1.5三角形全等的判定练习课件2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第１课时　“边边边”1.5　三角形全等的判定1.【学科特色·教材变式】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AC与BD相交于点O,则由“SSS”可判定全等的三角形组数是 ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4　B    解析　在△ADB和△CBD中, ∴△ADB≌△CBD(SSS),同理△ABC≌△CDA(SSS),共有2组.故选B.2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点,若∠C=70°,则∠BAD的度数为 ( ) A.20°　　　    B.30°C.35°　　　    D.40°　A    解析　∵点D是边BC的中点,∴BD=CD,在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠B=∠C=70°,∠BAD=∠CAD= ∠BAC,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°,∴∠BAD= ∠BAC=20°.故选A.3.(2025湖南长沙开福月考)如图,利用尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是 ( )A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧　D    B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧解析由作图可知,弧MN是以点G为圆心,以DE长为半径的弧.故选D.4.(2024山东济南期中)如图,∠ACB=90°,按如下步骤操作:①以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点;②以点C为圆心,AD长为半径作弧,交AC的延长线于点F;③以点F为圆心,DE长为半径作弧,与前弧交于点G;④作射线CG.若∠GCB=40°,则∠B为__________度.      40    解析　由作图步骤可知,∠FCG=∠A,∴CG∥AB,∵∠GCB=40°,∴∠B=∠GCB=40°.故答案为40.5.(2025山东德州期中)如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:△ACD≌△BCE.  证明　∵C是AB的中点,∴AC=BC.在△ACD与△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SSS).6.(2024山东烟台龙口期末)尺规作图:(不写作法,保留作图痕迹)已知:线段a,b.(如图所示)求作△ABC,使AB=a,BC=2a,AC=b.       解析　如图所示,△ABC即为所求作的三角形.   　三角形的稳定性7.(2024宁波海曙储能学校开学考试)空调安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是 ( )　C    A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.三角形的稳定性D.垂线段最短解析　题图中的方法应用的数学知识是三角形的稳定性.故选C.8.(2025湖州期中)周末小高同学全家去饭店吃饭,他发现饭店房间里放着一个儿童座椅(如图),他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形,从而保证儿童坐上去会很安全,这样的设计利用的数学原理是_____________________.　三角形具有稳定性      9.(2024四川内江中考,★★☆)如图,点A、D、B、E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数. 解析    (1)证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∴∠FDE=∠A=55°.∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.10.(2024河南周口期中,★★☆)如图,点C,E分别为△ABD的边BD,AB上的点,且AE=AD,CE=CD,∠D=70°,∠ECD=150°,求∠B的度数.  解析　如图,连结AC,∵在△AEC和△ADC中,  ∴△AEC≌△ADC(SSS),∴∠AEC=∠D=70°.∵∠ECD=150°,∴∠BCE=30°,∴∠B=∠AEC-∠BCE=70°-30°=40°.11.【新课标·中华优秀传统文化】(2024温州苍南月考,★★★)莆仙戏是中国现存古老的剧种之一,被称为“宋元南戏的活化石”,2021年5月,莆仙戏《踏伞行》成功入选“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”.该剧中的“油纸伞”无疑是最重要的道具,依伞设戏,情节新颖,结构巧妙.“油纸伞”的制作工艺十分巧妙.如图,伞圈D沿着伞柄滑动时,总有伞骨BD=CD,AB=AC,从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.证明AP平分∠BAC.  证明　在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD,即AP平分∠BAC.  12.【新课标·几何直观】如图,AD=CB,E,F是AC上的两动点,且DE=BF.(1)若E,F运动至如图1所示的位置,且AF=CE,求证:△ADE≌△CBF.(2)若E,F运动至如图2所示的位置,仍有AF=CE,△ADE≌△CBF还成立吗?为什么?(3)若E,F不重合,且AF=CE,AD和CB平行吗?说明理由. 图1     图2解析    (1)证明:∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF,在△ADE和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SSS).(2)△ADE≌△CBF成立.理由如下:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,在△ADE和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SSS).(3)AD∥CB.理由:由(1)(2)两种情况都能得到△ADE≌△CBF,∴∠A=∠C,∴AD∥CB.第2课时　“边角边”1.5　三角形全等的判定1.【学科特色·多解法】如图,AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,且AD=AE,BD与CE相交于点F,若∠A=40°,∠B=25°,则∠BFE的度数为  ( ) 　基本事实“边角边”或“SAS”A.60°　　　    B.90°C.75°　　　    D.85°B    解析　【解法一】在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠C=∠B=25°,∴∠BEC=∠A+∠C=65°,∵∠B+∠BEF+∠BFE=180°,∴∠BFE=180°-25°-65°=90°.【解法二】在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠C=∠B=25°,∵∠A+∠C+∠AEC=180°,∴∠AEC=180°-40°-25°=115°,∴∠BFE=∠AEC-∠B=115°-25°=90°.故选B.2.(2025宁波大学青藤书院月考)如图,已知∠ACB=∠DBC,要用“SAS”判定△ABC≌△DCB,需添加的一个条件为_______.   AC=DB解析　用“SAS”判定两个三角形全等时,角必须是两边的夹角.∵∠ACB=∠DBC,BC=CB(公共边),故需添加条件:AC=DB.3.(2024杭州滨江期末)如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),在图中,若测量得A'B'=10 cm,则工件内槽宽AB为__________cm.      10    解析　连结A'B',如图,∵点O分别是AA'、BB'的中点,∴OA=OA',OB=OB'.在△AOB和△A'OB'中, ∴△AOB≌△A'OB'(SAS).∴A'B'=AB.∵A'B'=10 cm,∴AB=10 cm.故答案为10.4.(2024云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.  证明　∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC与△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS).5.已知:如图,AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:△ABF≌△DCE. 证明　∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE,∵AB∥CD,∴∠B=∠C, 　线段的垂直平分线在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE(SAS).6.(2024四川乐山中考)如图,AB是∠CAD的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D. 证明　∵AB是∠CAD的平分线,∴∠CAB=∠DAB,在△ABC和△ABD中, ∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D.7.(2025湖南张家界期中)如图,已知:线段a和∠α;求作△ABC,使得AB=a,BC=2a,∠ABC=∠α.(要求:尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹)  解析　如图,△ABC即为所求.  8.(2025杭州市大关中学教育集团期中,★★☆)如图所示的是6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=     ( ) A.90°　　　    B.120°　　　    C.135°　　　    D.150°　C解析　如图,在△ABC和△DEA中, ∴△ABC≌△DEA(SAS),∴∠1=∠4.∵∠3+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°.又∵∠2=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.故选C.  9.(2025金华义乌六校联考月考,★★★)如图,在△ABC中,AB>AC,AP平分∠BAC.连结PB和PC,则下列结论正确的是 ( )A.AB-AC>PB-PCB.AB-AC=PB-PC    　AC.AB-ACPB-PD,∴BD>PB-PC,∵BD=AB-AD=AB-AC,∴AB-AC>PB-PC.故选A.10.(2025湖州吴兴月考,★★☆)如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=26°,∠2=33°,连结BE,点D恰好在BE上,则∠3=_____°.      59解析　∵∠BAC=∠DAE,即∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠1=∠CAE,在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠2=33°,∴∠3=∠1+∠ABD=26°+33°=59°.11.(2025丽水市文元学校期中,★★☆)如图,在△ABC中,点D是AC上一点,AD=AB,过点D作DE∥AB,且DE=AC.(1)求证:∠ACB=∠AED.(2)若点D是AC的中点,且S△ABC=12,求四边形ABCE的面积.  解析    (1)证明:∵DE∥AB,∴∠BAC=∠ADE,在△ABC和△DAE中, ∴△ABC≌△DAE(SAS),∴∠ACB=∠AED.(2)∵△ABC≌△DAE,S△ABC=12,∴S△ABC=S△DAE=12,∵点D是AC的中点,∴S△AEC=2S△DAE=2×12=24,∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEC=36.12.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2024金华东阳月考)如图1,AB=4 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设它们运动的时间为t s.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相同,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由.在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由. (2)如图2,将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存解析    (1)△ACP与△BPQ全等,此时PC⊥PQ.理由如下:当t=1时,AP=BQ=1 cm,BP=AB-AP=3 cm=AC,在△ACP和△BPQ中, ,∴△ACP≌△BPQ(SAS),∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直.(2)存在,分两种情况:①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,所以有 解得 ②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,所以有 解得 综上所述,当 或 时,△ACP与△BPQ全等.第3课时　“角边角”和“角角边”定理1.(2024江苏扬州期中)如图,聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形,那么聪聪画图的依据是 ( )A.SSS　　　     B.SASC.ASA　　　    D.无法确定　C    解析　由题图可知三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”作出完全一样的三角形.故选C.2.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,BE=DF,则图中全等三角形共有 ( ) A.2对　　　    B.3对　　　    C.4对　　　    D.1对　B    解析　①∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB(ASA).②∵△ABD≌△CDB,∴AB=CD,∵∠ABD=∠CDB,BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS).③∵△ABD≌△CDB,△ABE≌△CDF,∴AD=CB,AE=CF,∵BE=DF,∴BE+EF=DF+EF,即BF=DE,∴△AED≌△CFB(SSS),∴题图中全等三角形共有3对.故选B.3.(2025江苏宿迁期中改编) 如图,已知∠B=∠E,AB=AE,∠1=∠2. (1)求证:△ABC≌△AED.(2)若∠1=40°,求∠3的度数.解析    (1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD,在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED(ASA).(2)∵∠1=40°,∴∠1=∠2=40°,∵∠AFD=∠2+∠E,∠AFD=∠3+∠B,∠B=∠E,∴∠3=∠2=40°. 　“角角边”或“AAS”定理4.(2025舟山期中)如图,在△ABC和△DBE中,BE=BC,添加下列条件,仍不能证明△ABC≌△DBE的是 ( ) A.AB=DB　　　    B.∠A=∠DC.AC=DE　　　    D.∠ACB=∠DEB　C    解析    A.添加AB=DB,利用SAS能证明△ABC≌△DBE;B.添加∠A=∠D,利用AAS能证明△ABC≌△DBE;C.添加AC=DE,不能证明△ABC≌△DBE;D.添加∠ACB=∠DEB,利用ASA能证明△ABC≌△DBE.故选C.5.(2025绍兴柯桥期中)如图,已知∠1=∠2,要用AAS来证明△ABD≌△CDB,还需添加的一个条件为__________.  　∠A=∠C    解析　由题意得,BD=DB,∠1=∠2,要用AAS来证明△ABD≌△CDB,还需添加的一个条件为∠A=∠C.6.(2025金华义乌月考)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB∥DE,CD=AF,∠B=∠E.证明:△ABC≌△DEF.  证明　∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵DC=AF,∴DC+CF=AF+CF,即DF=AC,在△ABC和△DEF中,  ∴△ABC≌△DEF(AAS).7.【学科特色·一线三等角模型】(2025湖州长兴期中)如图,小明的一款等腰直角三角形形状的玩具恰好落在了两堆竖直摆放的砖块之间.(1)证明:△ADC≌△CEB.(2)小明通过测量发现,两堆砖块之间的空隙DE=54 cm.请你帮小明求出每块砖的厚度(每块砖的厚度相等).解析    (1)证明:由题意得,∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS).(2)设每块砖的厚度为a cm,由(1)知DC=BE,CE=AD,∴AD+BE=CE+DC=DE=9a=54 cm,∴a=6.答:每块砖的厚度为6 cm.8.(2025杭州十三中期中,★★☆)如图,已知∠C=∠D,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有 ( )A.4个　　　    B.3个　　　    C.2个　　　    D.1个　B    解析　∵∠C=∠D,AC=AD,∴添加AB=AE后,△ABC和△AED不一定全等,故①不符合题意;∵∠C=∠D,AC=AD,BC=DE,∴△ABC≌△AED(SAS),故②符合题意;∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,∴∠CAB=∠DAE,∵∠C=∠D,AC=AD,∴△ABC≌△AED(ASA),故③符合题意;∵∠B=∠E,∠C=∠D,AC=AD,∴△ABC≌△AED(AAS),故④符合题意.所以,能使△ABC≌△AED的条件有3个,故选B.9.(2025杭州临平信达外国语学校月考,★★☆)根据下列已知条件,能够画出唯一的△ABC的是_______(填写正确的序号).①AB=5,BC=4,∠A=60°;②AB=5,BC=6,AC=7;③AB=5,∠A=50°,∠B=60°;④∠A=40°,∠B=50°,∠C=90°.　②③    解析　①当两边及其中一边的对角确定时,不能画出唯一确定的三角形;②当三角形的三边确定时,由SSS可知这个三角形是确定的;③当三角形的两角及其夹边确定时,由ASA可知这个三角形是确定的;④当三角形的三个角确定时,不能画出唯一的三角形.故答案为②③.10.【学科特色·转化思想】(★★☆)已知△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O.(1)∠BOC=_______.(2)判断BE,CD,BC三条线段之间的数量关系,并证明.  解析    (1) 120°.详解:∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∵∠A=60°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- =180°- (180°-∠A)=120°.(2)BE+CD=BC.证明:如图,在BC上取点G使得CG=CD,连结OG.∵∠BOC=120°,∴∠BOE=∠COD=60°,∵CE平分∠ACB,∴∠DCO=∠GCO,在△COD和△COG中, ∴△COD≌△COG(SAS),∴∠COG=∠COD=60°,∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE,∵BD平分∠ABC,∴∠EBO=∠OBG,在△BOE和△BOG中, ∴△BOE≌△BOG(ASA),∴BE=BG,∴BE+CD=BG+CG=BC.  归纳总结证明线段的和差关系常用截长补短法.  11.【新考向·项目探究题】(2025宁波期中)根据以下素材,完成任务.解析　任务1:△OBD≌△COE.理由:∵BD⊥OA,CE⊥OA,∴∠ODB=∠OEC=90°,∵∠BOC=90°,∴∠BOD+∠EOC=90°,∵∠BOD+∠DBO=90°,∴∠OBD=∠EOC,在△OBD和△COE中, ∴△OBD≌△COE(AAS).任务2:设OA的延长线与地面交于M,如图, ∵△BOD≌△OCE,∴BD=OE=1.4 m,EC=OD=1.8 m,∴EM=OD+DM-OE=1.8+1-1.4=1.4(m).∴当爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面1.4 m.