浙江省宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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选择题部分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题列出的四个备选项中只有一个是
符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. “ ”是“a > b > 0”的一个（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 不等式 的解集是（ ）
A. { 且 } B.
C D.
5. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
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C. D.
7. 已知函数 ，若对于任意的 ， ，且 ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于 的方程 恰有两个不同的解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题列出的四个备选项中有多项是符
合题目要求的，部分选对得部分分，错选得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 为奇函数
B. 与 表示同一函数
C. 已知函数 ，则 的定义域为
D. 函数 的值域为
10. 已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为 1
C. 若 ，则 的最小值为 8
D. 若 则 的最大值为 4
11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数
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，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 ，且当 时有
，则下列选项正确的是（ ）
A
B. 函数 的最小值是 0
C. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则
D. ，则
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，共 15 分）
12 _____.
13. 设 ， 且满足 ，则 ______.
14. 已知集合 ，其中 .若存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则
的取值集合为______.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分）
15. 设集合 ， .
（1）若 ，求 的值及集合 ；
（2）若 为实数集，且 ，求实数 的取值范围.
16. 已知幂函数 为偶函数，且在区间 上单调递增.
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ；
（i）若 ，试讨论 最小值；
（ii）若函数 定义在区间 上，试求 的最小值 .
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17. 某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需另外增加成本 100 元，公司每
月生产量为 （单位：台），已知营业额 （单位：元）满足函数：
（1）将每月投入的总成本 表示为月产量 的函数；
（2）将每月利润 表示为月产量 的函数（利润=营业额-总成本）；
（3）当月产量 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
18. 已知函数 .
（1）求 的定义域和值域；
（2）判定函数 的单调性，并用定义证明；
（3）若对 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
19. 对于定义在实数集 上的函数 ，给出如下的三个定义：
①记 ， ， ， ， ，
其中 .
②对任意的区间 ，记集合 ，并规定 .
例如：若 ，则 ；
③若定义在 上的函数 满足对任意的区间 ，都存在正整数 ，使得 ，则
称 为区间 上的“ 阶交汇函数”.
（1）若函数 ，求 ；
（2）若 ，求 并判断 是否为 上的“2 阶交汇函数”；
（3）设 ，若 ，试证明对任意的区间 ，总存在正整数 ，使得
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为 上的“ 阶交汇函数”.
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