安徽省安庆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

这是一份安徽省安庆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（含答案），共33页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，4cmC．13，5cm，，1．等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2.请将答案正确填写在答题卡上。
一．选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若ab=32，则a+bb=（ ）
A．12B．32C．52D．35
2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC=2，则DE的长为（ ）
A．6B．22C．32D．42
3．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（ ）
A．左1下1B．右1下1C．左1上1D．右1上1
4．反比例函数y=−kx与二次函数y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
5．下列线段能构成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4B．1，2，2，2
C．2，5，3，1D．2，5，3，4
6．已知二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＝2 B．抛物线的开口向上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＝2时，函数有最小值2
7．点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+3图象上，m+n的最大值是（ ）
A．3B．23C．134D．72
8．如图，ABAC=ADAE，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．ABBC=ADDEC．ABBD=ACCED．∠ABD＝∠ACE
9．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A．9cmB．14.4cmC．13.5cmD．15cm
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知两地的实际距离是100米，如果画在地图上两地的距离为5厘米，那么地图上距离与实际距离的比是 ．
12．二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣a的图象经过原点，则a＝ ．
13．对于反比例函数y=6x，当x＞﹣2时，y的取值范围是 ．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx过点A（﹣2，﹣2），点B（6，﹣6）．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则△ABC面积的最大值为 ．
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知线段a，b，c满足a3=b2=c6，且a+2b+c＝26．
①求a，b，c的值；
②若线段x是线段6a，b的比例中项，求x．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）当y＞﹣3时，x的取值范围为 ．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：
（1）求BF和BD的长度．
（2）四边形BDEF的周长．
18．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且ADAB=34；
（2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且BFBC=23．
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AF⊥BC于点F，AG⊥DE于点G，∠BAF＝∠EAG．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若AB＝4，AG＝2，EG＝1，求AF的长．
20．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5−12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．
（1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值；
（2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P的坐标．
六．（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝4，EF＝6．求AC的值．
七．（本题满分12分）
22．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d＝2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
八．（本题满分14分）
23．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE＝x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为63，求AE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若ab=32，则a+bb=（ ）
A．12B．32C．52D．35
【解答】解：由题意可知：ab=32，
变形得：a=32b，
∴32b+bb=52．
故选：C．
2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC=2，则DE的长为（ ）
A．6B．22C．32D．42
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，
∴S△ABC：S△ADE＝1：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴(BCDE)2=14，
∴BCDE=12或BCDE=−12（不符合题意，舍去）
∵BC=2，
∴DE=22．
故选：B．
3．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（ ）
A．左1下1B．右1下1C．左1上1D．右1上1
【解答】解：∵抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，
∴平移前抛物线的顶点坐标为（0，1），平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），
∴平移方式为向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，
故选：A．
4．反比例函数y=−kx与二次函数y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；
B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；
C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项错误；
D、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；
故选：B．
5．下列线段能构成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4B．1，2，2，2
C．2，5，3，1D．2，5，3，4
【解答】解：A、1×4≠2×3，故选项错误；
B、1×2=2×2，故选项正确．
C、1×5≠2×3，故选项错误；
D、2×5≠3×4，故选项错误．
故选：B．
6．已知二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＝2
B．抛物线的开口向上
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＝2时，函数有最小值2
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，
∴−m−22m=0，m≠0，
解得m＝2，
∴二次函数为y＝2x2+2，
∴抛物线开口向上，当x＝0时，函数有最小值2，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
故A、B、C正确，不合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
7．点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+3图象上，m+n的最大值是（ ）
A．3B．23C．134D．72
【解答】解：将（m，n）代入y＝﹣x2+3得n＝﹣m2+3，
∴m+n＝﹣m2+m+3＝﹣（m−12）2+134，
∴m=12时，m+n最大值为：134，
故选：C．
8．如图，ABAC=ADAE，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAEB．ABBC=ADDEC．ABBD=ACCED．∠ABD＝∠ACE
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵ABAC=ADAE，
∴ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
故A不符合题意；
∵ABBC=ADDE，
∴ABAD=BCDE，
∵ABAD=ACAE，
∴ABAD=ACAE=BCDE，
∴△ABC∽△ADE，
故B不符合题意；
∵ABBD=ACCE，
∴ABAC=BDCE，
∵ABAC=ADAE，
∴ABAC=ADAE=BDCE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵ABAC=ADAE，
∴ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
故C不符合题意；
由ABAC=ADAE，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，
故D符合题意；
故选：D．
9．如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A．9cmB．14.4cmC．13.5cmD．15cm
【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴CACO=AEOF，
∴CACO=610=35，
∴OACO=25，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=OACO，
∴5.4CD=25，
∴CD＝13.5cm，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得BQ＝x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，
则△BPQ的面积=12BP•BQ，
解y=12•3x•x=32x2；故A选项正确；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=12BQ•BC，
解y=12•x•3=32x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，
则△BPQ的面积=12AP•BQ，
解y=12•（9﹣3x）•x=92x−32x2；故D选项错误．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
11．已知两地的实际距离是100米，如果画在地图上两地的距离为5厘米，那么地图上距离与实际距离的比是 1：2000 ．
【解答】解：∵100米＝10000厘米，
∴地图上距离与实际距离的比是5：10000＝1：2000；
故答案为：1：2000．
12．二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣a的图象经过原点，则a＝ 1 ．
【解答】解：将（0，0）代入y＝ax2﹣3x+a2﹣a，
∴0＝a2﹣a，
∴a＝0（舍去）或a＝1，
故答案为：1．
13．对于反比例函数y=6x，当x＞﹣2时，y的取值范围是 y＞0或y＜﹣3 ．
【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∵k＝6＞0，
∴此函数图象分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
当﹣2＜x＜0时，y＜﹣3；
当x＞0时，y＞0，
综上所述：y的取值范围是y＜﹣3或y＞0，
答案为：y＞0或y＜﹣3．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx过点A（﹣2，﹣2），点B（6，﹣6）．
（1）该抛物线的顶点坐标为 (1，14) ．
（2）点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则△ABC面积的最大值为 16 ．
【解答】解：（1）由题意可得：4a−2b=−236a+6b=−6，
解得a=−14b=12，
∴y=−14x2+12x=−14(x−1)2+14，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，14)；
故答案为：(1，14)；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b1，
∵A（﹣2，﹣2），点B（6，﹣6），
∴−2k+b1=−26k+b1=−6，解得：k1=−12b1=−3
∴直线AB的解析式为y=−12x−3，
设过点C且与直线AB平行的直线解析式为y=−12x+m，
当直线y=−12x+m与抛物线y=−14x2+12x有唯一的公共点，
则点C到AB的距离最大，
∴△ABC面积最大，
∴关于x的方程−14x2+12x=−12x+m有两个相等的实数根，
∴x2﹣4x+4m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣16m＝0，解得：m＝1，
∴过点C且与直线AB平行的直线解析式为y=−12x+1，
∴−14x2+12x=−12x+1，解得：x＝2，
∴C（2，0）．
作CD∥y轴交AB于点D，
则点D的横坐标为2，
又点D在直线AB上，
∴y=−12×2−3=−1−3=−4，
∴点D的坐标为（2，﹣4），
∴此时△ABC的面积=12CD⋅(xB−xA)=12×[0−(−4)]×[6−(−2)]=16．
三．解答题
15．已知线段a，b，c满足a3=b2=c6，且a+2b+c＝26．
①求a，b，c的值；
②若线段x是线段6a，b的比例中项，求x．
【解答】解：①设a3=b2=c6=k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
②∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝6ab＝36×4＝144，
∴线段x＝12．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）当y＞﹣3时，x的取值范围为 ﹣3＜x＜5 ．
【解答】解：（1）由条件可知：（﹣1，0），（1，1），（3，0）在函数图象上，
∴a−b+c=0a+b+c=19a+3b+c=0，
解得a=−14b=12c=34，
∴该二次函数的表达式为y=−14x2+12x+34；
（2）二次函数图象如下所示：
（3）由函数图象可得：当y＞﹣3时，x的取值范围是﹣3＜x＜5；
故答案为：﹣3＜x＜5．
17．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：
（1）求BF和BD的长度．
（2）四边形BDEF的周长．
【解答】解：（1）∵AE＝2CE，
∴CEAE=12，
∵EF∥AB
∴AEAC=BFBC=23，
∵BC＝9，
∴BF＝6，
∵DE∥BC
∴BDAB=CEAC=13，
∵AB＝6，
∴BD＝2；
（2）∵EF∥AB，DE∥BC
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝6，
∴四边形BDEF的周长2（2+6）＝16．
18．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且ADAB=34；
（2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且BFBC=23．
【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC．
如图①，在AB上取点D，使AD：AB＝3：4，再过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则点D、E即为所求．
（2）∵△BFG∽△BCA，
∴BGAB=BFBC=23．
如图②，在BC上取格点F，使BF＝2，再取格点M，N，使BM：AN＝2：1，且BM∥AN，连接MN交AB于点G，
此时△AGN∽△BGM，
∴BGAG=BMAN=2，
∴BGAB=BFBC=23，
则点F、G即为所求．
19．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AF⊥BC于点F，AG⊥DE于点G，∠BAF＝∠EAG．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若AB＝4，AG＝2，EG＝1，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AF⊥BC于点F，AG⊥DE于点G，
∴∠AFB＝∠AGE＝90°，
∵∠BAF＝∠EAG，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC；
（2）解：由（1）可知：∠AFB＝∠AGE＝90°，
又∵∠BAF＝∠EAG，
∴△ABF∽△AEG，
∴AFAG=ABAE，
∵AB＝4，AG＝2，EG＝1，AG⊥DE，
在直角三角形AEG中，由勾股定理得：AE=AG2+EG2=22+12=5，
∴AF2=45，
∴AF=855．
20．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5−12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC．
（1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值；
（2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，OB＝m+2，AB＝m，
∴A（m+2，m），
∵k＝3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
∵点A、C是反比例函数y=kx(k＞0)在第一象限内图象上的任意点，将点A的坐标代入得：
m=3m+2，
解得：m＝1（经检验，是原分式方程的根，且符合题意）或m＝﹣3（不合题意，舍去）；
（2）由（1）可得AB＝1，
∵ABOP的值为“黄金比”，
∴ABOP=5−12，
∴OP=2AB5−1=5+12，
∴点P的坐标为(−5+12，0)或(5+12，0)．
21．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝4，EF＝6．求AC的值．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴AEEC=ADBD，
∵AFFE=AEEC，
∴ADBD=AFFE，
∴ADAB=AFAE，
∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ABE，
∴∠ADF＝∠ABE，
∴DF∥BE；
（2）解：∵AF＝4，EF＝6，
∴AFAE=44+6=25，
∴AF=25AE，
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AEEC=AFEF=23，
∴AE=25AC，
∴AC＝25．
22．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（3）当调整与绿化带距离为d＝2.2米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，A（2，1.6）为上边缘抛物线的顶点，
∴可设y＝a（x﹣2）2+1.6．
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6．
∴a＝﹣0.1．
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6．
（2）由题意，∵对称轴为直线 x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的．
又令y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6．
∴x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴6﹣4＝2．
∴点B的坐标为（2，0）．
（3）由题意，∵矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，又OD＝d＝2.2米，
∴2.2+1.8＝4（米）．
∴点F的坐标为（4，1.1）．
∴当x＝4时，y＝﹣0.1（4﹣2）2+1.6＝1.2＞1.1，
又∵当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
23．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE＝x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为63，求AE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，AD＝BD＝AC，
∵AC＝4，
∴AD＝BD＝AC＝4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC＝∠ACB＝90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF＝90°，
∴∠BDF＝30°，
∴∠BFD＝30°，
∴∠BDF＝∠BFD，
∴BF＝BD＝4；
（2）①证明：由翻折，得∠E′CD＝∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D＝∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED＝∠BFD，
又∵∠CE′D＝∠CED，
∴∠BDG＝∠BFD，
∵∠DBF＝∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得BFBD=BDBG，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF＝∠DAE，∠BFD＝∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵∠DBF=∠DAE∠BFD=∠DEABD=AD，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF＝AE＝x，
∴x4=4BG，
∴BG=16x，
在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝4，
根据勾股定理得：BC=AB2−AC2=43，
∵点D到直线BM的距离d=12BC＝23，
∴S△DFG=12FG•d=12（BG﹣BF）•d，即y=12×（16x−x）×23=163x−3x（0＜x＜4）；
（3）（i）当点G在点F的右侧时，
由题意，得63=163x−3x，
整理，得x2+6x﹣16＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣8（不合题意，舍去）；
（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：
同理得到S△DFG=12FG•d=12（BF﹣BG）•d，即y=3x−163x（x＞4），
由题意，得63=3x−163x，
整理，得x2﹣6x﹣16＝0，
解得x3＝8，x4＝﹣2（不合题意，舍去），
综上所述，AE的值为2或8．x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
…