浙江省丽水、湖州、衢州三地市2026届高三上学期11月教学质量检测数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知数列满足，，（）．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
解：（1）由得，，----------------------------------2分
即，
得，所以数列为等差数列.--------------------------------------6分
（2）设数列的公差为，则.-----------------8分
得.故-------------------------------10分
因此所求数列的前项和的.------------------------------------13分
16．(15分)如图，在三棱台中，平面平面，，，，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．第16题图
解析：（1）取的中点，连接，
因为，为中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，而平面，则.---------------2分
因为，所以四边形是菱形，，--------4分
而平面，因此平面，
因为平面，所以.------------------------------------------------------5分
（2）取中点，则，由平面平面，平面平面
，平面，则平面，则两两垂直，
依题可建立如图所示空间直角坐标系.------7分
在平面内作于，连接.
因为平面平面，所以平面.
在梯形中，由题意，.
在中，.
在中，
，，，
，，----------------------9分
设平面的法向量，
则，
取，得.---------------------------------------11分
设平面的法向量，
则，
取，得.----------------------------------------13分
所以
因此平面和夹角的余弦值是.-----------------------------------15分
17．(15分)已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有个红球和个白球，乙袋内有个红球和个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
（1）按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
（2）按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求次之内（含次）停止摸球的概率．
解：（1）由题意得的可能取值为.-----------------------------------------------------1分
, ,
, .----------------5分
因此.---------------------------------7分
另解：由题意得的可能取值为.-----------------------------------------------1分
又，故（）.-------------5分
因此.------------------------------------------7分
（2）设事件“次之内（含次）停止摸球”，
事件“第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“首次选择甲袋是第次摸球”（），
事件“一直没有选择甲袋”.---------------------------------10分
则
.
.
.
---------------------------13分
因此.---------------------------15分
18．(17分) 已知，是椭圆上的两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线l为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，
并求的轨迹方程．
解：（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为.----5分
（2）设，线段的中点，则.
① 当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，
垂足为点；
② 当时，直线的斜率，则，
所以，，将代入椭圆方程得：，
所以，，从而 或
线段的中垂线方程为，即.
故线段的中垂线过定点.------------------------------------------------------12分
故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为；
过点与垂直的直线为，
联立方程组 消去得，因为，
所以，综上①，②所得
所以垂足轨迹方程是 ，且.-----------------17分
19．已知函数，，（为自然对数的底数）．
（1）当时，
（ⅰ）求的单调递增区间；
（ⅱ）记为函数在上从小到大排列的第个极值点，
求数列的前20项和．
（2）当时，求证：对任意的，恒成立．
解：（1）由题可得，
令可得，
解得，
所以在上单调递增.---------------------------------5分
（2）令，得，所以
那么，
令，
记数列的前20项和为，
----------12分
（3）由题可得
，因为，所以，
所以
因为，所以，，故，
因此恒成立.------------------------------------17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
D
B
A
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
BD
0
1
2
3