上海音乐学院附属安师实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份上海音乐学院附属安师实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题第13题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共12小题，满分54分)第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.
1.直线上存在两点在平面上，则_____(填一符号).
2.已知圆柱的高为底面周长为，则圆柱的体积为_____.
3.点关于平面对称的点的坐标是_____.
4.如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_____.
5.如图，在正方体中，与平面所成的角等于_____.
6.如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为_____.

(第4题) (第5题) (第6题)
7.已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_____.
8.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是_____.
9.在空间四边形中,分别为的中点,线段的长度为1,则_____.
10.已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为_____.
11、如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论:①；②，③，④
其中结论正确的是_____.(填写序号)
12.《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖膈”，从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成_____个不同的“鳖臑”.
二、选择题(本大题共4小题，满分18分)第13题、14题各4分，第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑。
13.下列条件不能确定一个平面的是( )
A.不共线三点 B.直线和直线上一点
C.两条平行直线 D.两条相交直线
14.已知一圆锥的轴截面是正三角形,将其侧面展开,得到的扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
15.如果直线的方向向量是,且直线上有一点不在平面内,平面的法向量是，那么( ).
A.直线与平面垂直 B.直线与平面平行
C.直线在平面内 D.直线与平面相交但不垂直
16.在正方体中，是棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.直线与直线垂直 B.直线与平面所成角为
C.过三点的截面是等腰梯形 D.点到平面的距离为
三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为；
(1)求正三棱柱的体积；
(2)若是的中点，求异面直线与所成的角的大小.
18.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为正方形，已知平面，为中点.
(1)证明:平面；
(2)证明:平面平面.
19.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,已知圆锥的底面圆的半径,且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为,点是母线的中点,,垂足为边上的点,
点在底面圆上,且.
(1)求证:平面；
(2)求点到平面的距离.
20.(满分18分)本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心是圆上一点.已知，.
(1)求与底面所成角的大小；
(2)求二面角的大小；
(3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积
21.(满分18分)本题共3个小题，每个小题均是满分6分.
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若分别为棱的中点，求四面体的体积；
(3)若分别是线段上的动点,求的最小值.
上音安师2025学年第一学期期中考试高二数学试卷
本试卷满分150分,考试时间120分钟
一、填空题(本大题共12小题，满分54分)第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.
1.直线上存在两点在平面上，则_____(填一符号).
解析：直线上存在两点在平面上,则
2.已知圆柱的高为底面周长为，则圆柱的体积为_____.
解析：因为圆柱的高为底面周长为
设底面圆的半径为
所以
所以圆柱的体积
3.点关于平面对称的点的坐标是_____.
解析：由空间点关于面对称的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是
4.如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_____.
解析：如下图,直观图还原为原图,
则的面积
5.如图，在正方体中，与平面所成的角等于_____.
解析：投影在,所以为所求；
6.如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为_____.

(第4题) (第5题) (第6题)
解析：因为平面,平面,平面
,
所以就是二面角的平面角
将代入可得:
因为，且
所以
因此，二面角的大小为
7.已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_____.
解析：当两点在平面的同侧时，
因为、两点到平面的距离分别为1和3,
所以线段的中点到平面的距离为2.
8.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是_____.
解析：一条直线与平面成角，
则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为，
当两直线垂直时，最大值为，
故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是.
9.在空间四边形中,分别为的中点,线段的长度为1,则_____.
解析：设点和分别为和的中点
10.已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为_____.
解析：向量在向量上的投影向量的坐标为
11、如图是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下结论:①；②，③，④
其中结论正确的是_____.(填写序号)
解析：原正方体如图所示
由正方体的性质可知，相交
则,
则四边形为平行四边形，则
为等边三角形，则
直线与所成的角为
且
,则①③错误，②④正确.
所以选②④
12.《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖膈”，从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成_____个不同的“鳖臑”.
解析：当顶点为时，三棱锥，，，，，，为鳖臑.
所以个顶点为个.
但每个鳖臑都重复一次，再除2.
所以个数为24个
二、选择题(本大题共4小题，满分18分)第13题、14题各4分，第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑。
13.下列条件不能确定一个平面的是( )
A.不共线三点 B.直线和直线上一点
C.两条平行直线 D.两条相交直线
解析：经过不共线三点，有且只有一个平面，故不符合题意；
经过直线和直线上一点，有无数个平面，故符合题意；
经过两条平行直线，有且只有一个平面，故不符合题意；
经过两条相交直线，有且只有一个平面，故不符合题意.
故选B.
14.已知一圆锥的轴截面是正三角形,将其侧面展开,得到的扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
解析：因为该圆锥的轴截面是正三角形，
所以设圆锥的底面圆的半径为，则其母线，
则其侧面展开扇形的圆心角.
故选C.
15.如果直线的方向向量是,且直线上有一点不在平面内,平面的法向量是，那么( ).
A.直线与平面垂直 B.直线与平面平行
C.直线在平面内 D.直线与平面相交但不垂直
解析：因为直线的方向向量是，平面的法向量是
又
所以直线在平面内或与平面平行，又直线上有一点不在平面内，
所以直线与平面平行，
故选B.
16.在正方体中，是棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.直线与直线垂直 B.直线与平面所成角为
C.过三点的截面是等腰梯形 D.点到平面的距离为
解析：D.选项A:以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。
已知正方体棱长为2，则，，，。
可得，。
计算，
所以选项A错误。
选项B:平面的法向量为
设直线与平面所成角为，根据线面角的向量公式
则，所以直线与平面所成角不是，选项B错误。
选项C:取中点，联结该四边形为平行四边，C错误；
选项D.设平面的一个法向量为
令
故选D.
三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图，在正三棱柱中，下底面的面积为，侧面积为；
(1)求正三棱柱的体积；
(2)若是的中点，求异面直线与所成的角的大小.
解析：(1)设底面边长为，高为
则
(2)取的中点连接和，
则就是异面直线与所成的角(或其补角)在中,
所以异面直线与所成的角为
18.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为正方形，已知平面，为中点.
(1)证明:平面；
(2)证明:平面平面.
解析：(1)连接，，交于点
因为四边形为正方形，所以是中点，连接
因为为中点，则为的中位线
所以
因为平面,平面
所以平面.
(2)因为在四棱锥中，四边形为正方形
所以
因为平面,平面
所以
因为，平面
所以平面
因为平面
所以平面平面
19.(满分14分)本题共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,已知圆锥的底面圆的半径,且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为,点是母线的中点,,垂足为边上的点,
点在底面圆上,且.
(1)求证:平面；
(2)求点到平面的距离.
解析：(1)因为平面
所以
又
所以
又为中点
所以为中点
所以
又
所以,
所以
所以
又平面
所以
又,
所以平面;
(2)因为平面
所以
所以平面
因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为
所以
所以
所以
因为
所以
所以
所以
设点到平面的距离为，
则
解得
20.(满分18分)本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心是圆上一点.已知，.
(1)求与底面所成角的大小；
(2)求二面角的大小；
(3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积
解析：(1)在面的投影为;
所以与底面所成角为
所以
所以与底面所成角为
(2)由题意得
所以
所以平面平面
所以
又平面平面
所以平面
又平面
所以
即二面角的平面角为
在中，
所以
所以二面角的大小为
(2)由线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径
以为高的圆锥体积
线段绕旋转一周所得的几何体为为底面半径
以为高的圆锥，体积
所以以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为
21.(满分18分)本题共3个小题，每个小题均是满分6分.
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若分别为棱的中点，求四面体的体积；
(3)若分别是线段上的动点,求的最小值.
解析：(1)连接,则
因为
所以
在正方形中,可得
易知
在中,
所以四棱锥的侧面积为
易知正四棱柱为正方体,其5个面的面积为
所以该几何体的表面积为
(2)如图所示：
在正方体中
易知是等边三角形,
则四面体为正三棱锥
在直角中,
连接,在中,
在三棱锥
过点作平面，垂足为,连接,
因为底面是正三角形,所以是正三角形的重心
可得
所以
即三棱锥的高为
所以
(3)如图所示，将正方形，和展开在同一个平面内,
可得,设
则
又,所以
所以
所以
当四点共线时,取得最小值,
又
所以的最小值为