高考物理一轮复习讲义练习第十二章　第2讲　法拉第电磁感应定律　涡流和自感

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1．法拉第电磁感应定律
(1)感应电动势
①概念：在电磁感应现象中产生的电动势。
②产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
③方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断。
(2)法拉第电磁感应定律
①内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
②公式：E＝n eq \f(ΔΦ,Δt)，其中n为线圈匝数。
③感应电流与感应电动势的关系：遵守闭合电路的欧姆定律，即I＝ eq \f(E,R＋r)。
(3)导体切割磁感线的情形
感应电动势的方向与电池电动势的方向一样，都规定为在电源内部由负极指向正极。
2．自感、涡流
(1)自感现象
①概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场在线圈本身激发出感应电动势，这种现象称为自感。
②自感电动势
a．定义：由于自感而产生的感应电动势叫作自感电动势。
b．表达式：E＝L eq \f(ΔI,Δt)。
③自感系数L
a．相关因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关。
b．单位：亨利(H)，1 mH＝10-3 H，1 μH＝10-6 H。
(2)涡流
当线圈中的电流发生变化时，在它附近的任何导体中都会产生感应电流，这种电流像水的漩涡，所以叫涡流。
(3)电磁阻尼
导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力总是阻碍导体的运动。
(4)电磁驱动
如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流使导体受到安培力而运动起来。
1．Φ＝0， eq \f(ΔΦ,Δt)不一定等于0。( √ )
2．穿过线圈的磁通量变化越大，感应电动势也越大。( × )
3．线圈匝数n越多，磁通量越大，产生的感应电动势也越大。( × )
4．感应电动势的大小与线圈的匝数无关。( × )
5．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同。( × )
6．公式E＝Blv中的l是导体棒的总长度。( × )
7．磁场相对导体棒运动，导体棒中也可能产生感应电动势。( √ )
考点一 法拉第电磁感应定律的理解及应用
1．对法拉第电磁感应定律的理解
(1)感应电动势的大小由线圈的匝数和穿过线圈的磁通量的变化率 eq \f(ΔΦ,Δt)共同决定，与磁通量Φ的大小、变化量ΔΦ的大小没有必然联系。
(2)磁通量的变化率 eq \f(ΔΦ,Δt)对应Φ－t图线上某点切线的斜率。
(3)公式E＝n eq \f(ΔΦ,Δt)求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，在磁通量均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
2．法拉第电磁感应定律应用的三种情况
(1)当磁通量的变化是由面积变化引起的时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝nB eq \f(ΔS,Δt)。
(2)当磁通量的变化是由磁场变化引起的时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝nS eq \f(ΔB,Δt)。
(3)当磁通量的变化是由面积和磁场共同变化引起的时，根据定义ΔΦ＝Φ末－Φ初，则E＝n eq \f(B2S2－B1S1,Δt)，注意，此时E≠ eq \f(ΔB·ΔS,Δt)。
3．在有关图像问题中，磁通量的变化率 eq \f(ΔΦ,Δt)是Φ－t图像上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定该点感应电动势的大小。
【典例1】 学生饭卡其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，穿过置于刷卡机上的饭卡中线圈的磁通量发生变化，在线圈处引起电磁感应，产生电信号。其原理可简化为如图甲所示，设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈的面积均为S＝10-4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一R＝0.3 Ω的电阻，与其组成闭合回路，其余部分电阻不计。线圈处的磁场可视作匀强磁场，其大小按如图乙所示规律变化(设垂直纸面向里为正方向)，求：
(1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势E的大小；
(2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热Q；
(3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电流方向和电荷量q。
【解析】 (1)在0～0.1 s内，由乙图可得
eq \f(ΔB,Δt)＝ eq \f(0.02,0.1) T/s＝0.2 T/s，
由法拉第电磁感应定律有E＝N eq \f(ΔΦ,Δt)＝N eq \f(ΔB,Δt)S，
解得E＝0.024 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律有I＝ eq \f(E,R＋r)＝0.06 A，
再由焦耳定律得Q＝I2Rt，
解得Q＝1.08×10-4 J。
(3)根据楞次定律可以判断，0.1～0.4 s流过R的电流的方向为由N到M，
根据q＝ eq \x\t(I)Δt，又 eq \x\t(I)＝ eq \f(\x\t(E),R＋r)， eq \x\t(E)＝N eq \f(ΔΦ,Δt)，
可得q＝N eq \f(ΔΦ,R＋r)＝N eq \f(ΔBS,R＋r)。
由乙图可知，0.1～0.4 s内磁感应强度变化大小ΔB＝0.02 T，解得q＝0.006 C。
【答案】 (1)0.024 V (2)1.08×10-4 J
(3)由N到M 0.006 C
应用法拉第电磁感应定律应注意的三个问题
(1)公式E＝n eq \f(ΔΦ,Δt)求解的是一个回路中某段时间内的平均感应电动势，在磁通量均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
(2)利用公式E＝nS eq \f(ΔB,Δt)求感应电动势时，S为线圈在磁场范围内的有效面积。
(3)通过回路截面的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路电阻R有关，与时间长短无关，即q＝IΔt＝ eq \f(nΔΦ,ΔtR)Δt＝ eq \f(nΔΦ,R)。
1．(2024·广东卷)电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈。下列说法正确的是( D )
A．穿过线圈的磁通量为BL2
B．永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C．永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D．永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
解析：根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为0，故A错误；根据法拉第电磁感应定律可知永磁铁相对线圈上升越快，磁通量变化越快，线圈中感应电动势越大，故B、C错误；永磁铁相对线圈下降时，根据楞次定律可知线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故D正确。
2．(2022·河北卷)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0＋kt，B0和k均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为( D )
A．kS1 B．5kS2
C．k(S1－5S2) D．k(S1＋5S2)
解析：由法拉第电磁感应定律，可得大圆线圈产生的感应电动势E1＝ eq \f(ΔΦ1,Δt)＝ eq \f(ΔBS1,Δt)＝kS1，每个小圆线圈产生的感应电动势E2＝ eq \f(ΔΦ2,Δt)＝ eq \f(ΔBS2,Δt)＝kS2，由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为E＝E1＋5E2＝k(S1＋5S2)，故D正确，A、B、C错误。
考点二 导体切割磁感线产生感应电动势
1．三种切割方式产生感应电动势大小的计算
(1)垂直切割：如图甲所示，感应电动势的表达式为E＝Blv。
(2)倾斜切割：如图乙所示，感应电动势的表达式为E＝Blv sin θ，其中θ为v与B的夹角。
(3)旋转切割：如图丙所示，感应电动势的表达式为E＝ eq \f(1,2)Bl2ω。
2．E＝Blv的三个特性
(1)正交性：本公式要求磁场为匀强磁场，而且B、l、v三者互相垂直。
(2)有效性：公式中的l为导体切割磁感线的有效长度。如图所示，导体棒的有效长度为ab间的距离。
(3)相对性：E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系。
考向1平动切割磁感线类
【典例2】 (多选)如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的关系为B＝kt(k为大于零的常量)。一高为a、电阻为R的正三角形金属线框向右匀速运动。在t＝0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t＝T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中( AD )
A．线框中的电流始终为逆时针方向
B．线框中的电流先沿逆时针方向，后沿顺时针方向
C．t＝ eq \f(T,2)时刻，流过线框的电流大小为 eq \f(\r(3)ka2,6R)
D．t＝ eq \f(T,2)时刻，流过线框的电流大小为 eq \f(5\r(3)ka2,12R)
【解析】 由右手定则和楞次定律可知线框中动生电动势和感生电动势均为逆时针方向，故感应电流沿逆时针方向，A正确，B错误；线框匀速进入磁场过程中，设正三角形金属线框边长为L，则L＝ eq \f(a,sin 60°)＝ eq \f(2\r(3),3)a，t＝ eq \f(T,2)时刻，B＝k· eq \f(T,2)，切割长度L′＝ eq \f(L,2)＝ eq \f(\r(3),3)a，线框匀速进入磁场的速度v＝ eq \f(a,T)，则动生电动势E1＝BL′v＝ eq \f(\r(3)ka2,6)，此时感生电动势E2＝ eq \f(ΔB,Δt)· eq \f(3,4)S＝k· eq \f(3,4)× eq \f(1,2)×a× eq \f(2\r(3),3)a＝ eq \f(\r(3),4)ka2，t＝ eq \f(T,2)时刻，流过线框的电流大小为I＝ eq \f(E1＋E2,R)＝ eq \f(5\r(3)ka2,12R)，C错误，D正确。
考向2转动切割磁感线类
【典例3】 (2024·湖南卷)如图所示，有一硬质导线Oabc，其中 eq \(abc,\s\up8(︵))是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为( C )
A．φO>φa>φb>φc B．φO