湖南省长沙市望城区第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市望城区第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
D． 13
2
2025-2026-1 望城一中高一年级期中考试数学试卷
xex

已知 f (x)是偶函数，则
eax 1
a  （ ）
2
1
C．1D．2
望城一中数学组2025.11.3
本试题卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
若0  a  b  1 ，则（）
aa  ba ， bb  ab
C． ba  aa ， ab  bb
ba  aa ， bb  ab
D． aa  ba ， ab  bb
★祝考试顺利★
8．已知函数 f  x 满足2 f  x  f  1   1 ，则 f  x  （ ）
注意事项:
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核
1 x2
A．
x
 
x
 x
2  x2
B．
x
1 x2
C．
3x
2  x2
D．
3x
准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分。
命题“ x  0, x2  2x ”的否定为“ x  0, x2  2x ”
设 x  R ，则“ x  2 ”是“ x2  4 ”的必要不充分条件
设a, b  R ，若集合 A  a, b,1 与集合 B  a2 , a  b, 0相等，则a  1 ， b  0
满足0, 2, 4  A ⊊0,1, 2, 3, 4的集合 A 有 4 个
已知集合 A  2, 1, 0,1, 2, 3, 4 ， B  x  N 2  x  2 ，则 A  B 的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
若a  b ， c  d ，则a  c  b  d
C．若a  b ，则a3  b3
若ac2  bc2 ，则a  b
ab
D．若a  b  0 ，则 2ab 
a  b
“ x  1 ”是“ 1  1”的（ ）
x
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
下列各选项给出的命题中，正确的是（ ）
若函数 f  x 的定义域为1, 4，则函数 f  x 1 的定义域为0, 3
定义mina, b, c 为a, b, c 中的最小值，设 f  x  min2x  3, x2 1, 5  3x，则 f  x 的最大值是 2
1310  2
(5)0.5  (1)5  ()2  (2) 3  （ ）
16427
函数 y  x 称为高斯函数，其中x 表示不超过 x 的最大整数，
 9
4
4
9
9
4
 4
9
当 x [0, 3 时，函数 y  x 的值域为0,1, 2
“ x  R ， x2  2x  3  a  0 ”的一个必要不充分条件是（）
 x  x f  x   f  x 
若二次函数 f  x  x2  ax  b ，则 f  12   12
a  4
a  4
a  3
a  5
22
设正实数a ， b 满足 4  1  2 ，则a  b 的最小值为（ ）
ab
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知函数 f ( x) 的定义域[0, 6] ，则函数 g(x) 
f (2x) 的定义域为.
x 1
若
f  x  ln a  1  b
1 x
是奇函数，则
a  ， b
 ．
17．（15 分）
已知函数 f  x  lg  x  2  lg 2  x .
2  x2 , x  1,
lg
已知函数 f  x  

 1
a  2
ax 

3, x
1 （ a  0 且a  1）．若 f  x 的值域为, 2 ，则a 的一个取值为；
求 f  x 的定义域；

若 f  x 的值域为R ，则a 的取值范围是．
判断 f  x 的奇偶性并予以证明；
求不等式 f  x  1 的解集.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数 f  x  mx2  mx  1.
若m   1 ，求不等式 f  x  0 的解集
2
若关于 x 的不等式 f  x  0 对一切 x  R 恒成立，求实数 m 的取值范围.
16．（15 分）
如图，某农场紧急围建一个面积为100m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留2m 宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为 28 元/ m ，新墙的造价为 100 元/ m ，旧墙的使用长度为 xm x  2 ，修建此矩形场地的总费用为 y
（单位：元）.
18．（17 分）
 2 2 
已知函数 f  x  x2 1 经过1, 2 ，  1 , 5  两点.
bx  a
求函数 f  x 的解析式；
判断函数 f  x 在0,1 上的单调性并用定义进行证明；
若 f  x  m 对任意 x [ 1 , 1] 恒成立，求实数m 的取值范围.
4 3
19．（17 分）
设函数 f  x  x2  2tx  2 ，其中t  R .
若t  1，求函数 f  x 在区间0, 4上的值域；
若t  1，且对任意的 x a, a  2 ，都有 f  x  5 ，求实数a 的取值范围；
写出 y 关于 x 的表达式；
当 x 为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.
若对任意的 x1 , x2 0, 4，都有
f  x1   f  x2   8 ，求实数t 的取值范围.
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2025-2026-1 望城一中高一年级期中考试数学试卷参考答案
15.（1） m   1 , f  x   1 x2  1 x 1  0 ，
222
∴ x2  x  2  0 ，   1 8  0 ，∴不等式的解集为 R
当m  0 时， f  x  1  0 恒成立，满足题意；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
C
D
D
D
AC
BCD
题号
11
12
13
14
答案
BCD
[0,1) ∪ (1, 3]
 1 ； ln 2
2
1 ； 2, 
2
m  0

当m  0 时，由题意得Δ  m2  4m  0
，解得4  m  0
综上所述，实数 m 的取值范围是m | 4  m  0.
16．（1）依题意，新墙总长度为 200  x  2  m x  2 ，修建新墙费用为100  200  x  2  元，
 x x

维修旧墙费用为28x 元，
因此 y  100  200  x  2   28x  20000 128x  200 ，
 xx

所以修建此矩形场地的总费用 y  20000 128x  200  x  2 .
x
（2）由（1）知，
20000 128x
x
当 x  2 时， y  20000 128x  200  2
x
 200  3200  200  3000 ，
当且仅当 20000  128x ，即 x  25 时， y 3000 ，
x2min
所以当 x  25 时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为 3000 元.
2
2  x  0
17．（1）要使函数 f  x 有意义，则x  2  0 ，

解得2  x  2 ，故所求函数 f  x 的定义域为2, 2 ；
（2）证明：由（1）知 f  x 的定义域为2, 2 ，设x 2, 2 ，则x 2, 2 ，
且 f x  lg x  2  lg  x  2   f  x ，故 f  x 为奇函数；
因为 f  x  1 ，所以 f  x  lg x  2  1，即lg x  2 >lg10
2  x2  x
可得 x  2  10 ，解得 x  18 ，又2  x  2 ，
2  x11
所以18  x  2 ， 11
所以不等式 f  x  1 的解集是 18 , 2  ．
 11

18．（1）Q f 1  2 ， f  1   5 ，
2
2
 
 
2 2
b  a


 5
4
a  0
5
，解得，
b  1
f  x  x  1 .
x

 1 b  a2
 2
f  x 在0,1 上单调递减，证明如下：任取 x1 , x2 0,1 ，且 x1  x2 ，
则 f  x   f  x    x  1    x  1    x  x  x1 x2 1  ，
12 1x   2x 
12  x x
1  
2 1 2 
Q x1 , x2 0,1 ，且 x1  x2 ， x1  x2  0 ， 0  x1 x2  1，∴ x1 x2 1  0 ，
 f  x1   f  x2   0 ，即 f  x1   f  x2  ，所以函数 f  x 在0,1 上单调递减.
由 f  x  m 对任意 x [ 1 , 1] 恒成立得m  f (x)
4 3
由（2）知 f  x 在0,1 上单调递减，
max ，
函数 f  x 在 x [ 1 , 1] 上的最大值为 f  1   17 ， m  17 ，
4
4 3
 
 44
所求实数m 的取值范围为m m  17  .
4


答案第 2 页，共 4 页
19．（1）当t  1时，则 f  x  x2  2x  2  (x 1)2 1， x 0, 4，由二次函数的对称性知：当 x  1 时， f  x 的最小值为 1；
当 x  4 时， f  x 的最大值为 10；
所以 f  x 在区间0, 4值域的为1,10.
（2）“对任意的 x a, a  2 ，都有 f  x  5 ”等价于“在区间a, a  2上[ f  x]max  5 ”.
由（1）知t  1时， f  x  (x 1)2 1，
由二次函数的性质知函数 f  x 的图象开口向上，
所以 f  x 在a, a  2上的最大值为 f a 或 f a  2 ，
 f a  5
a2  2a  2  5
则 f a  2  5 ，即a  2 2  2
a  2
，解得： 1  a  1，
 2  5


故实数a 的取值范围为区间1,1 .
（3）设函数 f  x 在区间0, 4上的最大值为M ，最小值为m ，
所以“对任意的 x1 , x2 0, 4，都有 f  x1   f  x2   8 ”等价于“ M  m  8 ”，
又 f  x   x  t 2  t 2  2 在, t  上单调递减，在t,  上单调递增，
①当t  0 时， f  x 在0, 4上单调递增，则M  f 4  18  8t ， m  f 0  2 ，
即M  m  18  8t  2  16  8t  8 ，解得t  1，即t  ；
②当0  t  2, M  f 4  18  8t, m  f t   2  t 2 .
2
2
由M  m  18  8t  2  t 2   8 ，解得： 4  2 t  4  2，
2
即4  2 t  2 ；
③当2  t  4 时， M  f 0  2, m  f t   2  t 2 .由M  m  2  2  t 2   t 2  8 ，得2 2≤t≤2 2 ，即2  t  2 2 ；
④当t  4 时， M  f 0  2, m  f 4  18  8t .由M  m  2  18  8t   8t 16  8 ，得t≤3 ，即t  .

综上， t 的取值范围为4  2 2, 2 2  .