【数学】陕西省汉中市2026届高三上学期第一次校际联考试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）
A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 众数
3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（）
A. 3B. C. 4D. 5
4. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数是（）
A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数
6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（）
A. 1028B. 1023C. 1024D. 1025
7. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（）
A. cm3B. cm3
C. cm3D. cm3
8. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）
A. 轻风B. 微风
C. 和风D. 劲风
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（）
A. B.
C. 有最大值D. 有最小值
10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（）
A. B. ，
C. D. 方程有唯一实数解
11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（）
A. 椭圆的焦距为2
B. 为定值
C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
D. 直线和的斜率的乘积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数的虚部为____________．
13. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____________．
14. 已知，则的值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16. 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若的中点为，求直线的方程．
17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
18. 已知函数，其中．
（1）求在处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
19. 已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．
（1）估计甲队每局获胜的概率；
（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
1
2
3
4
5
6
甲
25
21
27
27
23
25
乙
18
25
25
25
25
17