河北省衡水市高中联考2026届高三上学期质检（一）数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解二次不等式求得 ，进而求得 .
【详解】由 解得 ，
因为 ， ，
所以 .
故选：B
2. 若虚部大于 0 的复数 满足方程 ，则复数 的共轭复数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题可知： ，故 ，所以共轭复数为 故选 B
3. 如图，在平行四边形 中， ， 为 的中点， 为 上的一点，且
，则实数 的值为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件利用向量的加法法则用 表示 ，再利用平面向量基本定理结合条件列出方
程组，求解即可.
【详解】 ， 为 的中点，
， ，
三点共线，
设
，
又 ，
，解得 .
故选：B.
4. 在 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 的面
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式，结合和角的正弦求解.
【详解】在 中， ，由正弦定理得 ，解得 ，
，
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所以 的面积为 .
故选：D
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的准线 l 经过 ，
且 l 与双曲线的一条渐近线交于点 A，若 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：D.
6. 函数 的图象如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据阴影部分面积列方程，求得 ，从而求得 ，再根据图象上的特殊点求得正确答案．
【详解】设 的最小正周期为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
由图可知 ，
所以 ．
故选：D.
7. 已知 是定义在 上的奇函数，当 、 且 时，都有 成
立， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对 进行变形，得出函数 的单调性，再利用函数的单调性和
奇偶性解不等式.
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【详解】由 可得 ，设函数 ， ，
则 在 上单调递增，
又因为 为定义在 上的奇函数， ，所以 为偶函数， 在 上
单调递减，
而不等式 ，
又因为 ，所以 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B
8. 在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，M 为底面上的动点，
且 M 到 PA 与 BC 的距离相等．若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得 的轨迹方程为 ，即可根据两点距离公式求解 点坐标，进而可
求解.
【详解】由于 平面 ，则 到直线 距离即为 的长度，
在平面 中， 到直线 的距离与 的距离相等，以 为 轴，以 的垂直平分线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 的轨迹方程为 ，设 ， ,
则 ，解得 ，
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则 ，
故选：C
二、多选题
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 对于独立性检验， 的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程
，则 的值分别是 和 0.3
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中， ，则
D. 通过回归直线 及回归系数 ，可以精确反映变量的取值和变化趋势
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.
【详解】对于 ，根据独立性检验的性质知， 的值越大，说明两个事件的相关程度越大，故 A 正确；
对于 ，由 ，两边取自然对数，可得 ，
，则 ，因为 ，所以 则 故 B 正确；
对于 ，由于回归直线过点 ，故 C 正确；
对于 ，通过回归直线 及回归系数 ，可预测变量的取值和变化趋势，故 D 错误.
故选：ABC.
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10. 已知函数 在 处的切线方程为 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 在区间 上的最大值和最小值之和为
C. 为 的极小值点
D. 方程 有两个不同的根（e 为自然对数的底）
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A：根据导数的几何意义列式求解即可；对于 BC：求导，利用导数求极值点和最值，进而分
析判断；对于 D：整理可得 ，构建函数，结合函数单调性分析函数零点，即可判断.
【详解】对于选项 A：由题意可知：函数 的定义域为 ，且 ，
则 ，解得 ，
所以 ，故 A 错误；
对于选项 C：因为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
则 为 的极小值点，故 C 正确；
对于选项 B：若 ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
可知 的最小值 ，且 ，即 的最大值 ，
所以 在区间 上的最大值和最小值之和为 ，故 B 正确；
对于选项 D：令 ，整理可得 ，
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令 ，
因为函数 与 在区间 内单调递增，
则 在区间 内单调递增，且 ，
所以 有且仅有一个零点 ，即方程 有一个解 ，故 D 错误.
故选：BC．
11. 已知点 为圆 上两动点，且 ，点 为直线 : 上动点，则
（ ）
A. 以 为直径的圆与直线 相离 B. 的最大值为
C. 的最小值为 8 D. 的最小值为 112
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，设 的中点为 ，连接 ，求出点 到直线 的距离的最小值进行判断，对于 B，
举例判断，对于 CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可.
【详解】对于 A，设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 ，
所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
所以点 到直线 的距离的最小值为 ，
因为 ，所以以 为直径的圆与直线 相离，所以 A 正确，
对于 B，如图，当直线 与直线 平行，且 共线时，则 为等腰三角形，
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此时 ，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 B 错误，
对于 C，因为 ,
所以
,
因为 ，
所以
，当 ， 共线，且 在 之间时取等号，
所以 的最小值为 8，所以 C 正确，
对于 D，因为 ，
所以 ，
所以
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，当 ， 共线，且 在 之间时取等号，
所以 的最小值为 112，所以 D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，
结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
三、填空题
12. 已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出 与 展开式中 的系数，再求和即可.
【详解】因为 为 展开式中 的系数，
展开式中 的系数为 ，
展开式中 的系数 ，
所以 ．
故答案为： .
13. 过点 作直线与抛物线 相交于 A，B 两点，若点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率
是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，当若直线 的斜率存在， ，将点代入抛物线方程后作差，将点
代入可得直线 的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论.
【详解】设 ，
若直线 的斜率存在，则 ，
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点 P 是线段 的中点， ，
∴ ，
，两式作差可得 ，
即 ，又 ，
，
直线 的方程是 ，即 ，
联立 ，可得 ，
方程 的判别式 ，
所以方程 有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
若直线 的斜率不存在，则直线方程为 ，此时线段 AB 的中点为 矛盾，
故答案为： .
14. 若二次函数 的图象与曲线 ： 存在公切线，则实数 的取值范
围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设公切线与 、 的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出 后构造函数，
利用导数判断单调性，求出最值即可求解.
【详解】由 可得 ，
由 可得 ，
设公切线与 的图象相切于点 ，
与 的图象相切于点 ，
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所以 ，即 ，
可得 或 ，
因为 ， ，则 ， ，即 ，
， ，
令 ，可得 ，
由 可得 ；由 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
四、解答题
15. 设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ，求 边上中线 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的
值；
（2）利用正弦定理可得出 的值，利用余弦定理得出 的值，利用中线向量可得出
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，利用平面向量数量积的运算性质可求出 的值，即为所求.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理得
，
即 ，
因为 、 ，则 ，即 ，可得 ，故 .
【小问 2 详解】
由正弦定理可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以， ，
因为 为 边上的中线，所以 ，
所以
，故 ，
因此， 边上的中线 的长为 .
16. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体
检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共 5 项流程，其中前 4 项流程选拔均通过，则被确认为有
效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有 1000 人，其中男生 600 人，
女生 400 人，各有 100 名学生有民航招飞意向.
（1）完成以下 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航
招飞意向与学生性别有关？
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
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男生
女生
合计
（2）若每名报名学生通过前 3 项流程的概率依次为 ，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这
600 名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这 400 名女生对民航招
飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为
），求这名学生对民航招飞有意向且通过前 3 项流程的概率.
附： .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）表格见解析，有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意中的数据分析，完成列联表，利用卡方的计算公式求出 ，结合独立性检验的思想
即可下结论；
（2）先求出通过前 3 项流程的概率，再分别求出男、女生对招飞有意向的概率，结合全概率公式计算即可
求解.
【小问 1 详解】
高三在校学生有 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人，各有 100 名学生有民航招飞意向.
所以高三男生对招飞有意向的有 100 人，没有意向的有 500 人，
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高三女生对招飞有意向 有 100 人，没有意向的有 300 人，
则列联表如下：
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生 100 500 600
女生 100 300 400
合计 200 800 1000
零假设为 ：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联，
因为 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关；
【小问 2 详解】
因为每名报名学生通过前 3 项流程的概率依次为 ，
所以每名报名学生通过前 3 项流程的概率为 ，
依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为 ，
甲地高三女生对招飞有意向的概率为 ，
由全概率公式得所求概率 .
17. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， ，将 沿着 BD 折起，连接 AC，使得
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 M 为棱 CD 的中点，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）线段 的中点，求证 平面 ，即可以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面
和平面 的法向量，再利用法向量的数量积为 即可证得；
（2）计算平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，再计算 即可.
【小问 1 详解】
证明：取线段 的中点，连接 ，
因四边形 为菱形，且 ，则 和 均为等边三角形，
则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴，在平面 内作 ，以 所在直线为 轴，建立空间
直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，得 ，
即 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 ，则 ， ，
则 ，
则平面 平面 .
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【小问 2 详解】
解：点 M 为棱 CD 的中点，则 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
又平面 的法向量为 ，
则 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
18. 已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）已知曲线 在点 处的切线分别交 x 轴和 y 轴于 A、B 两点，O 为坐标原点，若
，求 面积的最小值；
（3）证明： ．
【答案】（1）
（2） ．
（3）证明见解析
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【解析】
【分析】（1）代入得到 ，利用基本不等式即可求得最小值；
（ 2） 利 用 导 数 的 几 何 意 义 可 求 在 点 处 的 切 线 方 程 ， 求 出 与 x 轴 和 y 轴 的 交 点 ， 得 到
，令 对其求导，利用导数分析单调性可求最小值；
（ 3） ， 所 以 只 需 证 ， 代 入 构 造 新 的 函 数
，求导可证 ，由此可证 .
【小问 1 详解】
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
【小问 2 详解】
，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最小值为 ．
【小问 3 详解】
因为 ，所以只需证 ，
因为 ，
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令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
19. 已知椭圆 （ ） 离心率为 ，且经过点 .定义第 n（ ）
次操作为：经过 C 上点 作斜率为 k 的直线与 C 交于另一点 ，记 关于 x 轴的对称点为 ，若
与 重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）求 C 的方程；
（2）若 为 C 的左顶点，经过 3 次操作后停止，求 k 的值；
（3）若 ， 是 C 在第一象限与 A 不重合的一点，证明： 的面积为定值.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）设 ，则直线 的方程为 ，联立椭圆方程消去 y，结合 求
得 ，根据题设定义，利用对称性有 得
到方程，即可求参数值；
（3）由（2）易得 与 关于原点对称，结合椭圆对称性有 与 关于原点对称， 与 重合，进而有
是以 4 为周期的周期点列，得 的面积 等于 的面积，再应用点线距离公式、三
角形面积公式求面积.
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【小问 1 详解】
由题设有 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
小问 2 详解】
设 ，则直线 的方程为 ，与 的方程联立，
消去 得 .
因为 ，所以 .
因为 是它的一根，所以 ，
即 .（*）
若 ，经过 3 次操作后停止，即为 .
将 代入（*）式得， ，
因为 关于原点对称， ，所以 与 关于原点对称，
因为 与 关于 轴对称， 与 关于 轴对称，所以 与 关于原点对称，
所以 ，解得 ，
综上，当 时， .
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【小问 3 详解】
当 时，由（*）式得 ，同理 ，所以 与 关于原点对称.
如图，由椭圆的对称性可知， 与 关于原点对称， 与 重合，
所以 是以 4 为周期的周期点列，所以 的面积 等于 的面积.
因为直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到 、
的面积 等于 的面积为关键.
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