高考物理精品【一轮复习】讲义练习资料合集

这是一份高考物理精品【一轮复习】讲义练习资料合集，共147页。试卷主要包含了1 m/s的速度匀速上浮，73 m，vx＝0，5 m/s，一般曲线运动，22　4等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc58936661" 5.1 曲线运动 PAGEREF _Tc58936661 \h - 1 -
\l "_Tc58936662" 5.2运动的合成与分解 PAGEREF _Tc58936662 \h - 6 -
\l "_Tc58936663" 5.3实验：探究平抛运动的特点 PAGEREF _Tc58936663 \h - 16 -
\l "_Tc58936664" 5.4抛体运动的规律 PAGEREF _Tc58936664 \h - 23 -
\l "_Tc58936665" 专题 抛体运动规律的应用 PAGEREF _Tc58936665 \h - 32 -
\l "_Tc58936666" 第六章 圆周运动 PAGEREF _Tc58936666 \h - 36 -
\l "_Tc58936667" 6.1圆周运动 PAGEREF _Tc58936667 \h - 36 -
\l "_Tc58936668" 6.2向心力 PAGEREF _Tc58936668 \h - 44 -
\l "_Tc58936669" 6.3向心加速度 PAGEREF _Tc58936669 \h - 51 -
\l "_Tc58936670" 6.4生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc58936670 \h - 56 -
\l "_Tc58936671" 专题课 向心力的应用和计算 PAGEREF _Tc58936671 \h - 67 -
\l "_Tc58936672" 专题课 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc58936672 \h - 71 -
\l "_Tc58936673" 第七章 万有引力与宇宙航行 PAGEREF _Tc58936673 \h - 75 -
\l "_Tc58936674" 7.1行星的运动 PAGEREF _Tc58936674 \h - 75 -
\l "_Tc58936675" 7.2万有引力定律 PAGEREF _Tc58936675 \h - 80 -
\l "_Tc58936676" 7.3万有引力理论的成就 PAGEREF _Tc58936676 \h - 88 -
\l "_Tc58936677" 7.4宇宙航行 PAGEREF _Tc58936677 \h - 95 -
\l "_Tc58936678" 7.5相对论时空观与牛顿力学的局限性 PAGEREF _Tc58936678 \h - 104 -
\l "_Tc58936679" 第八章 机械能守恒定律 PAGEREF _Tc58936679 \h - 108 -
\l "_Tc58936680" 8.1功与功率 PAGEREF _Tc58936680 \h - 108 -
\l "_Tc58936681" 8.2重力势能 PAGEREF _Tc58936681 \h - 118 -
\l "_Tc58936682" 8.3动能和动能定理 PAGEREF _Tc58936682 \h - 125 -
\l "_Tc58936683" 8.4机械能守恒定律 PAGEREF _Tc58936683 \h - 132 -
\l "_Tc58936684" 8.5实验：验证机械能守恒定律 PAGEREF _Tc58936684 \h - 137 -
\l "_Tc58936685" 专题 动能定理和机械能守恒定律的应用 PAGEREF _Tc58936685 \h - 144 -
第五章 抛体运动
5.1 曲线运动
一、曲线运动的速度方向
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
[特别提示] 数学中的切线不考虑方向，但物理学中的切线具有方向。如图所示，若质点沿曲线从A运动到B，则质点在a点的速度方向(切线方向)为v1的方向，若从B运动到A，则质点在a点的速度方向(切线方向)为v2的方向。
2．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
3．运动性质
由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
二、物体做曲线运动的条件
1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
“丢沙包”游戏曾经风靡南北，是一个经典的群体性游戏，极受孩子们欢迎。
讨论：
(1)丢出的沙包在空中做什么运动？
(2)沙包运动的速度在不同时刻有什么特点？曲线运动一定是变速运动吗？
提示：(1)曲线运动。
(2)速度方向时刻发生变化，都沿该时刻曲线的切线方向；曲线运动一定是变速运动。
1．曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。
[特别提示] 曲线的切线
如图所示，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫作曲线在A点的切线。
2．曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类：
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
[特别提示] 曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
【例1】 翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法中正确的是( )
A．过A点时的速度方向沿AB方向
B．过B点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C两点时的速度方向相同
D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上
[思路点拨] 过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线方向。
B [翻滚过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示，由图可判断出B正确，A、C错误；翻滚过山车在圆形轨道AB段上的速度方向偏向左上方，不可能与过M点时速度方向相同，D错误。
]
在确定某点的速度方向时，要弄清两点：一是物体沿轨迹的运动方向，二是轨迹在该点的切线方向。然后两方面结合确定该点的速度方向。
提示：物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
甲 乙
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。
2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。
[特别提示] 速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
1根据速度和合力的方向，可定性画出物体的运动轨迹，如图甲所示。
2根据物体的运动轨迹，可确定物体在某点的速度方向，也可定性画出受力方向，如图乙所示。
3．合外力与速率变化的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
甲 乙 丙
【例2】 质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是( )
A B C D
C [根据曲线运动中合力F应指向轨迹的“凹侧”，故A、D错误；在B项中，F的方向与v的方向成锐角，质点从A到B加速，故B错误；在C项中，F的方向与v的方向成钝角，质点从A到B减速，故C正确。]
[易错分析]
力和运动轨迹关系的三点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。
5.2运动的合成与分解
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。
注意：蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成的。
2．蜡块运动的速度：大小v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))，方向满足tan θ＝eq \f(vy,vx)。
3．蜡块运动的轨迹：y＝eq \f(vy,vx)x，是一条过原点的直线。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解。
3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则。
一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河相对。小明驾着小船从这边的码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明惊奇地发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移。怎样来研究这种运动呢？
提示：小船的实际运动为小船自身的运动与沿河流方向运动的合运动。
1．研究蜡块的运动
2．结论
蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。
[特别提示] 1vx、vy都是常量，v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))也是常量，说明蜡块的速度大小是一定的；tan θ＝eq \f(vy,vx)也是一常量，说明蜡块的速度方向是一定的。综上可知蜡块做的是匀速直线运动。
2根据tan α＝eq \f(y,x)，也能判断蜡块的运动是直线运动，因为tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(vy,vx)，是定值，也就是说，位移的方向一直不变，所以蜡块做直线运动。
【例1】 (多选)质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面内建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O。物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化的图线如图甲、乙所示。则( )
A．t＝0时，物体速度的大小为3 m/s
B．t＝8 s时，物体速度的大小为4 m/s
C．t＝8 s时，物体速度的方向与x轴正方向的夹角为37°
D．t＝8 s时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)
AD [由题图可知，t＝0时刻，vx＝3 m/s，vy＝0，所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3 m/s，A正确；t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的速度大小v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝5 m/s，B错误；t＝8 s时，设速度方向与x轴正方向的夹角为α，则tan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(4,3)，得α＝53°，C错误；t＝8 s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24 m，y＝eq \f(1,2)ayt2＝16 m，所以t＝8 s时，物体的位置坐标为(24 m，16 m)，D正确。]
因蜡块随玻璃管沿水平方向匀加速运动，蜡块沿竖直方向上匀速运动，蜡块所受合外力与合速度有夹角，故其轨迹不是直线。
如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正从高空下落。
(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员的实际运动轨迹还竖直向下吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？
(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？
提示：(1)有风时跳伞员不沿竖直方向向下运动。无风时跳伞员竖直匀速下落，有风时，跳伞员一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动。因此，竖直匀速下落的运动是跳伞员的分运动。
(2)应用矢量运算法则求合速度。
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
3．运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。
[特别提示] 合运动与分运动有等时、独立、等效、同体四个特性，最重要的是等时性，时间像桥梁一样联系着分运动和合运动。
4．确定合运动性质的方法
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断：
(1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动。
(2)判断轨迹曲直：若a与v0共线，则做直线运动；若a与v0不共线，则做曲线运动。
(3)互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
【例2】 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示。若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是( )
A．0.1 m/s，1.73 m B．0.173 m/s，1.0 m
C．0.173 m/s，1.73 mD．0.1 m/s，1.0 m
C [由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan 30°＝eq \f(y,x)
由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt
联立解得：x＝1.73 m，vx＝0.173 m/s。故C项正确。]

上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？
提示：由tan 45°＝eq \f(y,x)，则x＝1.0 m，由x＝eq \f(1,2)at2，y＝vyt得t＝10 s，a＝0.02 m/s2。
“三步走”求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识。
生活中常遇到这样两种实际问题：
甲
1．如图所示，小船渡河问题中，小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？怎样过河位移最短？
提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短。
2．如图乙所示，绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？
乙
提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。
1．运动的合成与分解的应用解题思路
(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。
(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。
(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。
2．两种常见物理模型
(1)“小船渡河”模型
①模型特点
小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(ⅰ)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同。
(ⅱ)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成。
②两类最值问题
(ⅰ)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水)。
(ⅱ)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水，如图甲所示。
甲
情况二：v水＞v船
如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水)。
乙
【例3】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，
甲
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s。
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m。
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。
如图乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短。
乙
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。
[答案] (1)36 s 90eq \r(5) m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24eq \r(3) s
[解题误区]
1．小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
2．求渡河的最小位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。
3．渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
(2)“关联速度”模型
①“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。
②“关联”速度分解的步骤
(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。
(ⅱ)确定合运动的两个效果。
eq \(\a\al(用轻绳或可自由转动的,轻杆连接的物体的问题))―→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(效果1：沿绳或杆方向的运动,效果2：垂直绳或杆方向的运动))
相互接触的物体的问题―→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(效果1：垂直接触面的运动,效果2：沿接触面的运动))
(ⅲ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。
③常见的速度分解模型
甲 乙
丙 丁
【例4】 如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v B．eq \f(v,sin θ) C．vcs θ D．vsin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsin θ，故D正确。
]

上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？
提示：vA′＝eq \f(v,sin θ)
由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动。
5.3实验：探究平抛运动的特点
一、平抛运动
1．抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动叫作平抛运动。
(2)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用。
二、探究平抛运动的特点
1．实验思路
(1)提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？
(2)科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。
2．进行实验
方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点
(1)实验目的
①探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。
②探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。
(2)实验原理
数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖直方向的运动特点。
(3)数据处理
①建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向的直角坐标系。
②测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。
③根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。
(4)结果分析
水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。
方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点
(1)实验设计
实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。
(2)实验器材和步骤
①实验器材
小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等。
②实验步骤
a．安装、调整斜槽
将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所示。
b．调整木板并确定坐标原点
用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点O，O点即坐标原点。利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴。
c．描点
使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点。
d．描绘出平抛运动的轨迹
取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹。
[特别提示] 斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结果。
(3)注意事项
①应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。
②小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
③坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。
【例1】 用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
图1
(1)下列实验条件必须满足的有________。
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则eq \f(y1,y2)____eq \f(1,3)(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得钢球平抛的初速度v0大小为________(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)。
图2
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是________。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
[解析] 根据平抛运动的规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动解答。
(1)本实验中要保证钢球飞出斜槽末端时的速度水平，即钢球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将钢球从斜槽上同一位置由静止释放即可，故B、D正确。
(2)a.平抛运动的起始点应为钢球静置于Q点时，钢球的球心对应纸上的位置，由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定y轴时需要y轴与重垂线平行；
b．由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶…可知，由于A点不是抛出点，所以eq \f(y1,y2)＞eq \f(1,3)；设AB、BC间所用的时间为T，竖直方向有：y2－y1＝gT2，水平方向有：x＝v0T，联立解得：v0＝xeq \r(\f(g,y2－y1))。
(3)平抛运动的特性：初速度为v0，加速度为g，细管水平喷出水柱满足要求，A正确；用频闪照相法在同一底片上记录钢球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B正确；将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力，所以铅笔做的不是平抛运动，故此方案不可行，C错误。
【答案】 (1)BD (2)a.球心 需要 b．大于 xeq \r(\f(g,y2－y1)) (3)AB
【例2】 (1)在“研究平抛物体的运动”的实验中，为减小空气阻力对小球的影响，选择小球时，应选择下列的________。
A．实心小铁球 B．空心铁球
C．实心小木球 D．以上三种球都可以
(2)在研究平抛运动的实验中，斜槽末端要________，且要求小球要从________________释放，现用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格边长L＝2.5 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图所示，小球由A到B位置的时间间隔为________s，小球平抛的初速度大小为________m/s。小球在B点的速度为________m/s。
[解析] (1)为了减小空气阻力对小球的影响，要选择体积较小质量较大的小球，故选实心小铁球，故A正确，B、C、D错误；(2)在研究平抛运动的实验中，为保证小球做平抛运动，斜槽末端要水平，为保证每次运动轨迹相同，要求小球从同一位置无初速度释放，小球竖直方向做自由落体运动，
有：Δh＝gT2，即为：L＝gT2，
得：T＝eq \r(\f(L,g))＝eq \r(\f(2.5×10－2,10))s＝0.05 s。
小球初速度为：
v0＝eq \f(x,T)＝eq \f(2×2.5×10－2,0.05) m/s＝1 m/s；
B位置竖直方向速度为：
vy＝eq \f(3L,2T)＝eq \f(3×2.5×10－2,2×0.05)m/s＝0.75 m/s；
则B点的速度为：
vB＝eq \r(v\\al( 2,0)＋v\\al( 2,y))＝eq \r(12＋0.752) m/s＝1.25 m/s。
[答案] (1)A (2)切线水平 同一位置无初速度 0.05 1 1.25
【例3】 某同学设计了一个研究平抛运动的实验，实验装置示意图如图甲所示。A是一块水平木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(甲图中的P0P0′、P1P1′…)，槽间距离均为d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上，实验时依次将B插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放。每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d。实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图乙所示。
甲 乙
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到______________为止。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了________________。
(2)每次将B板向纸面内侧平移距离d，是为了_________。
(3)在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹。
[思路点拨] 本题是利用留迹法描绘平抛运动的轨迹，解题的关键是明确每次将B板向纸面内侧平移距离d的目的。
[解析] (1)小球每次离开斜轨后，应做轨迹相同的平抛运动，所以实验前要反复调节实验装置，使斜轨末端水平。每次从同一位置由静止释放小球，是为了使小球每次运动的初速度相同。
(2)每次B板插入后一槽中会使小球的水平位移增加d，所以每次将B板向纸面内侧平移d，就可以对应水平位移的变化，使B板上的x坐标能表示水平位置的变化。
(3)用平滑曲线连接各点，可得轨迹如图所示。
【答案】 (1)斜轨末端水平 保证小球每次射出时初速度相同 (2)使板上的x坐标能表示小球的水平位移 (3)如解析图所示
5.4抛体运动的规律
一、平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为：
1．水平方向：vx＝v0。
2．竖直方向：vy＝gt。
3．合速度eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(大小：v＝ \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝ \r(v\\al(2,0)＋g2t2),方向：tan θ＝\f(vy,vx)＝\f(gt,v0)θ为速度方向与, 水平方向间的夹角))
[特别提示] 由tan θ＝eq \f(gt,v0)知，速度与水平方向的夹角随时间t的增大而增大，但一定不会达到90°，因为水平方向上的分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，合速度也就不可能沿竖直方向。
二、平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向：x＝v0t。
2．竖直方向：y＝eq \f(1,2)gt2。
3．合位移eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(大小：s＝ \r(x2＋y2)＝ \r(v0t2＋\f(1,2)gt22),方向：tan α＝\f(y,x)＝\f(gt,2v0)α为位移方向与, 水平方向间的夹角))
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝eq \f(x,v0)，代入y＝eq \f(1,2)gt2得y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
[特别提示] y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2中，g、v0都是与t无关的常量，所以eq \f(g,2v\\al(2,0))是与x，y无关的常量。y＝eq \f(g,2v\\al(2,0))x2与数学中的二次函数方程y＝ax2形式相似，二次函数的图像是一条抛物线，“抛物线”的名称就是由抛体运动得来的。
三、一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cs θ。
2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sin θ。
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的特点
2．(1)平抛运动的规律及处理方法
(2)平抛运动的研究方法：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
3．方法
(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向x＝v0t或竖直方向y＝eq \f(1,2)gt2可求解时间。
(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据vy＝gt可求解时间。
(3)利用匀变速直线运动的推论Δy＝gT2可求解时间。
4．平抛运动的两个推论
(1)平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
证明：因为tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)，所以tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点。
则eq \x\t(OB)＝v0t，eq \x\t(AB)＝eq \f(\x\t(PB),tan θ)＝eq \f(1,2)gt2·eq \f(v0,gt)＝eq \f(1,2)v0t。
可见eq \x\t(AB)＝eq \f(1,2)eq \x\t(OB)。
【例1】 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为eq \f(θ,2)
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
思路点拨：①通过对落地点的速度分解，分析A、D两个选项。
②通过该过程中位移的分解，分析B、C两个选项。
D [如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝eq \f(gt,tan θ)，选项A错误；平抛运动的时间t＝eq \r(\f(2y,g))，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，则tan θ＝2tan α，但α≠eq \f(θ,2)，选项B错误；由于tan θ＝eq \f(gt,v0)，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。]

(1)上例中，小球在水平方向的位移是多少？
[解析] 小球在竖直方向的速度vy＝gt①
则v0＝eq \f(gt,tan θ)②
x＝v0t＝eq \f(gt2,tan θ)。
(2)在上例中，小球落地时的速度是多大？
[解析] 小球在竖直方向的速度vy＝gt①
则v＝eq \f(vy,sin θ)＝eq \f(gt,sin θ)。
(1)平抛运动中，速度偏向角是指过该点轨迹的切线与水平方向的夹角；位移偏向角是指该点与起点的连线与水平方向的夹角，不要将两者混淆。
(2)平抛运动中，某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α，而不要误记为θ＝2α。
两个小球A和B以不同的水平初速度抛出后落到斜面上同一位置，
(1)两小球在落点的速度方向是否相同？
(2)小球在运动过程中，距斜面最远时的条件？
提示：(1)两个小球在落点的速度方向相同。
(2)当小球的合速度方向与斜面平行时，小球距斜面最远。
1．常见的两类问题
(1)物体从斜面上某一点抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。

位移与水平方向的夹角为α 速度与竖直方向的夹角为θ
2．基本求解思路
【例2】 如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球空中运动时间为eq \f(v0,g tan θ)
B．小球的水平位移大小为eq \f(2v\\al(2,0),g tan θ)
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为eq \f(v\\al(2,0),g tan θ)
[思路点拨] “小球到达斜面的位移最小”隐含的条件是小球的位移与斜面垂直，利用数学知识得出水平位移x与竖直位移y之间的关系，就能求解。
B [如图所示，过抛出点作斜面的垂线；当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：x＝v0t；竖直方向：y＝eq \f(1,2)gt2。
根据几何关系有eq \f(x,y)＝tan θ；联立解得t＝eq \f(2v0,g tan θ)；小球的水平位移大小为x＝v0t＝eq \f(2v\\al(2,0),g tan θ)；竖直位移大小为y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2v\\al(2,0),g tan2θ)，由水平位移和竖直位移可求解位移的大小；故A、C、D错误，B正确。]
[解题技巧] 解决与斜面结合的平抛运动问题的“三类突破口”
1若水平位移、水平速度已知，可应用x＝v0t列式，作为求解问题的突破口。
2若竖直高度或竖直分速度已知，可应用y＝eq \f(1,2)gt2或vy＝gt列式，作为求解问题的突破口。
3若物体的末速度的方向或位移的方向已知，可应用tan θ＝eq \f(gt,v0)θ是物体速度与水平方向的夹角或tan α＝eq \f(gt,2v0)α是物体的位移与水平方向的夹角列式作为求解问题的突破口。
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
1．斜抛运动的规律：
斜抛物体的轨迹
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0x＝v0cs θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))。
(2)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0tcs θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－eq \f(1,2)gt2。
t时间内的位移大小为s＝eq \r(x2＋y2)，与水平方向成α角，且tan α＝eq \f(y,x)。
2．射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)。
(2)射高：h＝eq \f(v\\al( 2,0y),2g)＝eq \f(v\\al(2,0)sin2θ,2g)。
(3)射程：s＝v0cs θ·t＝eq \f(2v\\al(2,0)sin θcs θ,g)＝eq \f(v\\al(2,0)sin 2θ,g)，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝eq \f(v\\al(2,0),g)。
3．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
【例3】 (多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD [A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比A球的大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
[解题技巧]
斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
专题 抛体运动规律的应用
两种常见类型
(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在圆形轨道上的C点。
(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
【例1】 (多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度为g＝10 m/s2，则( )
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[思路点拨] 将小球在C点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
AC [小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(tan 37°,2)＝eq \f(3,8)，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(y,1.6R)，R＝0.75 m，解得y＝eq \f(9,20) m，根据y＝eq \f(1,2)gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s。选项A、C正确。]
解决平抛运动与曲面结合问题的方法
(1)充分利用几何关系找出小球到达圆面时水平位移x和竖直位移y的关系。
(2)找出小球到达圆面时，速度方向与水平方向之间的夹角。
(3)通过位移或速度关系求解飞行时间及相关物理量。
平抛运动的相遇问题是指两个或两个以上物体在同一竖直平面内做平抛运动时所涉及的问题。
三类常见的平抛运动的相遇问题
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出，则两物体每个时刻都在同一高度，二者间距只取决于两物体抛出速度的大小关系。
(2)若两物体同时从不同高度水平抛出，则两物体之间的高度差始终与抛出点之间的高度差相同，二者间距由两物体的抛出速度和高度差共同决定。
(3)若两物体从同一点先后水平抛出，两物体之间的高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
【例2】 (多选)如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，它们做平抛运动的轨迹的交点为P，则以下说法正确的是( )
A．a、b两球同时落地
B．b球先落地
C．a、b两球在P点相遇
D．无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇
BD [由h＝eq \f(1,2)gt2可得t＝eq \r(\f(2h,g))，因ha＞hb，且a、b两球同时抛出，故b球先落地，A错误，B正确；两球的运动轨迹相交于P点，因为P、a之间的高度大于P、b之间的高度，同时抛出两球，所以b球先通过P点，两球不会同时到达P点，故无论两球初速度大小为多大，两球总不能相遇，C错误，D正确。]
1．类平抛运动
类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。
[特别提示] 类比法是一种重要的物理思维方法。充分运用类比法，可加深对物理规律和概念的理解，提高分析解决问题的能力，从而达到触类旁通、以点带面、事半功倍的学习效果。
2．类平抛运动的特点及处理方法
【例3】 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平射入，求：(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
[思路点拨] 小球的运动过程与平抛运动的过程类似，以一定的初速度抛出后，在与初速度方向垂直的恒力作用下运动。可以将小球的运动分解为沿合外力方向的初速度为零的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速直线运动。
[解析] (1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma，又L＝eq \f(1,2)at2
解得t＝eq \r(\f(2L,gsin 30°))
所以x＝v0t＝v0eq \r(\f(2L,gsin 30°))＝20 m。
(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝eq \r(2aL)＝eq \r(2gsin 30°·L)＝eq \r(gL)＝10 m/s
故v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝10eq \r(2) m/s。
[答案] (1)20 m (2)10eq \r(2) m/s
[解题技巧] 类平抛运动问题的求解思路
1分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向。
2利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。
3根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效性。
第六章 圆周运动
6.1圆周运动
一、圆周运动及线速度
1．圆周运动的概念
运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。
2．线速度
(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。
(2)表达式：v＝eq \f(Δs,Δt)，单位为米/秒，符号是m/s。
(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。
(5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
[注意] 匀速圆周运动是线速度大小不变的曲线运动，它的线速度方向时刻在变化，因而匀速圆周运动不是匀速运动，严格地说，应该将其称为匀速率圆周运动。
二、角速度
1．定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。
2．表达式：ω＝eq \f(Δθ,Δt)。
3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。
在国际单位制中角的度量单位为“弧度”，在利用公式ω＝eq \f(Δθ,Δt)计算角速度时，Δθ的单位是“弧度”。360°＝2π弧度。
4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
5．匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
3．物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。
四、线速度与角速度的关系
1．两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。
2．表达式：v＝ωr。
如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
提示：(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc>vb。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq \f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq \f(1,r)；ω一定时，v∝r。
[特别提示] 在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。
【例1】 某品牌电动自行车的铭牌如下：
根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为( )
A．15 km/h B．18 km/h
C．20 km/h D．25 km/h
[思路点拨] 车的速度与车轮边缘的线速度大小相等，再根据ω＝eq \f(2πn,60)和v＝ωr可求得车速。
C [由题目所给信息可知额定转速n＝210 r/min，则车轮转动的角速度ω＝eq \f(2πn,60)，由于车轮直径d＝508 mm，则车轮半径r＝eq \f(d,2)＝0.254 m，则车轮转动的线速度v＝ωr＝eq \f(2πn,60)·r＝eq \f(2π×210×0.254,60) m/s＝5.6 m/s＝20 km/h。]
求解圆周运动中各物理量间的关系问题时，首先必须明确线速度、角速度、周期、频率即转速等，都是从不同角度描述圆周运动的物理量，通过分析题给条件，弄清问题中哪些物理量不变，然后根据v＝rω，ω＝eq \f(2π,T)，T＝eq \f(1,f)等关系式求解。
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？
提示：(1)线速度和角速度都相同。
(2)角速度相同，线速度不同。
1．三种传动装置
2.求解传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝eq \f(1,r)分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【例2】 如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
[解析] A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2

上例中，若C轮的转速为n r/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？
提示：由ω＝2πn，vb＝ωrB
得va＝vb＝2πn·rB
ωa＝eq \f(va,rA)＝eq \f(2πnrB,rA)＝πn。
传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。
如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。
讨论：(1)扇叶上的每一点都在做什么运动？
(2)观察者感觉扇叶不动，为什么？此时扇叶的转速为多少？
提示：(1)扇叶上每一点都在绕风扇转轴做圆周运动。
(2)每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶不动。
T＝eq \f(1,45)s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，则转动的角速度
ω＝eq \f(θ,T)＝30nπ rad/s(n＝1，2，3…)，
转速n＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(30nπ,2π)×60 r/min＝900 n(r/min)(n＝1，2，3…)
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
【例3】 如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dveq v\\al(2,0)＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0，1，2，3…)
C．v0＝ωeq \f(d,2)
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0，1，2，3，…)
[思路点拨] 圆周运动是一种周期性运动，每经过一个周期物体都会回到原来的位置，本题中飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)。飞镖的水平位移为L，竖直位移为d，根据圆周运动和平抛运动的相关知识求解。
B [依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝eq \f(2n＋1π,ω)，平抛的时间t＝eq \f(L,v0)，则有eq \f(L,v0)＝eq \f(2n＋1π,ω)(n＝0，1，2，3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝eq \f(1,2)gt2，联立有dω2＝eq \f(1,2)gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3，…)，dveq v\\al(2,0)＝eq \f(1,2)L2g，A、D错误。]
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
6.2向心力
一、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。
2．方向
向心力的方向始终沿半径指向圆心。
1向心力的方向时刻在变，向心力是变力。
2向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝meq \f(v2,r)。
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
2．一般曲线运动
(1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
一般的曲线运动通过以上方法进行处理后，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了。
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？
(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？
提示：(1)重力和支持力。
(2)这些力的合力指向圆心，充当向心力，改变速度的方向。
1．匀速圆周运动中向心力的方向：
方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2．向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。
向心力来源的实例分析
【例1】 如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
[思路点拨] ①分析受哪些力，②分析向心力是什么。
B [老鹰在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力，不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。]
分析向心力来源的思路
(1)明确研究对象。
(2)确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置。
(3)进行受力分析，指向圆心方向的合力即为向心力。
1.实验装置：向心力演示仪(介绍向心力演示仪的构造和使用方法)
[特别提示] 向心力演示器原理及实验操作简介
1如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。
2小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。
3传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。
2．实验方法：控制变量法
3．实验过程
(1)保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力Fn与运动半径r之间的关系。
(2)保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力Fn与角速度ω之间的关系。
(3)保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力Fn与质量m的关系。
4．实验结论
精确的实验表明向心力的大小可以表示为
Fn＝mω2r或Fn＝meq \f(v2,r)或Fn＝m(eq \f(2π,T))2r。
【例2】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法D．放大法
(2)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比
[解析] (1)这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。
(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确。
(3)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确。
[答案] (1)A (2)D (3)C
教材第29页“思考与讨论”答案提示：
线速度减小时，物体所受合力的方向与速度方向的夹角大于90°。
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r仍然适用。
1．变速圆周运动合力的作用效果
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。
2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
3.一般曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
[特别提示] (1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝meq \f(v2,r)、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
【例3】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
甲 乙
A．eq \f(v\\al(2,0),g) B．eq \f(v\\al(2,0)sin2α,g) C．eq \f(v\\al(2,0)cs2α,g) D．eq \f(v\\al(2,0)cs2α,gsin α)
[思路点拨] 物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出重力等于向心力的表达式进行求解。
C [斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cs α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度为零，其速度为vP＝v0cs α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝meq \f(v0cs α2,ρ′)得ρ′＝eq \f(v\\al(2,0)cs2α,g)，所以C正确，A、B、D错误。]
6.3向心加速度
匀速圆周运动的加速度方向和大小
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
4．向心加速度的大小：
(1)基本公式an＝eq \f(v2,r)＝ω2r。
(2)拓展公式an＝eq \f(4π2,T2)·r＝ωv。
甲 乙
问题1：图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
问题2：做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
问题3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
提示：(1)具有加速度。
(2)从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
(3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
对向心加速度的理解
[特别提醒] 向心加速度方向的推导
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
甲 乙 丙 丁
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别用vA、vB表示，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，其方向由vA的箭头位置指向vB的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以Δv与vA、vB构成等腰三角形。
第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
【例1】 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
C [匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化的，所以D项错误。]
教材第32页“思考与讨论”答案提示：B、C两点的向心加速度与半径成正比，因为B、C两点同轴转动，角速度ω相同，由an＝ω2r知，an与r成正比；A、B两点的向心加速度与半径成反比，因为A、B两点线速度v大小一样，由an＝eq \f(v2,r)知，an与r成反比。
如图所示，两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边缘上的点，B点为大齿轮边缘上的点，C点为大齿轮中间的点。
讨论：A和B、B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
提示：(1)A、B两个点的线速度相同，由an＝eq \f(v2,r)知向心加速度与半径成反比。
(2)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比。
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝meq \f(v2,r)，可得向心加速度的大小an＝eq \f(v2,r)或an＝ω2r。
[特别提示] 1.表达式an＝eq \f(v2,r)、an＝ω2r中各物理量是同一时刻的量，即它们是瞬时对应关系。
2．表达式an＝eq \f(v2,r)、an＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④an与r的关系图像：如图所示，由an­r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
【例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的eq \f(1,3)。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
[思路点拨] ①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。
②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝eq \f(v2,r)计算向心加速度。
[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，
即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得eq \f(aS,aP)＝eq \f(rS,rP)
故aS＝eq \f(rS,rP)aP＝eq \f(1,3)×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)得eq \f(aP,aQ)＝eq \f(rQ,rP)
故aQ＝eq \f(rP,rQ)aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度公式的应用技巧
6.4生活中的圆周运动
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
2．火车转弯时向心力的来源分析
(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力mg和支持力FN的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图所示。
二、汽车过拱形桥
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力。mg－FN＝meq \f(v2,R)。
2．失重状态：当v＝eq \r(gR)时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。
四、离心运动
1．定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。
教材第36页“思考与讨论”答案提示：
利用支持力FN与重力G的合力提供向心力，减轻轮胎与地面的径向摩擦力以防止侧滑。
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力
1火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
2火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
3火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：1火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力。
3火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力。
1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内。
(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力。
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，如图所示，则v0＝eq \r(gRtan θ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈eq \f(h,L))，v0为转弯处的规定速度。
此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
(2)若火车行驶速度v0＞eq \r(gRtan θ)，外轨对轮缘有侧压力。
(3)若火车行驶速度v0＜eq \r(gRtan θ)，内轨对轮缘有侧压力。
[特别提醒]
1．转弯轨道受力与火车速度的关系
2．其他弯道特点
高速公路、赛车的弯道处设计成外高内低，使重力和支持力的合力能提供车辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对行驶车辆的影响，目的是在安全许可的范围内提高车辆的运行速度。
【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
[思路点拨]：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝meq \f(v2,r)＝eq \f(105×202,400) N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝meq \f(v2,r)
由此可得tan θ＝eq \f(v2,rg)＝0.1。
[答案] (1)1×105 N (2)0.1

上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的eq \f(3,2)倍，则由mgtan θ＝meq \f(v2,R)，可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225。
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
教材第37页“思考与讨论”答案提示：
地球可看作一个巨大的拱形桥，由重力与支持力的合力提供向心力，即Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,R)，当速度v增大时，汽车对地面的压力减小，当速度增大到v＝eq \r(gR)时，地面对车的支持力等于0，驾驶员与座椅间的压力为0，驾驶员躯体的各部分之间的压力也为0，他有失重的感觉。
如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。
甲 乙
问题1：当你坐汽车经过如图甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点时对桥的压力会有什么特点？
问题2：若质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，桥面的圆弧半径为R。则汽车对桥的压力多大？如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？
问题3：当你坐汽车经过如图乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？
问题4：若质量为m的汽车在凹形路面上以速度v行驶，路面的圆弧半径为R。则汽车对凹形路面最低点的压力多大？
问题5：汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？
提示：(1)失重的感觉，压力小于重力。
(2)由牛顿第二定律知：mg－FN＝meq \f(v2,R)
FN＝mg－meq \f(v2,R)
当v增大时，FN减小。
(3)超重感觉，压力大于重力。
(4)由牛顿第二定律知：FN－mg＝meq \f(v2,R)
FN＝mg＋meq \f(v2,R)。
(5)汽车在拱形桥的最高点，在凹形路面的最低点，压力大于重力与压力小于重力的原因由加速度的方向决定，这种情况与电梯中超、失重现象的原因相同。
1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。
由牛顿第二定律得：G－FN＝meq \f(v2,r)，则FN＝G－meq \f(v2,r)。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq \f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。
(1)当0≤v