精品解析：广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷含答案

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命题人：孙悦 董博 审题人：王黎
注意事项：
1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第一部分选择题
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1. 如图所示，该几何体的左视图是 （ ）
A B. C. D.
2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 四个角都相等的四边形是矩形
4. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共计15分）
9. 方程的解是________．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高___．
11. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是______．
12. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________．
13. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

三、解答题（共计61分）
14. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
15. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格，其中_____，_____；
（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；
（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．
16. 如图，在正方形格纸中．
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标；
（3）若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标．
17. 如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
（2）若，，，求四边形面积是多少．
18. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
19. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
20. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
证明：分别过点，作于点，于点，得到图，
，又，
（_____），．
，
，
即．
延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：．
结论应用：
（1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ．
（2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ．
转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域的次数m
60
122
240
295
a
604
落在“可乐”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2
探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____．
任务3
应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值．