2025-2026学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高二上学期10月阶段测试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高二上学期10月阶段测试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且向量a→=e1⃗+e2⃗,b→=e2⃗+e3⃗,c→=e1⃗+te3⃗不能构成空间的一个基底，则t=( )
A. -1B. 1C. 0D. -2
2.直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-2)x-ay+1=0，则a=-2是l1/​/l2的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若平面α=Pn⋅P0P=0 ，其中P0(1,2,1)，法向量n=(1,1,-1)，则下列P∈α的有( )
A. P(-1,2,2)B. P(-2,5,4)C. P(3,5,6)D. P(2,-4,8)
4.已知空间向量a，b，c满足a+2b+3c=0，a=3,b= 2,c=1，则b⋅c的值为( )
A. -23B. -34C. 43D. 54
5.与直线x-y-4=0和圆(x+1)2+(y-1)2=2都相切的半径最小的圆的方程是( )
A. (x+1)2+(y+1)2=2B. (x+1)2+(y+1)2=4
C. (x-1)2+(y+1)2=2D. (x-1)2+(y+1)2=4
6.已知A(-2,3)，B(5,-4)，直线l:ax+(a+2)y+a+4=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是( )
A. [-5,2]B. -53,12
C. -∞,-53∪-12,+∞D. (-∞,-5]∪[-2,+∞)
7.射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩(Lemine)定理指出：过▵ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线分别和边BC,CA,AB相交于点P,Q,R，则三点P,Q,R在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩(Lemine)线.在平面直角坐标系xOy中若三角形三个顶点的坐标为A(0,1),B(2,0)，C(0,-4)，则该三角形的莱莫恩(Lemine)线方程为( )
A. 2x+3y-8=0B. 2x+3y+8=0C. 2x-3y-8=0D. 2x-3y+8=0
8.在平面直角坐标系xOy中，直线l:x-y+4=0与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为M、N，设线段MN的中点为Q，则|AQ|的最大值为( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 直线倾斜角越大，斜率越大
B. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
C. 过点Px1,y1,Qx2,y2的直线方程是x-x1x1-x2=y-y1y1-y2
D. 直线x2-y3=1在y轴上的截距是-3
10.已知圆O:x2+y2=8，则( )
A. 圆O与直线mx+y-m-2=0必有两个交点
B. 圆O上存在3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于 2
C. 若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=20 2-8
D. 已知动点P在直线x+y-6=0上，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则|OP||AB|的最小值为8 5
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 异面直线AP与A1D所成的角的最大值为60°
C. 若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面A1C1D的距离最小值为2 33
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点A(-1,1,1)，B(-2,0,1)，P(0,1,3)，则P到直线AB的距离为
13.已知圆O：x2+y2=2，过点M(-3,1)的直线l交圆O于A，B两点，且MA=2MB，则满足上述条件的一条直线l的方程为 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知B,C为圆x2+y2=4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，点A2,-1，AB边上中线所在直线方程为x+3y-6=0，∠ABC的内角平分线所在直线方程为x-y+1=0．
(1)求点B的坐标；
(2)求▵ABC的边BC所在直线的方程.(请用直线方程的一般式作答)
16.(本小题15分)
正四棱锥P-ABCD，底面边长为2 2，高为4，E、F、G分别为棱AB、AP、PC中点．

(1)求点E到平面BFG的距离；
(2)求二面角F-BG-E的平面角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知圆C:x2+(y-5)2=9，圆C1经过点M-1, - 3，且与圆C相切于点N0, 2．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)已知直线l过点Q-1, -2，且被圆C1截得的弦长为2 3，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB､CG就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B的大小为23π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为2 33？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知圆C1：(x+2)2+y2=4，圆C2：(x-2)2+y2=4，若平面内一点P到C1的切线长与到C2的切线长之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)，则称点P为“λ型切圆关联点”，记λ= 55时，点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点C1(-2,0)的直线l1交C于A，B两点，过C1与l1垂直的直线l2交C于D，E两点．
①求四边形ADBE面积的最大值；
②设M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，证明：直线MN过定点．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.A
7.A
8.D
9.BD
10.ABCD
11.ACD
12.3 22
13.y=1(或3x+4y+5=0，答案不唯一)
14.[ 6- 2, 6+ 2]
15.【详解】(1)设B(m,n)，则m-n+1=0m+22+3×n-12-6=0,
解得m=52n=72,∴B(52,72)．
(2)设点A2,-1关于∠ABC平分线：x-y+1=0的对称点A'x0,y0，
则由2+x02--1+y02+1=0y0+1x0-2=-1，解得x0=-2y0=3,
即A'-2,3，
∵A'-2,3在直线BC上，
故kBC=kBA'=3-72-2-52=19，直线BC的方程为：y-3=19(x+2)
∴直线BC的方程为x-9y+29=0．

16.【详解】(1)取底面正方形的中心O为坐标原点，分别以OE,OP所在直线为x轴、z轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A 2,- 2,0,B 2, 2,0,C- 2, 2,0,D- 2,- 2,0,P(0,0,4)，所以E 2,0,0,F 22,- 22,2,G- 22, 22,2，EB→=0, 2,0,BG→=-32 2,- 22,2,FG→=- 2, 2,0，
设平面BFG的法向量为n→=(x,y,z)，则n→·BG→=0n→·FG→=0，即-32 2x- 22y+2z=0- 2x+ 2y=0,
令x=1，则y=1,z= 2，即n→=1,1, 2是平面BFG的一个法向量．
则点E到平面BFG的距离d=EB→·n→n→=0×1+ 2×1+0× 2 12+12+ 22= 22．
(2)设平面BGE的法向量为m→=x1,y1,z1，则m→·BG→=0m→·EB→=0，即-32 2x1- 22y1+2z1=0 2y1=0,
令x1=4，则y1=0,z1=3 2，所以m→=4,0,3 2是平面BGE的一个法向量．
设二面角F-BG-E的大小为θ，则csθ=m→·n→m→n→=1×4+1×0+ 2×3 2 12+12+ 22 42+02+3 22=5 34=5 3434，
所以sinθ= 1-cs2θ= 1-2534=3 34=3 3434．


17.【详解】(1)圆C:x2+(y-5)2=9的圆心C(0,5)，半径为3，
设圆C1的圆心C1坐标为(a,b)，半径r，
∴(a+1)2+b+ 32=r2a2+(b-2)2=r2a2+(b-5)2=(r+3)2，解得a=0b=0r=2,
∴圆C1的的方程为x2+y2=4．
(2)若直线l斜率不存在，此时l：x=-1，
由x=-1x2+y2=4，解得x1=-1y1= 3,x2=-1y2=- 3
此时弦长为y1-y2= 3-- 3=2 3，符合题意，
若直线l的斜率存在，设l：y+2=k(x+1)，
∵直线l被圆C1截得的弦长为2 3，
∴圆心C1(0,0)到直线l的距离d= r2- 32= 22- 32=1，
因为l：y+2=k(x+1)，所以d=|k-2| k2+1=1，解得k=34，
所以直线l的方程为y+2=34(x+1)，即3x-4y-5=0．
综上：直线的方程为x=-1或3x-4y-5=0．

18.【详解】(1)取CF中点M，连接OM,GM，
由题意可知AG//EF且AG=12EF，
又因为O是矩形EBCF对角线的交点，
所以OM//EF且OM=12EF，
所以AG//OM且AG=OM，
则四边形AOMG为平行四边形，
所以AO//MG且AO=MG，
又因为AO⊄平面GCF，GM⊂平面GCF，
所以AO//平面GCF；
(2)因为在图1中EF⊥AE,EF⊥BE，且EF=4,AE=BE=2，
在图2中上述关系依然成立，
所以∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=23π，
以E为坐标原点，EB,EF分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示：
则B(2,0,0),F(0,4,0),C(2,4,0)，
xA=AE⋅cs2π3=-1,yA=0,zA=AE⋅sin2π3= 3，
所以A(-1,0, 3)，
又因为AG=2，AG//平面BCFE，所以G(-1,2, 3)，
所以AB=(3,0,- 3)，FC=(2,0,0),GC=(3,2,- 3)，
设平面GFC的一个法向量n=(x,y,z)，
则FC⋅n=2x=0GC⋅n=3x+2y- 3z=0，则有x=0y= 32z,
取n=(0, 3,2)，
所以|cs〈AB,n〉|=|AB⋅n||AB|⋅|n|= 77，
所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为 77；
(3)假设存在满足条件的点P，
设AP=λAG=(0,2λ,0)(0≤λ≤1)，所以P(-1,2λ, 3)，
则EP⃗=(-1,2λ, 3),BP⃗=(-3,2λ, 3)，
设平面EBP的一个法向量为m=(x0,y0,z0)，
则m⋅EP=-x0+2λy0+ 3z0=0m⋅BP=-3x0+2λy0+ 3z0=0,
所以x0=0z0=-2λy0 3，取m=(0, 3,-2λ)，
由(2)知平面GFC的一个法向量n=(0, 3,2)，
则cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=3-4λ 7(4λ2+3)，
要使平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为2 33，
则只需cs2〈m,n〉=37，即(4λ-3)27(4λ2+3)=37，
整理得4λ2-24λ=0，解得λ=0或λ=6(舍去)，
所以当P与A点重合时，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为2 33．

19.【详解】(1)圆C1：(x+2)2+y2=4的圆心为C1(-2,0)，半径为2，
圆C2：(x-2)2+y2=4的圆心为C2(2,0)，半径为2，
设P(x,y)，点P到圆C1的切线长为 (x+2)2+y2-4，
点P到圆C2的切线长为 (x-2)2+y2-4，
所以 (x+2)2+y2-4= 55⋅ (x-2)2+y2-4，
两边平方并化简得x2+y2+6x=0(坐标原点除外)．
所以C的方程为x2+y2+6x=0(坐标原点除外)．
(2)①当直线l1的斜率不存在时，直线l2与C只有一个交点，不符合题意，
所以直线l1的斜率存在且不为零，设直线l1的斜率为k(k≠0)，直线l2的斜率为-1k，
则直线l1的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，
圆心C(-3,0)到直线l1的距离d1=|-k| k2+1，
所以|AB|=2 9-d12=2 9-k2k2+1=2 8+1k2+1，
用-1k替换k，可得|DE|=2 8+11k2+1=2 9-1k2+1，
所以SADBE=12⋅|AB|⋅|DE|=12×2 8+1k2+1×2 9-1k2+1
=2 8+1k2+1× 9-1k2+1≤8+1k2+1+9-1k2+1=17，
当且仅当8+1k2+1=9-1k2+1,k=±1时等号成立，
所以四边形ADBE面积的最大值为17．
②由y=k(x+2)x2+y2+6x=0消去y并化简得1+k2x2+4k2+6x+4k2=0，
所以xA+xB=-4k2+61+k2,xM=xA+xB2=-2k2+31+k2,yM=kxM+2=-k1+k2，
用-1k替换k，可得xN=-2⋅1k2+31+1k2=-3k2+21+k2,yN=--1k1+1k2=k1+k2，
当k≠±1时，kMN=yN-yMxN-xM=k1+k2+k1+k2-3k2+21+k2+2k2+31+k2=2k1-k2，
所以直线MN的方程为y-k1+k2=2k1-k2x+3k2+21+k2，
即y=2k1-k2x+5k1-k2=2k1-k2x+52，
所以直线MN恒过定点-52,0，
当k=1时，M-52,-12,N-52,12，此时直线MN恒过定点-52,0，
当k=-1时，M-52,12,N-52,-12，此时直线MN恒过定点-52,0，
综上所述，直线MN恒过定点-52,0．