【数学】河北省衡水市高中联考2026届高三上学期质检一（开学考试）试题（学生版+解析版）

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一、单选题
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由解得，
因为，，
所以.
故选：B.
2. 若虚部大于0的复数满足方程，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知：，故，所以共轭复数为.故选B.
3. 如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，为的中点，
，，
三点共线，
设
，
又，
，解得.
故选：B.
4. 在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，由正弦定理得，解得，
，
所以的面积为.
故选：D.
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
6. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的最小正周期为，则，
所以，所以，
由图可知，
所以．
故选：D.
7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由可得，设函数，，
则在上单调递增，
又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减，
而不等式，
又因为，所以，
所以不等式的解集为.
故选：B.
8. 在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，M为底面上的动点，且M到PA与BC的距离相等．若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由于平面，则到直线的距离即为的长度，
在平面中，到直线的距离与的距离相等，以为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则的轨迹方程为，设，,
则，解得，
则，
故选：C.
二、多选题
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则
D. 通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势
【答案】ABC
【解析】对于，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故A正确；
对于B，由，两边取自然对数，可得，
，则，因为，所以则故B正确；
对于C，由于回归直线过点，故C正确；
对于D，通过回归直线及回归系数，可预测变量的取值和变化趋势，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 在区间上的最大值和最小值之和为
C. 为的极小值点
D. 方程有两个不同的根（e为自然对数的底）
【答案】BC
【解析】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且，
则，解得，
所以，故A错误；
对于选项C：因为，，
令，解得；令，解得；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则为的极小值点，故C正确；
对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可知的最小值，且，即的最大值，
所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确；
对于选项D：令，整理可得，
令，
因为函数与在区间内单调递增，
则在区间内单调递增，且，
所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误.
故选：BC．
11. 已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A. 以为直径的圆与直线相离B. 的最大值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为112
【答案】ACD
【解析】对于A，设的中点为，连接，
则，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确，
对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形，
此时，
则，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为,
所以
,
因为，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为8，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为112，所以D正确，
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知，则__________．
【答案】
【解析】因为为展开式中的系数，
展开式中的系数为，
展开式中的系数，
所以．
故答案为：.
13. 过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________________．
【答案】
【解析】设，
若直线的斜率存在，则，
点P是线段的中点，，
∴，
，两式作差可得，
即，又，
，
直线的方程是，即，
联立，可得，
方程的判别式，
所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾，
故答案为：.
14. 若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由可得，
由可得，
设公切线与的图象相切于点，
与的图象相切于点，
所以，即，
可得或，
因为，，则，，即，
，，
令，可得，
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题
15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长．
【答案】解：（1）在中，由及正弦定理得
，
即，
因为、，则，即，可得，故.
（2）由正弦定理可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为为边上的中线，所以，
所以
，故，
因此，边上的中线的长为.
16. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.
（1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？
（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.
附：.
【答案】解：（1）高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.
所以高三男生对招飞有意向的有100人，没有意向的有500人，
高三女生对招飞有意向的有100人，没有意向的有300人，
则列联表如下：
零假设为：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联，
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关；
（2）因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为，
所以每名报名学生通过前3项流程的概率为，
依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为，
甲地高三女生对招飞有意向的概率为，
由全概率公式得所求概率为.
17. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，，将沿着BD折起，连接AC，使得．
（1）求证：平面平面；
（2）若点M为棱CD的中点，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取线段的中点，连接，
因四边形为菱形，且，则和均为等边三角形，
则，
又平面，则平面，
以为原点，所在直线为轴，在平面内作，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，则，得，
即，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，
令，则，，
则，
则平面平面.
（2）解：点M为棱CD的中点，则，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又平面的法向量为，
则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）已知曲线在点处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若，求面积的最小值；
（3）证明：．
【答案】（1）解：因为，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
（2）解：，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
当时，，当时，，
因为，所以．
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以的最小值为．
（3）证明：因为，所以只需证，
因为，
令，则，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以，所以，
所以．
19. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）求C的方程；
（2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值；
（3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值.
【答案】（1）解：由题设有，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，则直线的方程为，与的方程联立，
消去得.
因为，所以.
因为是它的一根，所以，
即.（*）
若，经过3次操作后停止，即为.
将代入（*）式得，，
因为关于原点对称，，所以与关于原点对称，
因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称，
所以，解得，
综上，当时，.
（3）证明：当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称.
如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合，
所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积.
因为直线的方程为，
点到直线的距离，
所以.
对民航招飞有意向
对民航招飞没有意向
合计
男生
女生
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
对民航招飞有意向
对民航招飞没有意向
合计
男生
100
500
600
女生
100
300
400
合计
200
800
1000