2025-2026学年重庆市复旦中学教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年重庆市复旦中学教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程，属于一元二次方程的是（ ）
A. x2+xy=1B. x2-2x+3=0C. D. 2（x+1）=x
2.将一元二次方程2x2+4=3x化为一般形式为（ ）
A. 2x2+4-3x=0B. 2x2-3x-4=0C. 2x2-3x+4=0D. 2x2+3x+4=0
3.已知一元二次方程x2+ax-3=0的其中一个实数根为x=1，则a的值为（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 2
4.把二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）
A. y=2（x-1）2B. y=2（x+1）2C. y=2x2-1D. y=2x2+1
5.用配方法解方程x2-4x+1=0，变形后的结果正确的是（ ）
A. （x+2）2=3B. （x+2）2=-5C. （x-2）2=3D. （x-2）2=4
6.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. x（x+1）=110B. x（x-1）=110C. x（x+1）=110D. x（x-1）=110
7.“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率.设进馆人次的月增长率为x,依题意可列方程（ ）
A. 180（1+x）2=750B. 180（1+x）+180（1+x）2=750
C. 180（1+x+x2）=750D. 180+180（1+x）+180（1+x）2=750
8.根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x-3=0的一个解的范围是（ ）
A. 0.4＜x＜0.5B. 0.5＜x＜0.6C. 0.6＜x＜0.7D. 0.7＜x＜0.8
9.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+1与二次函数y=x2+k的大致图象可以是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为y（米）=a（x-2）2+3，已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a值是（ ）
A. a=-0.01B. a=-0.1C. a=-0.12D. a=-
11.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-2.下列说法，其中正确的是（ ）
A. abc＞0
B.
C. 4a2-2ab≥at（at+b）（t为全体实数）
D. 若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当n＜x1＜x2＜n+5时，满足y1=y2，则n的取值范围为-7＜n＜-2．
12.对于两个代数式，记M=3x,N=1，以下说法正确的个数是（ ）
①若M2-N2-MN=11，则x=-1；
②若关于x的方程x2+M+N=0的解为p和q,则p2+q2-pq的值为6；
③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则.
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.方程的解是 .
14.二次函数y=3x2-x+2与y轴的交点坐标是 .
15.如图，某小区有一块长20m,宽10m的长方形空地，计划在其中修建两个相同的长方形花坛，要求两个花坛的面积之和为84m2，且两个花坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 米.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y=ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为 .
17.对于二次函数y=x2-2x+1，点（-3，y1）和（2，y2）在函数图象上，则y1 y2（填“＞”，“=”或“＜”）；当a-1≤x≤a时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为 .
18.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足+=+10，那么称这个四位数为“十全数”.例如：四位数7923，∵79+23=92+10，∴7923是“十全数”；又如：四位数3418，∵34+18≠41+10，∴3418不是“十全数”.若一个“十全数”为，则这个数为 ；若一个“十全数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十全数”之和是 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
解方程：
（1）x2-4x+1=0；
（2）3x（x+1）=2（x+1）.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程kx2-2x-4=0有两个不等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根.
21.(本小题10分)
二次函数y=-x2+2x+3的顶点为P.
（1）补全表格，在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象；
（2）抛物线的顶点P的坐标是______；
（3）当x______时，y随x的增大而减小；
（4）当0≤y≤3时，x的取值范围是______.
22.(本小题10分)
如图，一次函数y1=kx+b的图象与二次函数的图象交于点A（1，m）和B（-2，4），与y轴交于点C.
（1）求a,b,k的值：
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
23.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.（0＜t＜3）
（1）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（2）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
24.(本小题10分)
小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的80%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BA=BC=10，∠BAC=∠BCA=30°，AC=10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线A-B-C方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿A-C方向向C点运动，其中一个点到达终点C，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设P点运动的时间为x秒，△APQ的面积为y.
（1）请直接写出y关于x的函数关系式及对应的x的取值范围；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质.
26.(本小题10分)
如图，抛物线过A，B（6，0），C（0，8）三点，点P是抛物线上动点.
（1）试求抛物线的表达式；
（2）如图，当P在第一象限时，过点P作PN∥y轴并交BC于点N，作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M，若，求点P的坐标；
（3）当点P运动到使时，请直接写出P点的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】±1
14.【答案】（0，2）
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】＞
0或3

18.【答案】3527
9362

19.【答案】；

20.【答案】解：（1）由题意，
∴k＞-且k≠0；
（2）∵方程有一个根为2，
∴4k-4-4=0，
∴k=2，
∴方程为2x2-2x-4=0，即x2-x-2=0，
∴（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
∴x=2或-1，
∴另一个根为-1．
21.【答案】（1，4） ≥1 -1≤x≤0或2≤x≤3
22.【答案】（1）由题意可得：4=a×（-2）2，即4a=4，解得a=1；
∵点A（1，m）在上，
∴m=12=1，即A（1，1）；
∴，
用第一个方程减第二个方程：3k=-3，解得k=-1；
将k=-1代入k+b=1，得-1+b=1，解得b=2；
故a=1，b=2，k=-1
（2）∵y1=-x+2，令x=0，则y1=2，
∴点C（0，2），即OC=2；S△AOB=S△AOC+S△BOC，
∵，，
∴S△AOB=1+2=3．
答：△AOB的面积为3．
（3）由两函数图象交点为A（1，1）、B（-2，4），观察图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是-2＜x＜1．
23.【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒（0＜t＜3），
∴BQ=2t cm,AP=t cm,
∴PB=AB-AP=（5-t）cm,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，
∴（5-t）2+（2t）2=52，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm；
（2）由题意得：CQ=BC-BQ=（6-2t）cm,
∵△PQC的面积等于8cm2，
∴，
∴，
∴t=1或t=7（舍去），
∴当t=1时，使得△PQC的面积等于8cm2．
24.【答案】解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤36）；
（2）对于函数w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250
∴当x=35时，W=2250
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
（3）取W=2000得，-10x2+700x-10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤36
∴当30≤x≤36时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∴当x=36时，P的值最小，P最小值=2800．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为2800元．
25.【答案】；
图见详解，当0≤x＜5时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）
26.【答案】（1）∵抛物线过点B（6，0），C（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC：y=kx+b（k≠0），
∵B（6，0），C（0，8）在y=kx+b（k≠0）上，
∴，
解得，
∴直线BC为：；
由题意可设设，且1＜m＜6，
则，，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），
当m=3时，，
∴P（3，7）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，A（-4，0），B（6，0），C（0，8），
∴A、B两点关于直线x=1成轴对称，设点C（0，8）关于直线x=1的对称点为D（x0，8），
∴，
∴x0=2，
∴点C（0，8）关于直线x=1的对称点为D（2，8），
∵A、B两点关于直线x=1成轴对称，点C（0，8）关于直线x=1的对称点为D（2，8），连接AC，AD，BD，
∴△ABC与△BAD关于直线x=1成轴对称，
∴∠ABC=∠BAD，
当点P在AB上方时，过点A作AP平分∠BAD交抛物线于点P，交BD于点H，则，点P为所求的点，

∵A（-4，0），B（6，0），D（2，8），
∴AB=4+6=10，AD==10，
∴AB=AD，
∵AP平分∠BAD交抛物线于点P，交BD于点H，
∴AH⊥BD，HD=HB，
∴B（6，0），D（2，8），
∴H（4，4），
设直线AP为：y=mx+n,
∵直线AP为：y=mx+n过H（4，4），A（-4，0），
∴，
解得，
∴直线AP为：，
联立直线AP与抛物线解析式得，
，
解得或（舍去），
∴P（，）．
当点P在AB下方时，此时直线AP经过（，-），
由A（-4，0）和（，-）可得直线AP解析式为y=-x-2，
联立直线和抛物线解析式得，
，
解得或（舍去），
∴P（，-）；
综上，点P坐标为（，）或（，-）． x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x2+4x-3
-1.24
-0.75
-0.24
0.29
0.84
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
4
3
0
…