【中考数学】2025年四川省自贡市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年四川省自贡市试卷【附解析】，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．知常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，则内的数字是（ ）
A．B．2C．4D．
2．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆．12866000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．平均分都相同
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ）
A．B．C．D．
9．某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cmB．8C．9D．
10．分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．或
11．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ）
A．6B．6C．3D．4
第II卷（非选择题共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出．确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．计算： ．
14．分解因式： ．
15．若，则的值为 ．
16．如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ．
三、解答题（共8个题．共82分）
18．解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
19．如图，，．求证：．
20．去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21．某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
(1)请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为___________度；
(2)估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
(3)若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
22．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
(1)___________度；
(2)求证：为的切线；
(3)若，求上的长．
23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
24．如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
25．如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．

(1)若，，，则四边形的面积为___________；
(2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
(3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
选手
专家组评分
教师组评分
学生组评分
甲
7
7
9
乙
8
7
8
丙
7
8
8
组别
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球
1．A
【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案.
【详解】解：∵，
∴则内的数字是，
故选：A
2．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
3．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D
4．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解：；
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：根据题意得：其主视图是
故选：D．
6．B
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可.
【详解】解：甲的平均分为：（分），
乙的平均分为：（分），
丙的平均分为：（分），
∴平均分最高的是乙；
故选：B
7．A
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案.
【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．
∴，在轴上，，
∵，
∴，，
∴，
故选：A
8．B
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
则每块小平行四边形地砖的短边长为，
故选：B．
10．D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】解：如图，连接，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选：D
11．B
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可．
【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
12．D
【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为．
【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则，
∵正方形边长为6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B、E、A、D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点F在上时，
取得最小值，
为．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
13．
【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可.
【详解】解：；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为．
【详解】解：，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
16．
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得出，求出，，同理可得，…，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，于点，．
∴，
∴，
∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．
∴，
∴，
∵以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，
∴，
∵过点作，交于点；
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，
∴，
∴，
∵以的长为半径画弧，交于点，
∴，
∵过点作，交于点；
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得：，…，
∴的长为，
故答案为：．
17．##
【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
如图，取的中点，连接、，作交的延长线于，
，
则，，
∴，，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可得：，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
18．，见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为：．
19．见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可.
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
20．10筐
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：，再解方程即可.
【详解】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．
方程两边同乘得：，
展开并化简：，
移项：，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意；
所以，小李平均每小时掰玉米10筐．
21．(1)补全上述条形统计图和占比统计表见解析，
(2)人
(3)
【分析】本题考查了条形统计图、统计表、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出本次调查的总人数，即可计算出组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出组、组、组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；
（2）用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，本次调查的总人数为：（人），
故组的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
；组人数占调查总人数百分比为，
组人数占调查总人数百分比为，
组人数占调查总人数百分比为，
补全选择球类兴趣班人数占比统计表
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为；
故答案为：90；
（2）解：（人），
故估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数为人；
（3）解：列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论；
（2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可；
（3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可.
【详解】（1）解：如图，连接，，，
∵和相交于两点，且经过的圆心，
∴，，
∴四边形是菱形，，是等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴上的长.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
23．(1)
(2)
(3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可；
（2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可；
（3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.
24．(1)见解析
(2)，，
(3)50米
(4)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，，，
∴；
∵，，，，
∴，，
∵在中，，，，，
∴；
∵，，，
∴，
∵在中，，，，，
∴；
（3）解：如图，延长交于，延长交于，
，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意可得：米，，，，
设米，则米，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴米，米，
∵，
∴米，
∴米，
即该塔高度为米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
25．(1)
(2)，最大为
(3)是，
【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果；
（2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，，
∴四边形的面积
；
（2）∵在中，分别是的中点，
∴是的中位数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当四边形的面积最大时，的面积最大，
过点作，过点作，则：，
∵四边形的面积
∴四边形的面积最大，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）直线是过定点：
由（2）知：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴为的中点，
∵过点的直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴直线：，
即：，
，
∴当，即：时，，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键．
组别
球类活动兴趣班
占调查总人数百分比
A
足球
B
篮球
C
乒乓球
D
羽毛球
甲乙