山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月阶段测数学试题（解析版）

这是一份山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月阶段测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了10，考试结束后，将答题卡交回， 设函数，若，，，则，，大小为，919B等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
2025.10
命题：房华 审题：舒美玉
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性及对数函数单调性解不等式，再由交集运算即可.
【详解】由，，
所以，
所以，
故选：B
2. 已知为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数的性质得到“”的充要条件是“”，再结合幂函数的性质得到“”的充要条件是“”，最后利用充分、必要条件的判定即可求解.
【详解】因为在上单调递减，等价于，所以，即“”的充要条件是“”；
因为在上单调递增，等价于，所以，即“”的充要条件是“”.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 若直线是曲线的一条切线，则（ ）
A. -4B. 4C. 3D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用给定的切线求出切点坐标及值.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
函数，求导得，则，解得，则切点为，
因此，所以.
故选：B
4. 设函数，若，，，则，，大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小
【详解】解：因为，所以为偶函数，
所以，
当时，在上为增函数，
因为，，
所以，
因为在上为增函数，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】此题考查对数函数和指数函数性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.
5. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：
建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ）
A. -0.919B. -0.1C. 0.1D. 0.919
【答案】C
【解析】
【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故，将2，4代入线性回归方程，根据残差概念计算即可.
【详解】由题意可得，，
将其代入回归方程，得，故，
将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，，
故第2个月和第4个月的残差和为.
故选：C.
6. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解.
【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，
当时，开口向下，不满足题意，
所以，
令，得，
当时，不等式对任意的恒成立，
所以，即，且，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
故选：B.
7. 已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质得到，再由奇函数的性质得到，从而推导出，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
所以，
又是奇函数，所以，
即，所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
又当时，，所以，
则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.
8. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】去掉绝对值符号，判断A；根据复合函数的单调性的判断方法，一一判断BCD各选项，即可得答案.
【详解】对于A，因为，故，在区间上单调递减，A正确；
对于B，当时，，
令，则该函数在区间上单调递减，而在R上单调递增，
故在区间上单调递减，B正确；
对于C，当时，，且在区间上单调递减，
故在区间上单调递增，C错误；
对于D，当时，，令，则该函数在区间上单调递减，
函数在上单调递增，故在区间上单调递减，D正确，
故选：ABD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108
B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，令，求出，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到，再利用方差的性质进行计算.
【详解】对于选项A：令，则，
的系数为，A正确；
对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件，
，B错误；
对于选项C：由题意知，，
，C正确；
对于选项D：，D正确.
故选：ACD
11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若方程有4个不等的实根，则
D. 当时，若的两实根为，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意求出，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利用为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项.
详解】由题意知，，故即，
且，故，
对于A，，故A正确；
对于B，故在上，单调递增；
在和上，单调递减；
故且故，故B正确；
对于C，，故为偶函数，
则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根，
且在和上单调递减，在上单调递增，
故，即，故C错误；
对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，，
则， 且，故，
引入不等式，
证明过程如下：不妨设，
因为，
设，，则问题转化为：，．
令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增；所以，
故，成立，所以．
故，
故，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知偶函数满足：当时，，则______.
【答案】18
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案.
【详解】因为为偶函数，所以.
故答案为：.
13. 现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有__________种.
【答案】60
【解析】
【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数.
【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种，
其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法，
将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法，
又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有，
所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，
则不同的分派方法共有种.
故答案为：60.
14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】作出的图象，由题意知在内有两个不等实根，再结合二次方程根的分布列不等式即可求得m的范围.
【详解】作出的图象，
令，则方程，即为，
有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求和实数的值；
（2）当时，若满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案；
（2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题意知函数是定义在上的奇函数，
故，且，
则，
即得，则，故，
则，（舍）；
【小问2详解】
由（1）可得，
函数在上单调递减，
时，函数在上单调递增，
故在上单调递减，
由可得，即，
则，即，解得，
即实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数，求函数的单调区间.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由题设有恒成立，结合判别式列不等式求参数范围；
（2）对函数求导，分类讨论参数，研究导数符号确定对应单调区间即可.
【小问1详解】
因为为增函数，所以在上恒成立，
所以，则，可得.
【小问2详解】
，
所以，
当时，则增区间为，无减区间；
当时，令，则或，令，则，
所以增区间为和，减区间为；
当时，令，则或，令，则，
所以增区间为和，减区间；
综上：
当时，增区间为和，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为和，减区间为.
17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.

（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差.
【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125；
（2）分布列见解析，方差为.
【解析】
【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案；
（2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差.
小问1详解】
该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
，
故第60百分位数落在内，设其为，
则，
解得，故第60百分位数为125；
【小问2详解】
一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
数学期望为，
方差为
18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
（1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望；
（2）当时，求甲乙获得纪念品概率的最小值．
【答案】（1）分布列见详解，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案；
（2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解．
【小问1详解】
X的可能取值为0,1,2，
当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题，
所以，
当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题，
甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为，
所以，
当时，有2种情况，
①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题，
概率为，
②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为，
所以，分布列如下，
期望．
【小问2详解】
两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况：
①甲答对1题，乙答对2题，概率为；
②甲答对2题，乙答对1题，概率为；
③甲答对2题，乙答对2题，概率为.
所以获得纪念品的概率，
又因为，所以，即，
对P进行变形，
，
由可得，即，所以，
当且仅当即时等号成立.
所以P的最小值.
综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为．
19. 设函数，.
（1）求的极值；
（2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围；
（3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）极小值，无极大值；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的极值；
（2）问题化为，使成立，导数研究的性质，结合得到，进而有，导数求右侧最大值，即可得范围；
（3）令，问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的范围，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题设，
时，，即在上递减，
时，，即在上递增，
所以有极小值，无极大值.
【小问2详解】
由且，则，
所以，问题化为，使成立，
令，则，且时，
时，即在上递减，对应值域为；
时，即在上递增，对应值域为；
由于，于是，即，此时，
对于且，则，
故时，即在上递增，
时，即在上递减，
所以，故.
【小问3详解】
由题设，令，而，
所以在上恒成立，
令在上递增，则，
令，则，
故上，即在上递减；
上，即在上递增；
所以，
综上，故只需.
【点睛】关键点点睛：第三问，应用换元法将问题化为在上恒成立是关键.
月份x
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3
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销量y
0.5
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