2025-2026学年广东省广州市花都区广雅中学八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市花都区广雅中学八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物鲜活起来.下列四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a2+3a=4a3
C. (−2a2b)3=−8a6b3D. (a+2)(a−2)=a2−2
3.若三角形的三边长分别是3，6，a，则下列a的取值不可能的是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
4.若点P(a,b)和点Q(2,−3)关于y轴对称，则a+b的值是( )
A. −1B. 1C. −5D. 5
5.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
A. AB=2BF
B. AE=BE
C. ∠ACE=12∠ACB
D. CD⊥AB
6.下列定理中，逆命题错误的是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 直角三角形两锐角互余
C. 对顶角相等D. 同位角相等，两直线平行
7.正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点C的坐标是(3,2)，则点A的坐标是( )
A. (−1,2)
B. (−3,2)
C. (−2.5,3)
D. (−2,3)
8.在Rt△ABC中，∠C=90∘，利用尺规在BC，BA上分别截取BE、BD，使BE=BD；分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A. 无法确定B. 12C. 1D. 2
9.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠EDF的度数为( )
A. 15∘
B. 35∘
C. 60∘
D. 70∘
10.如图，△ABC中，∠ABC=45∘，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论正确的有( )个．
①BF=AC；
②CE=12BF；
③△DGF是等腰三角形；
④BD+DF=BC；
⑤S△BDFS△BCF=BDBC；
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：2x2y⋅3xy2= .
12.若4x⋅2y=16，则2x+y= .
13.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN//BC，MN分别与AB、AC相交于点M、N.若△ABC的周长为18，△AMN的周长为12，则BC=______.
14.某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取B，C两点，测得∠ABC=75∘，∠ACB=30∘，并测量出BC长为30米，则河的宽度为 .
15.如图，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，点G为△ABC的重心.已知△AEG的面积为0.5，则△ABC的面积为 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：x⋅x3−(x2)3.
18.(本小题4分)
先化简，再求值：(x+2y)(x−y)−(x+y)(x−2y)，其中x=π0，y=2.
19.(本小题6分)
如图，一艘轮船上午8时在A处沿正东方向行驶，在A处测得灯塔C在北偏东60∘方向上.行驶1小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东20∘方向上；求∠C和∠DBC的度数.
20.(本小题6分)
如图，点E，F在线段BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF.
求证：△AFD≌△CEB.
21.(本小题8分)
如图，把一个长为10m的棒子AB斜靠在墙上，测得AM=8m，BM=6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM=∠DCM，求梯子上端下滑的高度AC.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)作AC边的垂直平分线DE，垂足为E，交BC边于点D，连接AD
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；
(2)若∠B=30∘，且CD=2，求BD的长.
23.(本小题10分)
人教版初中数学教科书八年级上册第86页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，下面方框中是部分原文：
(1)如图2，在△ABC中，如果∠ACB>∠B，能否证明AB>AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；
(2)如图3，在△ABC中，DE=DB，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA=110∘，求∠DEM的度数.
24.(本小题12分)
(1)已知△ABC中，∠A=90∘，∠B−∠C=45∘.
①求出∠B与∠C的度数.
②请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法分别都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出所有等腰三角形底角的度数)
(2)已知在某个△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出∠ABC与∠C之间的数量关系.
25.(本小题12分)
数学与生活：在城市规划中，工程师们正在设计新的桥梁，桥梁的主结构由多个三角形支律构成，以确保其稳定性.为优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度.
(1)等边三角形支撑的初步计算：
桥梁的一个主要支撑结构是一个等边△ABC，其边长为5米.为了加强支撑，工程师在AC边上选择了一个点D，并从D点平行于BC方向铺设了一根长度为1米的加固杆DF.同时，从B点向外延伸1米到E点，连接DE与AB相交于P，请计算PF的长度.
(2)可变尺寸的等边三角形支撑：
现在，工程师考虑用不同尺寸的等边△ABC支撑结构，其边长为a米，同样地，从D点平行于BC铺设长度为b米的加固杆DF，并延长CB至点E使得BE=b米.为了进一步加固，从P点垂直(PG⊥AB)设置一根支柱，与BC交于G，请计算FG的长度.
(3)非等边三角形支撑的特殊条件：
在另一个设计中，△ABC支撑结构不再是等边三角形，工程师在AC边上选择D点，并从D点垂直向下(DF⊥BC)设置测量杆DF他们发现主梁AB与斜拉索DE的长度相等(AB=DE)，并且∠A+∠E=∠C，请证明BE=2CF.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形；
选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B.
根据轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】解：a2⋅a3=a5，则A不符合题意，
a2与3a不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
(−2a2b)3=−8a6b3，则C符合题意，
(a+2)(a−2)=a2−4，则D不符合题意，
故选：C.
利用平方差公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查平方差公式，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵三角形的三边长分别是3，6，a，
∴6−3AC，
∴BF+AF>AC，
即AB>AC；
(2)∵DE=DB，
∴设∠B=∠DEB=α，
∵∠ADE是△DBE的外角，
∴∠ADE=∠B+∠DEB=2α，
由折叠可知：∠C=∠ADE=2α，∠CAE=∠DAE，
设∠CAE=∠DAE=β，
在△ABE中，∠BEA=110∘，
∴∠B+∠DAE=180∘−∠BEA=70∘，
∴α+β=70∘，
∴β=70∘−α
∵EM//AC，
∴∠BEM=∠C=2α，∠MEA=∠DAE=β，
∴∠DEM=∠BEM−∠DEB=2α−α=α，
∵∠BEA=∠BEM+∠MEA=2α+β=110∘，
∴2α+70∘−α=110∘，
解得：α=40∘，
∴∠DEM=α=40∘，
故∠DEM的度数为40∘.
(1)由折叠可知BF=CF，在△ACE中，根据三角形三边之间的关系得AF+CF>AC，进而得BF+AF>AC，由此即可得出结论；
(2)根据DE=DB，设∠B=∠DEB=α，由三角形外角性质得∠ADE=2α，由折叠可知∠C=∠ADE=2α，∠CAE=∠DAE，设∠CAE=∠DAE=β，在△ABE中，由三角形内角和定理得∠B+∠DAE=70∘，即β=70∘−α根据EM//AC得∠BEM=∠C=2α，∠MEA=∠DAE=β，由此得∠DEM=∠BEM−∠DEB=α，再根据∠BEA=∠BEM+∠MEA=2α+β=110∘，据此得α=40∘，进而可得∠DEM的度数．
此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，理解图形的折叠变换及其性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，三角形内角和定理是解决问题的关键．
24.【答案】①∠B=67.5∘，∠C=22.5∘；
②如图(共有2种不同的分割法)；
设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D.
在△DBC中，①若∠C是顶角，
如图⑤，则∠CBD=∠CDB=90∘−12x，∠A=180∘−x−y.
而∠ADB>90∘，此时只能有∠A=∠ABD，即180∘−x−y=y−(90∘−12x)，
即3x+4y=540∘，即∠ABC=135∘−34∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图⑥，当DB=DC时，则∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y−x.
由AB=AD，得2x=y−x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C.
由AB=BD，得180∘−x−y=2x，此时3x+y=180∘，即∠ABC=180∘−3∠C.
由AD=BD，得180∘−x−y=y−x，此时y=90∘，即∠ABC=90∘，∠C为小于45∘的任意锐角．
第二种情况，如图⑦，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180∘−x>90∘，此时只能有AD=BD.
从而∠A=∠ABD=12∠C90∘，此时只能有∠A=∠ABD，即180∘−x−y=y−(90∘−12x)，
即3x+4y=540∘，即∠ABC=135∘−34∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图⑥，当DB=DC时，则∠DBC=x，
△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y−x.
由AB=AD，得2x=y−x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C.
由AB=BD，得180∘−x−y=2x，此时3x+y=180∘，即∠ABC=180∘−3∠C.
由AD=BD，得180∘−x−y=y−x，此时y=90∘，即∠ABC=90∘，∠C为小于45∘的任意锐角．
第二种情况，如图⑦，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180∘−x>90∘，此时只能有AD=BD.
从而∠A=∠ABD=12∠CAC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C=∠ADE.
∵∠ADE>∠B(想一想为什么)，∴∠C>∠B.