭圆的右焦点 PF2 交 椭圆E 于点M ,QF2 ⊥MF2 , QF2 =5 MF2 , 则椭圆E 的离心率为
.
.
.
A3B2C5
323
D10
.
4
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
,:x2y2、,,
6
已知F1 F2 是椭圆C
说法正确的是
1 + 9
=1的左
右焦点
点M 在椭圆C 上且不与x 轴重合
则下列
A. 椭圆C 的焦距为 2 7 B. △MF1F2 的周长为 8+2 7 C. △MF1F2 的面积的最大值为 3 7D. MF1 的取值范围是 I4- 7 , 4+ 7I
下列说法正确的是
直线 7x+9y+11=0 的一个方向向量为
圆x2 +y2 +2by=0 (b≠ 0) 的圆心为 , 半径为b
“a1”是“直线x+2ay-1=0 与直线x-ay-1=0 平行”的充要条件
=
6
经过点P 的直线与以A 、B 为端点的线段总有公共点, 则该直线斜
率的取值范围为 I-1,1I
1
1
1
1
在正方体ABCD-A B C D 中,AB=3 , 点P 为正方体内部( 含表面) 的点, 且满足AP→
1
1
=mAB→+nAD→ , (m,n∈R) , 则下列说法正确的是
存在点P 使得CP⊥平面BC1D
直线 PC
与平面AB D
3 , 6


11 1 所成角的正弦值范围是
3
3
异面直线B1C 与C1D 间的距离为 3
当 PA1= 5 时, 点P 的轨迹长度为 2π
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共15 分。
:x22(),
已知双曲线C m-y =1 m>0 的一条渐近线为x+ 5 y=0 则m=.
1
1
1
如图, 平行六面体ABCD-A1B1C1D1 的底面是正方形, ∠A1AD=∠A1AB=60°,AB=
AA =2, 则A D→ · BD→=.
如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边长为 4,且 OB = OD =6, 则 OA · OC =
; 当点A 在半圆M : 2+y2 =4 (2≤x≤4) 上运动时,C 点纵坐标的取值 范围是.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分13 分)
求出满足下列条件的直线方程:
经过点A(-1, 4) , 且与直线 3x+2y-1=0 平行; (2) 经过点B(1, 5) , 且与直线x-2y+5=0 垂直;
(3) 经过点C(1, 2) , 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
16. (本小题满分15 分)
设A、B 两点的坐标分别为 , ( 3 , 0) , 直线AM 、BM 相交于点M , 且直线AM ,
BM 的斜率之积是 2.
求动点M 的轨迹方程C;
3
直线y= 3(x-3) 与曲线C 交于D、E 两点, 求 DE 的值.
17. (本小题满分15 分)
如图, 在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,AD=CD
点D 翻折到P 点, 且 PB=2 2 . (1) 证明:BC⊥PA;
1
==2△
AB, 将 ACD 沿边AC 翻折, 使
2
(2) 点E 在线段PC 上, 若平面AEB 与平面ABC
π
, 求CE 的长.
所成的角为
6
18. (本小题满分17 分)
已知直线 l: ( 2m+n) x+ (m- 2n) y - 7m+ 9n= 0 (m,n∈ R) , 动点 M 与两个定点
O ,A1.
的距离之比为
2
求证: 直线 l 恒过定点, 并求出定点坐标;
求出动点M 的轨迹方程, 并说明轨迹的形状;
若直线 l 与动点M 的轨迹交于P,Q 两点, 当 PQ =2 3 时, 求直线 l 的方程.
19. (本小题满分17 分)
:x2y2()
( , ) ,( , ) ,(、 )
已知椭圆C a2 +b2 =1 a>b>0 经过点A 2 0B 0 1点M 异于A B 在椭圆C
上, 过M 且斜率为 2 的直线交直线AB 于点Q,MQ→=QP→ , 直线AP 与椭圆C 交于另一点N.
求椭圆C 的方程;
若点M 在第一象限, 求四边形APBM 面积的最大值;
求证: 直线MN 经过定点.
2025-2026 学年第一学期鼎尖名校大联考
高二数学 A 卷 参考答案
选择题:1-8 题,每题 5 分,9-11题,每题 6 分,满分 58 分。
填空题:共 3 题,每题 5 分,满分15 分。
12. 【答案】 513. 【答案】 214. 【答案】 20(2 分) ;I-5 , 5I(3 分).
解答题:共 5 题,满分 77 分。
【答案】 (1)3x+2y-5=0(4 分) ;(2)2x+y-7=0(4 分) ;
2x-y=0 或x+y-3=0 或x-y+1=0(5 分).
2
【解析】 (1) 直线 3x+2y-1=0 的斜率k1=-3,
2
设所求直线的斜率为 k'1 , ∵所求直线与直线 3x+2y-1=0 平行, ∴k'1=k1=-3,2 分
2
又所求直线经过A(-1, 4) , 根据点斜式方程可得:y-4=-3(x+1) ,
∴直线方程为 3x+2y-5=04 分
2
直线x-2y+5=0 的斜率k2 =1,
∵两条直线垂直且斜率均存在, ∴斜率之积为-1,
设所求直线的斜率为 k'2 , ∴k'2 · k2 =-1, ∴解得 k'2 =-2,6 分
又所求直线经过点B(1, 5) , 根据点斜式方程可得:y-5=-2 (x-1) ,
∴直线方程为 2x+y-7=08 分
设直线在x 轴截距为a, 在y 轴截距为b,
①当a=b=0 时,
直线过原点, 设方程为y=kx, ∴解得k=2, 此时在坐标轴截距都是 0, 绝对值相等, 满足条件,
∴直线方程为 2x-y=09 分
②当 a = b ≠ 0 时,
则直线方程为:x+y =1且 a = b .
ab
又所求直线过点C(1, 2) , 所以12,10 分
a + b =1
ⓐ. 若a=b≠ 0
代入得: 1+2=1⇒a=3 ,b=3 ;
aa
∴直线方程为x+y-3=011分
ⓑ. 若a=-b≠ 0
代入得: 1+ 2 =1⇒a=-1,b=1;
a-a
∴直线方程为x-y+1=012 分
∴综上所述, 直线方程为 2x-y=0 或x+y-3=0 或x-y+1=013 分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
A
D
C
A
C
B
D
ABC
AD
ACD
【】 ( )x2y2(
)(,
) ;( )16 3()
答案
1 3 -
6 =1 x≠± 3
7 分 范围没写扣一分
258 分 .
【解析】 (1) 设动点M 的坐标为 , 已知A(- 3 , 0) ,B( 3 , 0).
直线AM 的斜率kAM = y-0 = y (x≠ - 3 ) ,2 分
x-(- 3 )x+ 3
直线BM 的斜率kBM =y-0 = y (x≠ 3 ) ,4 分
x- 3x- 3
由题意,kAM • kBM =2, 即 y • y =2,6 分
x+ 3x- 3
,x2y2(
) ……………………………………………………………………………
化简可得 3 - 6 =1 x≠± 37 分
(2) 设D ,E ,

x2 3
联立
2
y
- 6 =1
得 5x2 +6x-27=0 ,9 分
y=
< -3>
3
x
3

x1+x2 =-6
由韦达定理得
x1 · x2
5
2 7
…11分
根据弦长公式
DE = 1+kDE ·
=- 5
2 -4x1x2
…13 分
= 1+
3
- 5
-4× - 5
2 ·< 6 >2< 27 >
16 3分
=514
∴综上所述, 弦DE
16 3.15 分
的长为 5
.
17 【答案】 (1) 见详解 (6 分) ;(2) 4
3
(9 分).
2
【解析】 (1) 证明: 在等腰梯形ABCD 中, ∵AD=CD=1AB=2,AB∥CD,
过C 作CF∥AD 交AB 于F,
∵AB∥CD,CF∥AD, ∴四边形AFCD 是平行四边形, 则AF=CD=2, …… 1分
∴△BCF 是等边三角形, ∴∠B=60°,
在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB · BC · csB, 解得AC=2 3 , ……… 2 分
∴AC2+BC2=AB2, 根据勾股定理的逆定理可知∠ACB=90°,
即BC⊥AC,3 分
∵在△PBC 中PC2 +BC2 =PB2 , ∴BC⊥PC,4 分
又 PC∩AC=C,PC、AC⊂平面 PAC, ∴BC⊥平面 PAC,5 分
∵PA⊂平面 PAC, ∴得证BC⊥PA6 分
(2) 过点C 作CN⊥平面 ABC, 以C 为原点, 分别以 CA、CB、CN 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐 标系,
则C ,B ,A ,P( 3 , 0 ,1) , 设CE=λCP, 0≤λ≤1.
则C→A=(2 3 , 0 , 0) ,A→B=(-2 3 , 2, 0) ,C→P=( 3 , 0 ,1) ,C→E=( 3λ, 0 ,λ) ,
A→E=C→E-C→A=( 3λ-2 3 , 0 ,λ) ,8 分
设平面AEB 法向量为m=(x,y,z) ,
m · A→B=0
-2 3x+2y=0
则(m · A→E
(
,则10 分
=0( 3λ-2 3 )x+λz=0
令x=1, 则y= 3 ,z 2 3
, 则m=(1, 3 ,2 3
)12 分
= λ - 3λ - 3
又因为平面ABC 的一个法向量为n= ,13 分
所以, cs= m·n = 3λ=2,14 分
mn2 解得3
3
∵CP=2, ∴CE=4.15 分
【答案】 (1) (1, 5)(4 分) ;(2)x2+ 2 =4(6 分) ;(3)x=1或 35x-12y+25=0(7 分).
【解析】 (1) 证明: 直线方程可化为m+ n=0 ,1分
x-2y+9=0
y=5
该方程对任意实数t 都成立, 于是有 (2x+y-7=0 , 解得 (x=1,3 分
∴直线恒过定点4 分
设M ,
由题意知 MO =1, 则 2 x2 +y2 = x2 + 2 ,6 分
MA2
展开化简得x2 +y2 +2y-3=0 ,9 分
∴点M 的轨迹方程为x2 + 2=4, 是圆心为 , 半径为 2 的圆10 分
由(1) 知直线 l 过点 ,
①当直线斜率不存在时, 直线方程为x=1,
联立动点M 的方程得P ,Q , 所以 PQ =2 3 满足条件,11分
故此时直线 l 的方程为x=112 分
②当直线斜率存在时, 设为k, 直线方程为y-5=k , 即 kx-y+5-k=0 ,13 分
由(2) 知动点M 的轨迹是圆, 其半径是 2,
当 PQ =2 3 时, 圆心到该直线的距离为1, 所以 6-k =1, 解得k 35,15 分
=
k2+112
故此时直线 l 方程为 35x-12y+25=016 分
4 分
2
max =2 2 -2
6 分
3
7 分
∴综上所述, 直线 l 的方程为x=1或 35x-12y+25=017 分
19
答案
1 4 +
=1
. 【】 ( )x2y2
() ;( )S
() ;( ) ().
3 1
【解析】 (1) 根据题意, 代入A: 4=1⇒a=2, 代入B: 1=1⇒b=1,3 分
a2b2
:x22; ………………………………………………………………………………………………
∴C 4 +y =14 分
∵A(2, 0) ,B(0 ,1)
2
∴kAB =-1, 又kPM =2, ∴kAB · kPM =-1, 即AB 垂直PM ,5 分
又M→Q=Q→P, ∴Q 为PM 的中点, 则AB 为PM 的垂直平分线,
∴S四边形APBM =2S△MAB
1
=2× 2 ×
AB ×dM-AB = AB · dM-AB ,
易知 AB = 5 , 且直线AB 的方程为x+2y-2=0 ,
设平行于AB 的直线l1 :x+2y+m=0 (m2· y ,
+4n x+4t+1=0
x-2-2
∴k1+k2 =-n,k1 · k24t+1,14 分
=4
代入②得, 4 · 4t+1· (-n), 则解得t 3-3n,15 分
4=3+4=4
代入t(x-2) +ny=1整理得,
n(4y-3x+6) +3x-10=0 ,
令(3x-10=0, 解得
= 3 ,16 分
y=1
4y-3x+6=0(x 10
3
∴直线MN 恒过定点17 分
【方法二】: 易知直线AM ,AN 的斜率均存在,
2
∴设AM ,AN 的斜率分别为k11,k2 , 且kAB =-1,kMP =2,kAB · kMP =-1,
由于Q 为MP 的中点,MQ⊥AB, ∠NAB=∠MAB,
∴tan =tan ,11分
2
k1-
∴
--k2
1
=2 ,
2
2
1+k1 · 1+k2 ·
⇒4k1k2 =3 (k1+k2 ) +4( * )12 分
设直线AN 的方程为y=k1 (x-2) , 直线AM 的方程为y=k2 (x-2) ,

y=k1 (x-2)
联立 2
消去y 得: (1+4k 2 )x2 -16k 2x+16k 2 -4=0 ,13 分
4
x +y2=1
111
16k 2-4 ,
∴xNxA=
1
1
1+4k 2
,8k 2-2 , -4k ,
又xA=2 ∴xN =1
代入直线AN 方程解得yN =1
1
1
1+4k 21+4k 2

N 8k 2-2 , -4k
, ……………………………………………………………………………………
∴11
11
8k 2-2 , -4k,
14 分
同理可得M
2
2
2
2

4k1k2-1 ,()
3 (2k1+1) 2
∴整理得kMN = () 结合
* 化简得kMN =(2,15 分
4 k1+k2
∴直线MN 的方程为:
16 k1 +1)


1+4k
y+=
11
整理得:
x-1
1
16 分
(64y-48x+96)k 4+(160-48x)k 3+(80y-24x)k 2+(40-12x)k1+16y-3x-6=0 ,
1

64y-48x+96=0 160-48x=0
11
(
x 10
因此当80y-24x=0
40-12x=0
16y-3x-6=0
⇒= 3 , ∴直线MN 过定点 10 ,117 分
y=13
【注】: 以上各解答题, 如有不同解法并且正确, 请按相应步骤给分。
详解
【答案】 B
【解析】 直线方程化为y= 3x-2025 , 则k= 3 =tan60°, 所以该直线的倾斜角为 60°.
【答案】 A
【解析】 由题意知a=4, 根据双曲线第一定义可知 PF1 - PF2 =2a=8 (F1 ,F2 分别为左、右焦点) , 已知 PF2 =9 , 则 PF1 =8+9=17.
【答案】 D
【解析】 由题可得B→A=(-2, 3, -1) ,B→C=(-3 ,1, 2) ,A→C=(-1, -2, 3) ,
经计算, B→A = B→C = A→C = 14 , 所以△ABC 是等边三角形.
【答案】 C
【解析】 直线 l 与圆O 没有公共点, 则直线与圆的距离d=1 >1, 即 m2 +n2