广东省阳江市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试用时：120 分钟满分：150 分考试时间：2025 年 10 月 23 日
命题人：徐道油审题人：曾淑敏审核人：邹湘平
一、单选题：本题共 8 小题，每题 5 分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 已知点 A 的坐标是 ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】根据题意 .
故选：C.
2. 已知异面直线 、 所成角为 ， 、 分别为直线 、 的方向向量，则以下结论中，一定成立的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可．
【详解】依题意，得 ，
则 ，
故选：D
3. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生 0 到 9 之间取整数
值的随机数，指定 表示命中， 表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结
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果，经随机模拟产生了如下 12 组随机数
，据此估计，该运动员三次投篮
恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用随机模拟的方法以及古典概型的计算公式即可求解.
【详解】 这三组表示三次投篮恰有两次命中，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ，
故选：
4. 已知 分别为直线 的方向向量（ 不重合）， 分别为平面 的法向量（ 不重合），
则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断
方法进行逐一判断即可.
【详解】A 因为 不重合，所以由直线方向向量与直线 位置关系可得 ，所以本选项说
法不正确；
B 由法向量与方向向量的定义易知 或 ，所以本选项说法不正确；
C 由于 为平面 的法向量，所以 ，所以本选项说法不正确；
D 由平面法向量与平面的位置关系可得 ，所以本选项说法正确，
故选：D
5. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件 A 表示“向上的点数为偶数”，事件 B 表示“向上的点数是 1 或 3”，
事件 C 表示“向上的点数是 4 或 5 或 6”，则下列说法正确的是（ ）
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A. A 与 B 是对立事件 B. B 与 C 是对立事件 C. A 与 C 是互斥事件 D. A 与 B 是互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可.
【详解】当向上的点数为 5 时，事件 A 与 B 同时不发生，故 A 错误；
当向上的点数为 2 时，事件 B 与 C 同时不发生，故 B 错误；
当向上的点数是 4 或 6 时，事件 A 与事件 C 同时发生，故 C 错误；
事件 A 与事件 B 不能同时发生，故 D 正确．
故选：D
6. 非零向量 ， 不共线，如果 ， ， ，则 ， ， ， 四点
（ ）
A. 一定共线 B. 可以是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 一定不共面
【答案】C
【解析】
【分析】得出 ，再结合平面向量基本定理可判断.
【详解】由题意可得， ，
因其有公共点 ，结合平面向量基本定理可知， ， ， ， 四点共面.
故选：C
7. 已知二面角 的棱 l 上有 A，B 两点，直线 BD，AC 分别在平面 内，且它们都垂直于 l．若
，则异面直线 AC 与 BD 所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，两边同时平方代入可得 ，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ， ， ， ， ， ，
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所以 ，
所以 ．
因为异面直线 AC 与 BD 所成角为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：B.
8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为 1 的
正方体 中， 直线 与 之间的距离是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 为直线 上任意一点，过 作 ，垂足为 ，利用向量 表示 ，
，再结合向量模的性质求 的最小值，由此可得结论.
【详解】设 为直线 上任意一点，过 作 ，垂足为 ，
设 ， ，
则 ，
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因为 ，所以
即
所以 ，所以 ，
所以 ，
∴当 时， 取得最小值 ，
故直线 与 之间的距离是
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，每题 6 分，每小题有多个选项符合，如果有两个正确答案，选
对一个得 3 分；如果有三个正确答案，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知数据 ， ，…， 的极差为 6，则数据 ， ，…， 的极差为 12，
B. 已知随机事件 和 ，若 ， ， ，则 和 相互独立
C. 已知随机事件 和 ，若 ， ，则
D. 已知随机事件 和 满足 ， ，若事件 与 相互独立，则 与 必不互斥
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据极差的定义判断 A；利用相互独立事件的定义判断 B；利用概率的性质，求 ，判断
C；利用相互独立事件和互斥事件的定义判断 D.
【详解】对于 A，不妨令 ，则 ， ，
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因此新数据组的极差为 ，A 正确；
对于 B，因为 ， ， ，
所以 ，即 A 和 B 相互独立，故 B 正确；
对于 C，若 ， ，
则 ，故 C 错误；
对于 D，当 ， ，且 时， ，
事件 ， 不相互独立，所以事件 ， 相互独立与 ， 互斥不能同时成立，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 在棱长为 2 的正四面体 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 的重心，则下列
结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在 上的投影向量为 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】AB 利用基底和数量积的运算律化简；C 利用公式 ；D 利用向量的加法和减法运算化
简.
【详解】由题意得， ，
A 选项， ，A 正确；
B 选项， ，
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故
，B 正确；
C 选项，由 B 选项得 ，
故 在 上的投影向量为 ，C 正确；
D 选项，
，D 错误.
故选：ABC
11. 在棱长为 2 的正方体 中，点 满足 ，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 面
B. 若 ，则
C. 若 ，则 到平面 的距离为
D. 若 时，直线 与平面 所成角为 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断 A，建系后写出相关点的坐标，对于 B，利用向量的数量积
的坐标公式计算即可判断；对于 C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于 D，由条件求得
，利用线面角的向量求法得到 ，借助于函数的单调性即可求得
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的范围.
【详解】连结 ，由 可知，点 在线段 上，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，且 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 A 正确；
如图以 为原点建立空间直角坐标系，则
， ，
对于 A， ，
则 ，得 ，则 ，
，A 正确：
对于 B，由 A 分析可得 ，
故 不与 垂直，故 B 错误；
对于 C， 时， ，又 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故可取 ，又 ，
则 到平面 的距离为 ，故 C 正确：
对于 D，当 时， ，则 ，
又由 C 已得平面 的法向量为 ，
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则
当 ，
当 ，
因 在 上单调递减，则 ，则有 ，
则 ，则当 时， ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分.
12. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第 50 百分位数为________．
【答案】8
【解析】
【分析】观察到题中数据共有 6 个，且已从小到大进行排列，直接根据百分位的计算公式确定其位置，再
根据位置得出第 50 百分位数．或直接根据中位数的求法求解．
【详解】4，6，7，9，11，13，这组数据共有 6 个， ．
所以这组数据的第 50 百分位数是第三个数和第四个数的平均数．
，所以这组数据的第 50 百分位数为 8．
故答案为：8.
方法二：第 50 百分位数即为中位数，该组数据共有 6 个，所以中位数是第三个数和第四个数的平均数．
,所以这组数据的第 50 百分位数为 8．
故答案为：8.
13. 已知向量 ， ，若 ，则实数 ______．
【答案】-1
【解析】
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【分析】根据向量的共线，可得向量坐标之间的比例关系，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量 ， ， ，
故 ，
故答案为：-1
14. 平行六面体 中， ， ， ，动
点 在直线 上运动，则 的最小值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题设 ， ， ，可选取 ， ， 为一组基底，将 和 分解为
， ， 表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．
【详解】设 ， ， ，
设 ，则 ， ，
则 ，
由 ， ， ，
可得 ， ，
，
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当 时， 的最小值为 ．
故答案 ： ．
四、解答题（写出必要的解答步骤和演算过程）
15. 一个盒子里装有标号为 1，2，3，4 的 4 张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张．
（1）若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻
整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻
整数的概率．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用列举法列出样本空间，再由古典概型的概率公式计算可得；
【小问 1 详解】
标签的选取是无放回的，
则样本空间 ，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有 ， ， ， ， ， 共 个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率 .
【小问 2 详解】
标签的选取是有放回的，
则样本空间
，
其中两张标签上的数字为相邻整数的有 ， ， ， ， ， 共 个基本事件，
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率 .
16. 小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为 ，小林和小郑都能通过的概率为 ，并且在面试
过程中小林与小郑互不影响．
（1）求小郑通过的概率；
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（2）求小林、小郑恰有一人通过的概率；
（3）求小林、小郑中至少有一人不通过的概率．
【答案】（1）小郑通过的概率为 .
（2）小林、小郑恰有一人通过的概率为 .
（3）小林、小郑中至少有一人不通过的概率为 .
【解析】
【分析】（1）设事件 A 为“小林通过”，事件 B 为“小郑通过”，则事件 A、B 为独立事件，根据独立事
件运算规则，结合题给条件求解. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况①小林通过且小郑未通过；②
小郑通过且小林未通过，两种情况为互斥事件，概率为两种情况的和. （3）小林、小郑中“至少有一人不
通过”为“两人同时通过”的逆事件,根据对立事件公式计算.
【小问 1 详解】
设事件 A 为“小林通过”，事件 B 为“小郑通过”，则事件 A、B 为独立事件:
， ，
所以 ，
故小郑通过的概率为： .
【小问 2 详解】
小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则：
，
故小林、小郑恰有一人通过的概率为： .
【小问 3 详解】
小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即：
故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为： .
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 ，
分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
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（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）求点 到直线 的距离．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量法求出 即可；
（2）利用空间向量法分别求出平面 和平面 的法向量，进而求出二面角的余弦值；
（3）求出 在 上的投影向量的模长，进而求出 到直线 的距离.
【小问 1 详解】
证明：由题知， 平面 ABC，
所以 、 、 两两垂直
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
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因为 ， ， ，则
， ， ， ， ， ，
所以 ，
故
所以
【小问 2 详解】
由（1）分析知， ， ，
又 ，即
所以 ，
设平面 的法向量为
则 ，即
令 ，则
由题知， 是平面 的一个法向量
设二面角 的平面角为 ，则
所以二面角 的余弦值为 .
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【小问 3 详解】
由（2）知， ，且
在 上的投影向量的模长 .
计算 .
根据点到直线距离公式 ，
即点 到直线 的距离为 .
18. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对
数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 40 场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的
时间， 并将其分成了 6 个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率
分布直方图：
（1）求图 1 中 a 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
（2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 及方差 （同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表)；
（3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 m、n 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为 、
与 、 ，记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，证明：
① ；
② .
【答案】（1） ，众数是 ；
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（2） ， ；
（3）①证明见解析 ；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为 可求得 的值，根据频率分布直方图可计算得出
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数.
（2）将图 2 中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得 ，再利用方差公式可求得 .
（3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出 ，再利用
方差公式可证得结论成立
【小问 1 详解】
由频率分布直方图，得 ，解得 ，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是 .
【小问 2 详解】
，
.
【小问 3 详解】
①依题意， ，所以原等式成立
② ，
又 ，则 ，
同理 ，
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，
所以 .
19. 如图，在三棱台 中，点 ， 分别为 ， 的中点， ，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）点 M 在侧面 内，且 平面 ，当线段 最短时，求平面 与平面 夹
角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形求出 ，余弦定理求出 ，即可根据勾股定理证明
，结合 ，可证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值；
（ 3） 求 出 平 面 ADE 的 法 向 量 ， 设 ， 由 点 M 在 侧 面 内 ， 所 以 存 在 使 得
，再结合 平面 可推出 ，根据两点间
距离公式及二次函数的性质可求出 取最小值时 m 的取值，即可求出此时点 M 的坐标，利用向量法求
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平面 与平面 的夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
由棱台性质知 ，所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得： ， ，
连接 ，因为 为 中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，则 ，
以 为坐标原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，
所示 ， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
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设平面 的一个法向量为 ，
，令 ，得 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ；
【小问 3 详解】
设 为平面 的法向量，
， ，
，令 得 ， ，
设 ，因为点 在侧面 内，所以存在 m、n 使得 ，
，
， ， ，
因为 平面 ，所以 ，得 ，
将 ， ， 代入上式可得 ，
则 ，所以 ，
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因为 在侧面 内，所以 ，
，
当 时， 取得最小值，此时 ，
易知平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
， ，
，
令 ， ， ，
设平面 与平面 所成的二面角为 ， ，
所以平面 与平面 所成的二面角得余弦值为 .
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