2025-2026学年北京师大附属实验学校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京师大附属实验学校八年级（上）期中数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (a2)3=a6D. a3÷a3=a
3.下列多项式中是完全平方式的是( )
A. 1+4a2B. 4b2+4b−1C. a2+ab+b2D. a2−4a+4
4.若将多项式a2+5a+6因式分解，得(a+2)(a+m)，则m的值为( )
A. 1B. 3C. 4D. 6
5.等腰三角形的一边长是8，周长是18，则此三角形的最短边长是( )
A. 2B. 5C. 8D. 2或5
6.如图，△ABC≌△BAD，AC，BD的延长线交于点E，已知∠BAC=65∘，∠ABC=26∘，则∠CBD，∠AEB的度数分别是( )
A. 26∘和50∘
B. 39∘和50∘
C. 26∘和89∘
D. 39∘和89∘
7.如图，已知∠BAC=∠DAC，则下列条件中不一定能使△ABC≌△ADC的是( )
A. ∠B=∠D
B. ∠ACB=∠ACD
C. BC=DC
D. AB=AD
8.如图，∠MON=110∘，在射线ON上任取一点A，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点B，再分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为( )
A. 90∘B. 95∘C. 105∘D. 115∘
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.(−2)0=______.
10.分解因式：2a(b+c)−3(b+c)的结果是______.
11.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，已知DA⊥AB，EB⊥AB，由此可判定△ACD≌△BCE，判定的依据是“ ”.(填文字或字母简写)
12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 .
13.已知am=3，an=2，则a2m+3n=______.
14.如图，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD=2.5，DE=1.7，则BE的长为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是 .
16.如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，连接EF，则下列说法中正确的是 (填序号).
①若AD⊥BC，则DE=DF；
②若DE=DF=BD，则∠BAC=45∘；
③若BE，CF，EF这三条线段能构成一个锐角三角形，则∠BAC>90∘.
三、解答题：本题共12小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(y−5)2；
(2)(y+2)(y−2)−(y−1)(y+5).
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)x4−y4；
(2)3ax2+6axy+3ay2.
19.(本小题6分)
已知ab=2，a−4b=−5，求a2b−4ab2+ab的值.
20.(本小题6分)
尺规作图：
(1)已知：如图1，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.
①在答题卡上完成尺规作图.(保留作图痕迹，为所有射线与弧的交点、弧与弧的交点标注字母，不写作法.)
②填空(其中____处填推理的依据)：
证明：(连接必要的线段)根据作图过程，在△______和△______中，
_____=__________=__________=_____，
∴△______≌△______，(______)
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC平分∠AOB.
(2)已知：如图2，直线l和直线外一点A.
求作：点A关于直线l的对称点B.
①根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图.
作法：先在l上任取两点C，D；
再以C为圆心，CA为半径画弧，以D为圆心，DA为半径画弧，两弧在直线l另一侧交于点B，点B为所求.
②填空(其中____处填推理的依据)：
证明：(连接必要的线段)根据作图过程，有______=______，______=______，
∴点______，______都在线段______的垂直平分线上，(______)
∴直线______是线段______的垂直平分线，(______)
∴点A，B关于直线l对称.
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,−4)，B(5,−4)，C(4,−1)，直线m上各点的纵坐标均为1.
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
(2)描出点C关于直线m的对称点C2，并直接写出点C2的坐标；
(3)在(1)(2)的条件下，连接B1C，CC2，B1C2，直接写出△B1CC2的面积.
22.(本小题6分)
如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC.
23.(本小题6分)
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将它剪成四个小长方形，然后按图2所示的位置摆放.
(1)图2中的阴影部分为正方形，其边长等于______；
(2)观察图2，写出代数式(m+n)2，(m−n)2和mn的等量关系：______；
(3)若x，y都是有理数，且x−y=4，xy=5，求x+y的值.
24.(本小题6分)
如图，∠B=∠C=90∘，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
(1)画图：过点E画AD的垂线段EF；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)若CD=2，AB=3，直接写出AD的长.
25.(本小题6分)
如图1，河的北侧有A，B两点，河岸MN可视为一条直线.现欲在MN上找一点P，使得线段AP与BP的长度之和最小.
(1)小明在图1中，先作了点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P1；又作了点B关于直线MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P2.关于点P1和P2，下列说法中正确的是______(填序号).
①P1和P2不重合，P1为所求点P；②P1和P2不重合，P2为所求点P；
③P1和P2重合，但不是所求点P；④P1和P2重合，即为所求点P；
(2)实际情况下，受条件限制，一切测量都只能在河的北侧完成.
①小明发现，河的中央有一个固定的标志物(点C)有可能是点A关于直线MN的对称点.为检验点C与点A是否确实关于直线MN对称，他先在MN上找到两个点D，E，使得点A，D，C在同一条直线上，点B，E，C在同一条直线上，如图2.因为DC和EC的长度无法测量，接下来，他需要在河的北侧测量某些线段的长度或某些角的角度，当测量结果满足怎样的条件时，就可以判定点C与点A关于直线MN对称？直接写出这些条件，用等式表示.
②小明受“架桥问题”启发，又想到了一个只需要在河的北侧作图，就可以找到点P位置的方法，如图3：
步骤1：过A作直线m⊥MN，垂足为D，再过A作直线n//MN.
步骤2：过点B作直线l⊥MN，在l上截取BC=______(C在B北方)；连接CD交n于点Q.
步骤3：______，则所得点P为所求.请按照小明的思路，补全作图步骤.
26.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=α，D是AB反向延长线上的动点，过D作线段DE//AC，使得DE=DB，且点E与点C位于直线AB的两侧，连接CE.过D作DF//BC交CE于点F.
(1)判断∠BDF和∠EDF的大小关系，并证明；
(2)连接AF，直接写出∠DAF的度数(用α表示)，并证明.
27.(本小题4分)
小明在研究了两位数n5−的平方的规律后，进一步研究两个十位数字相同的两位数ab−和ac−(其中b，c均不为0)的乘积wxyz−(其中w可以是0)的规律，请帮助他解决以下问题.
(1)乘积的后两位数yz−是否一定等于b×c？答：______(填“是”或“否”)，说明理由；
(2)如果乘积的后两位数yz−等于b×c，且前两位数wx−等于a×(a+1)，那么a，b，c应满足怎样的条件？说明理由.
28.(本小题6分)
已知点A和两条相交直线OP，OQ，点A不在这两条直线上.作一条经过点A的直线l，交直线OP于M，交直线OQ于N.若A，M，N这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称l为关于这个中点的“好线”.
(1)如图1，已知点A在∠POQ的平分线上，若l为关于点A的“好线”，则∠OAM的度数是______；
(2)如图2，已知点A不在∠POQ的平分线上.
①怎样画出一条关于点N的“好线”？小明的探究思路是：假设直线l已作出，满足AN=MN，如图2−1，那么可以在图中构造出一个以A为顶点、且与△MON全等的三角形.由此小明发现了画关于点N的“好线”的一种方法.请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点N的“好线”的方法.写出画图步骤，再证明此时N是AM的中点；
②在图2−2中画关于点A的“好线”并写出画图步骤.结论不需证明.
(注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1∼步骤3的写法.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，据此判断即可求解．
此题考查了轴对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3，不是同类项，不能合并，故A选项运算错误，不符合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故B选项运算错误，不符合题意；
C、(a2)3=a2×3=a6，故C选项运算正确，符合题意；
D、a3÷a3=a3−3=a0=1，故D选项运算错误，不符合题意；
故选：C.
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加、幂的乘方，底数不变，指数相乘、同底数幂相除，底数不变，指数相减逐项分析，即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了完全平方公式的结构特点及基本形式变式，根据完全平方公式定义即可解答．完全平方式是一个三项式，首尾两项是两个式子的平方，中间是首尾两项积的二倍的形式，据此即可解答．
【解答】
解：a2−4a+4=(a−2)2.
故选D.
4.【答案】B
【解析】解：(a+2)(a+m)=a2+(m+2)a+2m，
由一次项系数得，m+2=5，
解得m=3；
由常数项得，2m=6，
解得m=3；
∴m=3.
故选：B.
将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握其相关知识点是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：等腰三角形周长为18，一边长为8，
当等腰三角形的底边长是8，则腰长为(18−8)÷2=5；
∴等腰三角形的三边为5，5，8，且5+5>8，8−58，8−8