河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题含答案

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考试时间：120分钟 试题分数：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列与集合表示同一集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误，
对于B，集合的元素是点，所以B错误，
对于C，由，解得或，
所以，故C正确，
对于D，集合中有二个元素，，所以D错误，
故选：C.
2. 集合的子集个数是（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】确定集合元素个数，即可求解.
【详解】，
所以子集个数是，
故选：B
3. 已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合是，再利用补集与交集定义计算即可得.
【详解】由图可得图中阴影部分表示的集合为，
由，则或，
又，则.
故选：D.
4. 已知，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】，当且仅当时等号成立，
故选：C.
5. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法求解即可.
【详解】不等式等价于，
解得或，
所以不等式的解集为：或.
故选：D
6. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件.
【详解】由.
所以不等式的解集为.
因为，所以“”是“”的充要条件；
因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件；
因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件.
故选：C
7. 正数，满足，则最小值为（ ）
A. 9B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为正数，满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
故选：A.
8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】由题意可知：，是方程的两根，且，
则，可得，，
则，当且仅当时取等号，
所以其最小值为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合
C. 正偶数的全体可以构成一个集合
D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
【答案】AC
【解析】
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.
【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.
故选：AC
10. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】用特殊值法和不等式的性质一一求解即可.
【详解】对于A，，取，，，不满足，
选项A错误；
对于B，，取，，，不满足，
选项B错误；
对于C，，，，，
选项C正确；
对于D，，，，
，，
选项D正确.
故选：CD.
11. 已知，，且，则下列说法正确是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：
因为，所以根据基本不等式的性质得
，解得，
当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以A正确；
对于B：
因为，
当且仅当时，即时等号成立，此时最小值为5，所以B错误；
对于C：
，由A知的最大值为，
所以的最大值为，所以的最大值为，所以C错误；
对于D：
，所以.
由A知，所以，所以的最小值为，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是_____.
【答案】，
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定的求法，直接求出命题的否定，即可求解.
【详解】命题“，”的否定是，，
故答案为：，.
13. 不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由即可求解.
【详解】由，
解得：，
所以不等式的解集为，
故答案为：
14. 已知集合，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解集合，再根据确定集合对应的一元二次不等式，利用韦达定理求出、的值，最后计算.
【详解】解不等式，等价于，即，
解得，所以，
因为，所以不等式解为，
则一元二次方程的两根为，，
，解得，
，解得，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为R，集合.
（1）求；
（2）求，.
【答案】（1），
（2），或
【解析】
【分析】（1）根据集合交集和并集的定义即可求解，
（2）根据补集的定义，结合并集和交集的运算即可求解.
【小问1详解】
由已知，
则，；
【小问2详解】
又全集为，
则或或，
故，或.
另解：或.
16. （1），比较与的大小；
（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.
【答案】（1）；（2）的最小值20，
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1），，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以.
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号，
显然要使成立，需满足，解得
综上可知，当，代数式取得最小值20.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若存在实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合，再结合条件，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得到，从而有，即可求解.
【小问1详解】
由，得到，所以，则或，
当时，，则或，
所以或.
【小问2详解】
因为“”是“”成立的充分不必要条件，则，
又由（1）知，所以，解得，
当时，，满足，当时，，满足，
所以取值范围为.
18. 已知二次函数.
（1）当时，求该二次函数的最小值；
（2）当时，该二次函数有最小值.
①求的值；
②求此时函数的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②41
【解析】
【分析】（1）配方得到当时，该二次函数取得最小值，最小值为；
（2）①配方得到时，函数取得最小值，从而得到方程，求出；
②根据函数单调性得到函数最大值.
【小问1详解】
时，，
故当时，该二次函数取得最小值，最小值为；
【小问2详解】
①，
因为，所以当时，该二次函数取得最小值，
所以，解得；
②此时函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，，
故最大值为41.
19. 在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素 ，，规定：．
（1）计算：．
（2）中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有 成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；．
【解析】
【分析】（1）按照规定代入可得．
（2）设元素，，代入，根据恒成立求得.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
设元素，，
则，
∵，
∴恒成立，
∴，
∴满足条件．
20. 已知函数，，
（1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；
（2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在
（3）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1），；
（2）；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解；
（2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可；
（3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集.
【小问1详解】
，可化为，
移项整理得，不等式的解集为或，
或是方程的两个跟，且.
将代入方程，可得，解得.
把代入方程，得到，因式分解为，
即，故，.
【小问2详解】
由（1）知，，则，，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
，恒成立，
，，，
，，
故的取值范围是.
【小问3详解】
不等式，即，因式分解为，
，的两根为，，
①当，即时，不等式，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当，即时，不等式的解集为.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.