2025-2026学年江苏省苏州市工业园区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省苏州市工业园区八年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的三条线段可以组成三角形的是( )
A. 2，3，4B. 5，6，12C. 1，5，9D. 2，5，7
2.下列各数中，无理数的是( )
A. 23B. 4C. 0.121221222D. π
3.下列各式：7a、a+b7、x2+y2x+y、3−x2中，分式共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x(x−1)=x2−xB. x2−1=(x−1)2
C. x2−x−1=x(x−1)−1D. x2−x=x(x−1)
5.如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD
B. ∠BCA=∠DCA
C. ∠BAC=∠DAC
D. ∠B=∠D=90∘
6.已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是( )
A. 13cmB. 13cm或17cmC. 17cmD. 16cm
7.若分式方程3x+1=1−kx+1有增根，则k的值是( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是( )
①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH.
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.比较大小： 6 2(填“>”、“4，能构成三角形；
B、5+6.
10.【答案】(x−3)2
【解析】解：原式=(x−3)2.
故答案为：(x−3)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】解：由题意可知：x−3≠0，
∴x≠3，
故答案为：x≠3.
根据分母不为零即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，BC=10
∴EF=BC=10，
∵EC=7，
∴CF=EF−EC=10−7=3，
故答案为：3.
根据全等三角形的性质，EF=BC=10，即可列式作答．
本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键．
13.【答案】32
【解析】解：
∵DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为32cm，
∴AD+DE+AE=32cm，
∴BD+DE+CE=32cm，
即BC=32cm，
故答案为：32.
根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出BC=AD+DE+AE即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出AD=BD、AE=CE是解此题的关键．
14.【答案】不变
【解析】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得6x3x−3y=2xx−y，
可见新分式与原分式的值相等．
故答案为：不变．
依题意分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
15.【答案】14
【解析】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEC=∠BFC=90∘，
∵M为BC的中点，BC=8，
∴EM=12BC=4，FM=12BC=4，
∵EF=6，
∴EF+EM+FM=6+4+4=14，
∴△EFM的周长是14，
故答案为：14.
由BE、CF分别是△ABC的高，证明∠BEC=∠BFC=90∘，而EF=6，BC=8，且M为BC的中点，所以EM=FM=12BC=4，则EF+EM+FM=14，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出EM=12BC=4，FM=12BC=4是解题的关键．
16.【答案】34
【解析】解：连接AF，.
∵△ABC和△BEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60∘，AB=CB，EB=FB，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE，
即∠CBE=∠ABF，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE.
又∵CD⊥AB，
∴∠BCE=12∠BCA=30∘，
∴∠BAF=30∘，
则点F在过点A且与AB夹角为30∘的射线上．
过点D作射线AF的垂线，垂足为M，
∵AD=12=32，且∠BAF=30∘，
∴DM=12
即DF的最小值为34.
故答案为：34.
连接AF，利用“手拉手”模型得出全等，得出点F的运动轨迹即可解决问题．
本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，通过“手拉手”模型构造出全等是解题的关键．
17.【答案】(a+4)(a−4)；
x(x−2)2
【解析】(1)原式=(a+4)(a−4)；
(2)原式=x(x2−4x+4)
=x(x−2)2.
(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)提取公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
18.【答案】3；
y2
【解析】(1)2m+1m−1+m−4m−1
=2m+1+m−4m−1
=3(m−1)m−1
=3；
(2)y2x−y⋅2x−2yx÷4yx
=y2x−y⋅2(x−y)x⋅x4y
=y2.
(1)分母不变，把分子相加即可；
(2)先把除法化为乘法，再进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示：
P点即为所求．
【解析】分别作出MN的中垂线和∠BAC的交平分线，两线的交点就是P点位置．
此题主要考查了作图与应用设计作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20.【答案】证明：∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠C=∠F.
【解析】欲证明∠C=∠F只要证明△ABC≌△DEF即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
21.【答案】2a−3，−1.
【解析】解：(1−1a−2)÷a2−6a+92a−4
=a−3a−2⋅2(a−2)(a−3)2
=2a−3，
∵a−2≠0，a−3≠0，
∴a≠2，3，
∴a=1时，原式=21−3=−1.
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原方程去分母得：2x−2=3x，
解得：x=−2，
检验：当x=−2时，x(x−1)≠0，
故原方程的解为x=−2；
(2)原方程去分母得：2+x(x+2)=x2−4，
整理得：2+2x=−4，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，x2−4≠0，
故原方程的解为x=−3.
【解析】(1)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
23.【答案】125∘；
18
【解析】(1)∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，
∵∠A=70∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−70∘=110∘，
∴∠DBC+∠DCB=12×110∘=55∘，
∴∠BDC=180∘−55∘=125∘；
(2)过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵DE=4，
∴DF=4，
∵BC=9，
∴S△BCD=12×BC×DF=12×9×4=18.
(1)根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
(2)利用角平分线性质得出DE=DF，再利用三角形面积公式即可求出．
本题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理以及三角形面积，掌握这些知识点是解题的关键．
24.【答案】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90∘，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF；
2.5
【解析】(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90∘，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴AB+BE=AC−CF，
∵AC=15，AB=10，BE=CF，
∴10+BE=15−BE，
∴BE=2.5.
(1)由角平分线的性质得DE=DF，进而证明Rt△BED≌Rt△CFD(HL)即可求证；
(2)证明Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，得到AE=AF，即得AB+BE=AC−CF，进而代入已知即可求解．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
25.【答案】解：设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运(x+10)kg化工原料，
根据题意得：800x+10=600x，
解得：x=30，
经检验，x=30为原方程的解，且符合题意，
∴x+10=40，
答：A种机器人每小时搬运40kg化工原料，B种机器人每小时搬运30kg化工原料．
【解析】设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运(x+10)kg化工原料，根据A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26.【答案】C不是D的“和谐式”，理由如下：
C−D=2+2xx−2−3xx−2=2−xx−2=−1，
∵−1不是正数，
∴C不是D的“和谐式”；
①E=3x+9；②0，2，4，6
【解析】(1)如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，
C不是D的“和谐式”，理由如下：
C−D=2+2xx−2−3xx−2=2−xx−2=−1，
∵−1不是正数，
∴C不是D的“和谐式”；
(2)①∵M关于N的“和谐值”是1，
∴M−N=1，
∴E9−x2−x3−x=1，
∴E−3x−x2=9−x2，
∴E=3x+9；
②由①知M=3x+99−x2=33−x.
∵M的值也为整数，且分式有意义，
∴3−x=±1或3−x=±3，
∴x的值为：0，2，4，6.
(1)计算出C−D的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可；
(2)①根据“和谐式”的定义得到M−N=1，则E9−x2−x3−x=1，据此求解即可；②根据题意可得M=3x+99−x2=33−x是整数，据此求解即可．
本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键．
27.【答案】BE=12CD，证明见解答过程；
BE=12FD.
【解析】解：【问题情境】∵OP平分∠MON，
∴∠AOC=∠BOC，
∵AC⊥OP，
∴∠ACO=∠BCO，
∵OC=OC，
∴△AOC≌△BOC(ASA)，
∴AO=BO，AC=BC，
故答案为：ASA；
【类比解答】如图2，延长AE交BC于点F，
由【问题情境】可知，AC=FC，
∴∠EFC=∠EAC=63∘，
∵∠EFC=∠B+∠DAE，
∴∠DAE=∠EFC−∠B=63∘−37∘=26∘，
故答案为：26∘；
【拓展延伸】(1)BE=12CD，证明如下：
如图3，延长BE、CA交于点F，则∠BAF=180∘−∠BAC=90∘，
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90∘=∠BAC，
∵∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC，
∴∠ABF=∠ACD，
又∵AB=AC，
∴△ABF≌△ACD(ASA)，
∴BF=CD，
由【问题情境】可知，BE=FE=12BF，BE=12CD；
(2)如图4，过点D作DG//CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
则∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90∘=∠GHB，
∵∠EDB=12∠C=12∠GDB=∠EDG，
又∵DE=DE，∠DEB=∠DEG=90∘，
∴△DEB≌△DEG(ASA)，
∴BE=GE=12GB，
∵∠A=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠GDB，
∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD=90∘，∠BFE=∠DFH，
∴∠EBF=∠HDF，
∴△GBH≌△FDH(ASA)，
∴GB=FD，
∴BE=12FD.
故答案为：BE=12FD.
【问题情境】证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；
【类比解答】延长AE交BC于点F，由【问题情境】可知，AC=FC，再由等腰三角形的在得∠EFC=∠EAC=63∘，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
【拓展延伸】(1)延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由【问题情境】可知，BE=FE=12BF，即可得出结论；
(2)如图2，过点D作DG//CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，得到∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90∘=∠GHB，根据全等三角形的性质得到BE=GE=12GB，求得HB=HD，根据全等三角形的性质得到GB=FD，于是得到结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．