重庆市第二外国语学校2026届高三上学期第三次（期中）质量检测数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，然后根据交集的定义求解即可
【详解】，
又，所以，
故选：D
2. 设，且为纯虚数，则m＝（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
分析】利用纯虚数概念结合已知条件列方程组求解.
【详解】已知复数，实部为，虚部为，
因为复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，
即.
故选：D.
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. －6B. 6C. 12D. －12
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理即可求解.
【详解】在的展开式中，的系数为.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】因为，，
所以.
所以.
故选：A
5. 某独唱比赛共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定．甲不是第一个出场的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】根据古典概型的计算公式，甲不是第一个出场的概率为.
故选：C.
6. 设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（ ）
A. 64B. 96C. 128D. 192
【答案】D
【解析】
【分析】先根据求出数列的首项，再通过推导出数列的通项公式，最后将代入通项公式求出的值.
【详解】由题意，当时，，解得，
对于，由和，相减得：，
故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：，
因此，.
故选：D
7. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）

A. 1B. 3C. 5D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解.
【详解】.
故选：.
8. 已知函数在上满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，根据已知条件，判断的奇偶性和单调性，根据函数性质比较函数值即可.
【详解】令，则，故偶函数.
当时，，所以在上为减函数，
由为偶函数得在上增函数.
，， ，
因为，所以，即.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数满足，（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ）
A. B. 复数的虚部为
C. D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由复数的除法求出复数和，再由模的计算可判断A；由虚部的定义可判断B；由复数的乘法可判断C；由复平面内对应点的特征可判断D.
【详解】由题意可得，，
对于A，，故A正确；
对于B，复数的虚部为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，复数在复平面内对应的点在第四象限，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知平面向量，满足，，，则（ ）
A. B. 与的夹角的余弦值为
C. D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解.
【详解】对于AB，因为，所以，又，，
所以，所以，
所以向量与夹角的余弦值为，故A正确；B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数为偶函数，则
B. 若时，且在上单调，则
C. 若时，图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则
D. 若函数在上至少有两个最大值点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出，从而求出，可判断A；对于B项，根据正弦函数单调性列出不等式，求解可求出的范围，从而判断B；对于C项，求解，计算相邻交点的最小距离和最大距离，将题意转化为相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，列不等式组求解可得的范围，从而判断C；对于D项，在上至少有两个最大值点，则，可求出的大致范围，在的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出的最终范围.
【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，
则，故A项正确；
对于B项，若时，，
因为，所以，
因为在上单调，所以有，解得，故B项错误；
对于C项，由题意，则，所以或，
则或，
所以相邻交点最小的距离为，最大距离为.
由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，
相邻五个交点之间的最小距离不小于，所以，且，
所以，故C项错误；
对于D项，，
故，所以，所以.
因为，所以.
由于，所以，
则①，解得；
②，解得；
③，解得；
④当时，，
满足函数在上至少有两个最大值点，综上所述，，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】，则，解得.
故答案为：2.
13. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式将化为用基本量来表示，解出，然后再由求出，再根据通项公式即可求出．
【详解】设正数的等比数列的公比为，则，解得，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用及等比数列的求和公式的应用，同时考查方程思想及运算能力，属于基础题．
14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可.
【详解】不等式移项可得，
设，则，
设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，使得，①
所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，代入①可得，
所以，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；
（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量．
（1）求函数的对称中心；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1）()
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再通过令()可求得对称中心；
（2）通过换元法先求得的最值，然后可知的值域.
【小问1详解】
因为，
令()，解得()，
所以的对称中心为()；
【小问2详解】
当时，，令，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，，此时，
所以，所以的值域为.
16. 某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位）
（2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程.
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）频率分布直方图见解析，165.36
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率和为可求出，利用中位数为分位数可求出频率分布直方图的中位数，
（2）利用最小二乘法先求出参数，再利回归方程经过样本中心点，可求出参数，从而可求回归直线方程.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
，解得，
所以补全后的频率分布直方图如图所示，
又因为，，
所以中位数在区间内，设其值为，
所以，解得，
所以样本中学生身高的中位数约为165.36.
【小问2详解】
由题意可知，，，
，
，
根据公式，可求得，则，
所以所求回归直线方程为.
17. 已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解；
（2）应用余弦定理得出，，即可求解
【小问1详解】
由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
【小问2详解】
在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
18. 已知数列满足，且
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；
（2）根据等差数列的通项公式求解即可；
（3）利用裂项相消求和法求出，继而即可证明.
【小问1详解】
由，可得，
又因为，
所以数列是首项为1，公差为4的等差数列.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以.
【小问3详解】
，，
所以，
所以.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）若方程有两个实数根.证明：
【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）；
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论根据其正负判断函数的单调性，即得；
（2）根据导数的几何意义得切线方程，进而可得的表达式，构造函数，然后利用导数求最值即得；
（3）由题可得，利用换元法变形为，从而将证明，转化为证明，再构造函数，利用导数求其最值进而即得.
【小问1详解】
因为，所以，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，函数在上单调递增，
由，解得，函数在上单调递减；
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
当时，，设切点为，
则切线斜率，
切线方程为，，
∴，，
所以，
令，则，
由，可得，由，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为；
【小问3详解】
由，可得，
令，则 ，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
∴，不妨设，则 ，故 ,
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，则，
设，则，
由，可得，由，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，
则存在，使得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴在上恒成立，
所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
参加弹跳运动时长（单位：年）
1
2
3
4
5
身高（单位：）
158
162
166
170
184