广东省阳江市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前填写好答题卡上的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知命题 ，则 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称命题的否定求解即可.
【详解】命题 的否定为： .
故选：C
2. 下列各选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由元素与集合的关系以及集合与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于 A，空集不含任何元素，故 ，故 A 错误；
对于 B，空集是任何集合的子集，而集合 含有元素 0，故 B 错误，C 正确；
对于 D， ，故 D 错误；
故选：C
3. 图中阴影部分所表示的集合是（ ）.（全集 ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可.
详解】根据图形，阴影部分属于集合 ，不属于集合 A，C，
则阴影部分所表示的集合可以为 .
故选：A
4. 一元二次不等式 的解为 ，那么 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出 a、b、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式 的解为 ，
所以 的解为 ，且 ，
由韦达定理得 ，代入得
，
故选：D.
5. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据解集的包含关系得到答案.
【详解】不等式 的解集 ，
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不等式 的解集 ，
因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
6. 若 ，则下列命题正确 是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式性质判断 A；举例说明判断 BD；作差比较大小判断 C.
【详解】对于 A，由 ，得 ，因此 ，A 正确；
对于 B，取 ，得 ，B 错误；
对于 C， ，由 ，得 ，
则 ， ，即 ，C 错误；
对于 D，取 ，满足 ，而 ，D 错误.
故选：A
7. 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为 元/斤， 元/斤， ，甲和乙购买
猪肉的方式不同，甲每周购买 20 元钱的猪肉，乙每周购买 6 斤猪肉，甲、乙这两周购买猪肉的平均单价分
别记为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. ， 的大小无法确定
【答案】C
【解析】
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【分析】分别计算出 ， 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
又因为 不等于 ，
故 ，即
故选：C.
8. 数集 ，其中 ，若 ，且
，求 （ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知 ，结合集合 描述推得 ，进而有 求
得 ，即可求.
【详解】由题设 ，又 且 ，
若 ，则 ， ， ，
此时 中不存在元素 ，不合题设；
若 ，则 ， ， ，
此时 中存在一个大于 的元素 ，不合题设；
所以 ，则 ， ， ，
所以 ，可得 且 且 ，
所以 ，则 .
故选：D
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二、多选题（每小题 6 分，共 18 分，全选对满分，漏选得部分分，有错选不得分）
9. （多选）设集合 ，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 ABD，先求出 ，再判断，对于 C，求出 ，再判断即可.
【详解】因为集合 ，所以 ，
因此 ， ，所以 A 错误，D 正确，B 正确.
又因为 ，所以 C 错误.
故选：BD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B.
C. 在区间 上单调递减
D. 的值域为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数解析式求出定义域可判断 A，根据解析式计算可判断 B，化简解析式，由反比例型函数单
调性可判断 C，根据函数特征可判断 D.
【详解】对于 A，由函数 ，可知 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
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对于 C，因为 ，
所以当 时， 单调递增，故 C 错误；
对于 D，由 可知， ，故函数值域不为 ，故 D 错误.
故选：AB.
11. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为 1 B. 的最大值为
C. 的最小值为 2 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件，对于 AC 由基本不等式即可判断，对于 B，由 结
合基本不等式可判断，通过乘“1”的妙用可判断 D.
【详解】对于 A： ，当且仅当 时取“等号”，所以 的最大值为 1，故 A 错误；
对于 B： ，
当且仅当 ，即 时取“等号”，所以 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C： ，
当且仅当 时取“等号”，所以 的最小值为 2，故 C 正确；
对于 D：
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，
当且仅当 时取“等号”，所以 的最小值为 ，故 D 正确；
故选：BCD.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12. 函数 的递增区间为__________.
【答案】 .
【解析】
【分析】由函数图象得到单调区间.
【详解】作出函数 的图象如图，
由图象可知函数 的单调递增区间是 ，
因为函数 在 处有定义，且函数图象连续，
故答案为： .
13. 若函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求得答案.
【详解】依题意，若函数 是定义在 R 上的奇函数，
所以 .
故答案为： .
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14. 若当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数得 ，再分别求出两端最值即可.
【详解】 ，
因为当 时恒成立，且函数 在 上单调递增，
则 ，
又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题（共 77 分）
15. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 .
（2） .
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再利用交集的定义可求出 ；
（2）由题意得 ，然后列不等式组可求得答案.
【小问 1 详解】
当 时， ，
所以 或 ，
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因为 ，
故 或 .
【小问 2 详解】
因为 是 的充分条件，所以
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 .
16. 已知 糖水中有 糖 ，往糖水中加入 糖 ，（假设全部溶解）糖水更甜了.
（1）请将这个事实表示为一个不等式；
（2）证明这个不等式；
（3）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，
若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）住宅的采光效果变好了
【解析】
【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式；
（2）由作差法即可证明这个不等式；
（3）设窗户面积为 ，地板面积为 ，同时增加的窗户和地板面积为 ，由（1）可知 ，所以公
寓的采光效果变好了.
【小问 1 详解】
由题可得 .
【小问 2 详解】
因为 ，
∵ ，
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所以 ，从而 ，
即 .
【小问 3 详解】
住宅的采光效果变好了.
理由：设窗户面积为 ，地板面积为 ，同时增加的窗户和地板面积为 ，由（1）可知 ，
所以住宅采光效果变好了.
17. 已知函数 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）探究 的奇偶性；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）偶函数 （3）
【解析】
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
把点 的坐标分别代入 中，
得 ；
【小问 2 详解】
显然函数 定义域为 R，关于原点对称，
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又 ，
所以函数 是偶函数；
【小问 3 详解】
当 时，函数 单调递增，且 ，
所以此时函数 单调递减，
因为函数 是偶函数，
所以由
或 ，
因此原不等式 解集为 .
18. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为 20 万元，每生产 1 万部还需另投入 16 万元.设该公司一年内
共生产该款学习机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 万元，且 .
当该公司一年内共生产该款学习机 8 万部并全部销售完时，年利润为 1196 万元；当该公司一年内共生产该
款学习机 20 万部并全部销售完时，年利润为 2960 万元.
（1）求 a，b；
（2）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万部）的函数解析式；
（3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）
（3）当年产量为 万部时所获得的利润最大，最大利润为 万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出关于 的方程组求解出结果.
（2）根据利润的计算公式分别考虑当 ， 时 的解析式，由此可求解出结果.
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（3）利用二次函数性质分析 时的最大值，利用基本不等式分析 时的最大值，由此可确定
出结果.
【小问 1 详解】
依题意， ，所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以所求函数解析式为 .
【小问 3 详解】
当 时， ，
此时由二次函数单调性可知 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，
所以当年产量为 万部时所获得的利润最大，最大利润为 万元.
19. 设集合 P 是正整数集的非空子集，对任意 ，定义运算 ，若所有这样
的运算结果构成的集合记为 ，则称 为集合 P 的“差倍集”．
（1）当 时，写出集合 P 的差倍集 ；
（2）设集合 ，若其差倍集 中恰好有两个元素，求所有满足条件的 k；
（3）若 P 是由 4 个正整数构成的集合，求其差倍集 中元素个数的最小值．
【答案】（1）
（2）2 或 10 （3）4
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【解析】
【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重；
（2）根据 与 1,4 的大小关系分类讨论，计算所有可能的 ，通过“差倍集元素个数为 2”建立方程，
结合集合中元素的互异性筛选；
（3）通过构造特殊集合使 结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数.
【小问 1 详解】
根据差倍集的定义 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， .
由集合中元素的互异性，可得 .
【小问 2 详解】
已知 ，由集合中元素的互异性可知， 且 .
当 时， 的可能取值为 2 或 3.
当 时， ， ， ， ，此时
，满足差倍集 中恰好有两个元素，故 .
当 时， ， ， ， ，则
，不满足差倍集 中恰好有两个元素，故 .
当 时，根据 ， ，可得 ， ，
.
由于 且 ，所以 且 ， 且 .
因为差倍集 中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论：
若 ，此方程无解；
若 ，解得 ，此时 ，满足差倍集 中恰好有两个元素，故 .
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综上，若其差倍集 中恰好有两个元素，则 的值为 2 或 10.
【小问 3 详解】
设 ， ， .
根据 ， ，则 ， ， ，
， ， .
不妨设 ，则 ， ，
， ， ，
，由集合中元素的互异性，可得 ，元素个数为 4.
下证元素个数不少于 4：
将 ， ， ， ， ，
这 6 个值分别记为：
， ， ， ， ， .
从而有：
，即 ，
，即 .
因此 ，即 ， ， 已经是严格递增的三个数，它们已经占用了 3 个不同的值，如果差倍集
中只有 3 个元素，那么 ， ， 必须在 中取值，且不能引入新的数.
先看 ：
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，与假设 矛盾，故 不可能成立；
若 ，则 ，即 ，与假设 ， 矛盾，故
不可能成立.
因此 的取值只能等于 ，此时 .
再看 ：
若 ，则 ，即 ，与假设 矛盾，故 不可能成立；
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，而在 成立时， ，由
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和 可知，此时 ，与假设 矛盾，故 不可能成立.
因此 的取值只能等于 ，此时 ，即 .
再看 ，将 代入 ，可得 .
若 ，则 ，即 ，与假设 矛盾，故 不可能成立；
若 ，则 ，即 ，与假设 矛盾，故 不可能成立；
若 ，则 ，即 ，而在 时， ，与 矛盾，
故 .
所以无论如何， 都不能在 中取值，即 一定是不同于 ， ， 的第四个数.
因此差倍集 中元素个数的最小值为 4.
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