初中人教版（2024）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质习题

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考点一、把一般式化成顶点式
考点二、二次函数的平移问题
考点三、待定系数法求二次函数解析式
考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
考点五、根据二次函数的图像判断系数符号
考点六、一次函数、二次函数的图像综合问题
考点七、根据二次函数的对称性求函数值
考点八、利用二次函数的对称性求最短路径
考点九、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
【知识梳理】
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
知识点二 二次函数的三种解析式
= 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）. 对称轴，顶点坐标（，）.
= 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）. 对称轴x= h，顶点坐标（h，k）.
= 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶交点式：y=a（x-x1）（x-x2）. 对称轴，顶点坐标.
知识点三 二次函数的平移问题
【题型探究】
题型一、把一般式化成顶点式
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：
故选：C．
2．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式并写出顶点坐标，熟记二次函数的顶点式与顶点坐标是解本题的关键．
先把二次函数通过配方转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标是：．
故选：B．
3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数化为的形式，则所得表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式．
【详解】解：，
故选：B．
题型二、二次函数的平移问题
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动2个单位B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动1个单位，向下移动2个单位D．向右移动1个单位，向下移动2个单位
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
抛物线的顶点坐标是．
则由二次函数的图象向左移动1个单位，向下移动2个单位，可得到的图象．
故选：C
5．（2024·广东河源·一模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：，即．
故选：D．
6．（2024·山西朔州·二模）将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题．
根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标．
【详解】解：将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得：
，
则平移后的二次函数图象的顶点为．
故选：B．
题型三、待定系数法求二次函数解析式
7．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式， 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则可设交点式，然后把代入求出的值即可．解题的关键是掌握：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
设抛物线解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，即．
故答案为：．
8．（21-22八年级下·浙江金华·期末）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
(1)二次函数图像经过三点．
(2)二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入求得的值即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握 二次函数解析式的方法是解题的关键．
9．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式．
(1)已知抛物线的顶点坐标是，且过点；
(2)已知抛物线过点、、；
(3)已知抛物线过点、、．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式．
（1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点2,3即可求解；
（2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点即可求解；
（3）已知抛物线上的普通三点，可设表达式为一般式，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为，
把2,3代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为，即；
（2）设其对应的二次函数的表达式为：，
把代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为，即；
（3）设其对应的二次函数的表达式为，
则，
解得：，
二次函数的表达式为：．
题型四、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
10．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是y轴B．当时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是D．抛物线的开口向下
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值，即可求解．
【详解】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线，
∴顶点为，
∵数据从到1对应的y值不断减小，
∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，函数有最小值，
故选项A，B，D都错误．
故选：C．
11．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为B．图象开口向下
C．图象与轴有两个交点D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴，
将(0，5)代入得，
解得，
∴，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴时，随增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
12．（21-22九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
题型五、根据二次函数的图像判断系数符号
13．（23-24九年级上·全国）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象及性质可知二次函数的系数，，对称轴对称轴为，二次函数与轴的交点坐标为，进而即可解答．
【详解】解：∵当时，，
∴，
即，，
故①不正确；
由图象可知：二次函数的系数，，对称轴为，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
由图象可知：二次函数的对称轴为，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
∵由图象可知：二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，
∴二次函数与轴的另一交点为，
∴当时，，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的序号为②④，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴，与坐标轴交点坐标，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b 0
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