湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第3次阶段性检测数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第3次阶段性检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合P={x∣x≤ 2026},a=2 2，则( )
A. a⊂PB. {a}∈PC. {a}⊆PD. a∉P
2.已知复数z满足(1+i)z= 3-i，i为虚数单位，则z=( )
A. 1+iB. 1-iC. -1-iD. -1+i
3.曲线C:x2m-1+y23-m=1，则“10,b>0上任一点x0,y0处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1a>0,b>0；椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上任一点x0,y0处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1a>b>0．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.D
6.B
7.D
8.B
9.BCD
10.AD
11.ACD
12.4x-y-3=0
13.5
14.64
；19263
15.【详解】(1)设▵ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=2R，
所以a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
所以c-b=acsC+ccsA⇔2RsinC-2RsinB=2RsinAcsC+2RcsAsinC⇔
sinC-sinB=sinAcsC+csAsinC，
所以sinC-sinB=sin(A+C)，
因为A+B+C=π，所以sinB=sin(A+C)，
所以sinC-sinB=sinB，
所以sinC=2sinB，故c=2b；
(2)由(1)及已知有BD=AD=AC=b，又CD= 3，
在▵ACD中，由余弦定理得cs∠ADC=b2+3-b22 3b= 32b，
在▵BCD中，由余弦定理得cs∠BDC=b2+3-a22 3b，
显然有cs∠ADC+cs∠BDC=0，则 32b+b2+3-a22 3b=0，
整理得a2-b2=6，即(a-b)(a+b)=6，又a=b+1⇒a-b=1，
所以a+b=6，从而a=72,b=52,c=2b=5，
∴△ABC的周长为a+b+c=11．

16.【详解】(1)证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE，
因为四边形ACC1A1是平行四边形，所以E是AC1的中点，
又因为D是AB的中点，所以DE/\!/BC1，
因为BC1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，所以BC1/\!/面A1CD．
(2)取AC中点O，连接OA1、OB，因为AA1=A1C，所以OA1⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，OA1⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以OA1⊥平面ABC，
因为▵ABC是正三角形，O是AC的中点，所以OB⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
设OA1=a，
则A(0,-1,0)，B 3,0,0，C(0,1,0)，D 32,-12,0，A1(0,0,a)，C1(0,2,a)，
所以A1B= 3,0,-a，A1C=(0,1,- 3)，BC=(- 3,1,0)，
又平面A1ACC的一个法向量n=1,0,0，
所以csA1B,n=A1B⋅nA1Bn= 3 3+a2=sin45°= 22，
因为a>0，解得a= 3，
设平面BA1C的一个法向量n1=x,y,z，则n1⋅A1C=y- 3z=0n1⋅BC=- 3x+y=0,
取x=1，可得y= 3,z=1，所以n1=1, 3,1，
又平面A1CC1的一个法向量n2=(1,0,0)，所以csn1,n2=n1⋅n2n1n2=1 5= 55，
设二面角B-A1C-C1的平面角为θ，
由图知θ为钝角，则csθ=-cscsn1,n2=- 55，
即二面角B-A1C-C1的余弦值为- 55．

17.【详解】(1)由题意得2S8=S6+S7，即S8-S6=S7-S8，即得a7+a8=-a8，则2a8=-a7，
则等比数列an的公比q=-12，又a1=1，故an=-12n-1．
(2)由(1)得an=-12n-1，则bn=n,n为偶数-12n-1,n为奇数,
则T2n=(2+4+⋯+2n)+-120+-122+-124+⋯+-122n-2
=n(2+2n)2+1-14n1-14=n2+n+431-14n．
故T2n=n2+n+431-14n．
(3)由题意知cn=n2⋅2n⋅an=n2⋅2n⋅12n-1=2n2，则Qn=2n(1⋅2⋅3⋯n)2，
故lnQn=nln2+2ln(1⋅2⋅3⋯n)=nln2+2ln1+ln2+⋯+lnn，
则欲证Qn