【数学】山东省名校考试联盟2026届高三上学期开学摸底考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A中，由，则不一定成立，即充分性不成立，
反之若，则一定成立，即必要性成立 ，
所以是的必要不充分条件，所以A不符合题意；
对于B中，由，则一定成立，即充分性成立，
反正若，则不一定成立，即必要性不成立 ，
所以是的充分不必要条件，所以B符合题意；
对于C中，由，则不成立，即充分性不成立，
反正若，则不成立，即必要性不成立 ，
所以是的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；
对于D中，由，则不一定成立，即充分性不成立，
反正若，则不一定成立，即必要性不成立 ，
所以是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意.
故选：B.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以
可知的虚部为.
故选：D.
3. 与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（ ）
A. 椭圆B. 双曲线的一支C. 抛物线D. 圆
【答案】C
【解析】记与圆外切的圆为圆，
设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，
因为圆与圆外切，所以，
设圆圆心到直线的距离为，则，
所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线.
故选：C.
4. 已知圆：，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】如图：
结合圆的性质可知：最长弦过圆心，所以；
当时，弦最短，此时.
且，所以四边形的面积为：.
故选：B.
5. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可得，
因为，所以，
因为，要使为整数，即为整数，
所以，共个，
即使得为整数的正整数的个数是.
故选：C.
6. 如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可设，
则
，
因为，所以，解得.
故选：A.
7. 若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期.
而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故.
所以.
故，因，所以.
因在上单调递增，
因此，即.
所以的值域为.
故选：D
8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，当时，，且，
令，则的图象是一条过定点的直线，
当时，不符合题意；
则，如图，当的图象经过时，
直线的斜率分别为，
不等式只有1个整数解，

由图可知.
故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面D. 平面
【答案】BC
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
因为正三棱台中，为等边三角形，四边形为等腰梯形，
且易知，所以四点共面，
且,
又，平面，
所以平面，即可知平面，可得C正确；
对于A，因为平面，因此，
若，且，平面，
所以可得平面，
显然与正三棱台底面中心的连线不平行，所以平面不成立，即A错误；
对于B，由正三棱台性质可知，又平面，平面，
所以平面，可知B正确；
对于D，若平面，
由平面，且平面平面，所以，
又因为是的中点，所以只有当时才成立，因此D不一定正确.
故选：BC.
10. 在中，，，则（ ）
A. B.
C. 周长的最大值为6D. 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】由正弦定理可化为，
则，故A正确；
由正弦定理可化为，
即，则，
因，则，故B错误；
因，则，得，
则，，等号成立时，故C正确；
因，则，得，
则，等号成立时，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】定义域为，有两个零点，可化为有两个解，
又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得，
设，则，在单调递增，
原方程可化为，
由于，，都在的单调增区间里，
所以，即，
设，，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，且恒大于0，
极大值，
可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，

由图像可得a的范围是，故A选项正确；
同样由图象可得，所以，故B选项正确；
，，
结合，可得，
设，由于，则单调递增,
所以，故C错误；
由于，
所以，
设，则,，
设，，
，
在单调递增，，
所以，
又由于，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】当时，，即切点坐标为，
且，
将代入可得，
即切线的斜率，
由直线的点斜式可得，
化简可得.
故答案为：.
13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为_____.
【答案】
【解析】如图，不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为，
因为，，
所以直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，即，
整理可得，解得，则，
在中，，所以，
两边平方可得，又，
所以，即，解得或（舍）.
故答案为：.
14. 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则_____.
【答案】
【解析】已知从1，2，3，4，5，6这6个数中随机抽一个数记为，每个数出现的概率相同，
则，
当时，是从中随机抽取的一个数，则服从离散均匀分布，
对于离散均匀分布，其期望公式为（其中a为最小值，b为最大值），
当时，只能取1，所以；
当时，从1，2中抽取，所以；
当时，从1，2，3中抽取，所以；
当时，从1，2，3，4中抽取，所以；
当时，从1，2，3，4，5中抽取，所以；
当时，从1，2，3，4，5，6中抽取，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若等比数列的各项均大于1，其前项和为，且，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】解：（1）设等比数列的公比为，
由已知可得，解得或，
因为等比数列的各项均大于1，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
.
16. 电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选.
方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金；
方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金.
假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响.
（1）分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率；
（2）要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明.
【答案】解：（1）设小明选择方案一获得奖金的概率为，
则，
设小明选择方案二获得奖金的概率为，
则，
（2）由
，
因为，所以，
即，
则，
故小明应选择第一种答题方案.
17. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，.
（1）若平面与平面的交线为，求证：；
（2）求证：；
（3）是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面与平面的交线为，
则平面，平面，
所以
（2）证明：因为平面，所以，
因为底面为正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以
（3）解：根据题意以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设四棱锥的外接球的球心，半径为，
所以，解得：，
所以，则，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，则，，
所以平面的法向量为
设与平面所成角为，则，
因为与平面所成角，则
所以与平面所成角的正切值
18. 已知椭圆定义两曲线E，F之间的最长距离为
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求．
【答案】解：（1）椭圆C的长半轴长为2，短半轴长为1，椭圆上距离原点最远的距离即为长半轴长，也即2．
（2）设椭圆上一点，圆的圆心为，半径，
根据两点间距离公式可得，
，
令，，则，
则当时，，
那么椭圆上的点到圆上的点的最远距离．
（3）椭圆上任取一点，椭圆上任取一点，，
则，
而，
则，令，，
，
其中，
而，
当且仅当取等号，
当时，，取，解得，
当时，，取，解得，
则，因此两椭圆上点的最远距离．
19. 已知函数.
（1）若，的最大值为4，求实数的所有可能取值；
（2）若，函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）当时，比较，6和这三个数的大小，并证明你的结论.
【答案】解：（1）若．
因为的最大值为4，当且仅当，且时取等号成立，
则，解得，其中．
（2）若，函数，
.
由于在上是单调函数，则或恒成立．
若，由于，则恒成立，
于是，因为，则，即，
若，由于，则恒成立，
于是，因为，则．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）当时，由（2）可知，
于是在上单调递增，则．
故当时，.
令可知，
将这个式子相加可得，
于是.
令，则在上单调递减，
且，则存在，使得．
则当时，；当时，，
于是在上单调递增，在上单调递减，而，
所以，即当时，．
于是.
综上所述，．