2025-2026学年北京市石景山区工业大学附属中学高二上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市石景山区工业大学附属中学高二上学期期中数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．-1
3．已知，，且，则（ ）
A．B．2C．4D．6
4．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．相交C．外切D．内含
5．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：
①； ②；
③； ④
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（ ）
A．B．8C．D．
8．已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆是“黄金椭圆”
B．若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
D．设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
10．2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Lg．新Lg将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线，则下列有关曲线的说法中错误的是（ ）

A．对任意的且，曲线总关于原点成中心对称
B．当时，曲线上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）
C．当时，曲线围成的图形面积可以为2
D．当时，曲线上的点到原点最近距离为
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11．圆的半径为
12．已知直线与互相平行，则他们之间的距离是 .
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，则的周长为 ．
14．点到直线的最大距离为 ．
15．双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为
16．如图，在棱长为1的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是： ．（填上你认为所有正确的结论序号）
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角；
(3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．椭圆短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值.
20．如图，在三棱柱中，侧面底面，底面为等腰直角三角形，为中点.
(1)求证:；
(2)再从以下条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①:；条件②:.
21．通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
(1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
参考答案
11．
12．
13．
14．
15．
16．②③④
17．
（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
18．
（1）ABCD为正方形，，
M，N分别为棱SB，SC的中点，，，
平面SAD，平面SAD，平面SAD；
（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，.
设平面ADNM的法向量为，
则，即.
令，则，.
设直线SD与平面ADNM所成角为，
则，
因为，所以，
直线SD与平面ADNM所成角为；
（3）假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM.
设，
，
.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，即.
若平面平面ADNM，则，
即，解得.
假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM，
且.
19．
（1）由题意得，得，
故椭圆为；
（2）由已知直线过，设的方程为，
联立两个方程得，消去得：，
得，
设，，则，（*），
因为，故，
将（*）代入上式，可得：，
∴直线与斜率之积为定值．
20．
（1）因为，为中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）若选①，取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，为的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
由，得，
，
则，
则，
因为平面，
所以即为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
若选②，取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
因为且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以且，
又因为，所以，
又，，
所以，则，
在中因为，
所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
21．
（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为；
（2）（i）由与交点为和，则，
由与交点为和，
则，所以，；
（ⅱ）法一：设直线：，、，
与斜椭圆联立：，
有，
∵，，
∴
，
设直线：，代入斜椭圆，
有，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，
点Q旋转后的坐标为，
当直线旋转后斜率不存在时，，，，
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，
旋转后、，
与椭圆方程联立，即，
可得，
，，
，
设直线旋转后为，代入椭圆方程中，
有，，
.
综上所述，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
C
A
B
A
B
ABC
C