【数学】江西省创智协作体2026届高三上学期9月联合调研考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】由题可得复数，则.
故选：C.
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得：，即，
又，所以.
故选：A.
3. “”是方程“”表示双曲线的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则满足，解得或，
所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知向量，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：D.
5. 已知a，b为空间不重合的两条直线，为空间不重合的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，若，当，满足，如下图所示：
但此时相交，即A错误；
对于B，结合A中分析可知当时，满足，如下图所示：
但此时相交，即B错误；
对于C，如下图：
显然当时，成立，即C正确；
对于D，当时，满足，如下图所示：
但此时不成立，即D错误.
故选：C.
6. 将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，函数的最小正周期为
由为奇函数，可得,即，
因为，所以当时，.
故选：D.
7. 已知函数满足，且为奇函数，则（ ）
A. 3037B. 3034C. 3035D. 3036
【答案】C
【解析】因为，可得，
又因为为奇函数，令，可得，所以，
所以.
故选：C.
8. 设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（ ）
A. 32B. 24C. 20D. 36
【答案】A
【解析】对一切恒成立，
即，
或，
对于第一类：3必须居下面，7必须居上面，
分别取6，7时，分别取3，4，5，有种排列方法，
分别取5，7时，若，则，此时与3，4可全排列，
若，则，此时与3，4可全排列，共有种排列方法，
综上，第一类共有种排列方法，
同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 随机变量，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】随机变量，，，
则有，
所以，A正确；
，，当且仅当时等号成立，B错误；
，，当且仅当时等号成立，C正确；
，
当且仅当且，即，时等号成立，D正确.
故选：ACD.
10. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ）
A. B.
C. 与面积之比为3D. 面积为
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点为，
，即，解得，A选项正确；
抛物线，由，可得，.
直线MN的斜率为，则，B选项错误；
直线MN方程为，
代入抛物线中有，
则有，得，
，
与面积之比为，C选项正确；
，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则有（ ）
A. 若函数有2个极值点，则
B. 当时在处的切线与函数的图象有且仅有2个交点
C. 若对都有，则
D. 当函数的图象经过的象限最多时的取值范围为
【答案】BD
【解析】A选项，，若有两个极值点，则有两个不相等的实根，
即且，解得且，故A错误；
B选项，当时，，
所以，，在处的切线为，
令，即，解得或，故B正确；
C选项，若对都有，即有对称中心，
所以，解得，故C错误；
D选项，对于函数，
令，则，为奇函数，
当时，，当时，，
设，则与同号，
，，
当时，当时，，单调递减，，此时不经过第一象限，
当时， ，
存在，使得时，，单调递增，则，经过第三象限，
当趋于负无穷时，趋于正无穷，经过第二象限，
当趋于正无穷时，趋于正无穷，经过第一象限，
若要经过的象限最多，则希望当时，存在，
即，即，
由于，
当且仅当时，即时取等号，
所以，即，
所以时， 、经过四个象限，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为_________.
【答案】
【解析】依题意有，
，
令得，
所以常数项为，
故答案为：.
13. 在三棱锥中，平面于点，则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】如图，平面，平面，，
又，、平面，，
平面，又平面，，
又，、平面，，
平面，又平面，，
而，，
取中点，则在与中，
，
故点即为三棱锥外接球的球心，且其半径，
三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
14. 在中，角的对边分别为．则的面积为_______.
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
①，
，
②，
联立①②得：，
，，
，
，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 荔枝这种水果素有“红纱中裹着水晶丸”的美誉，不仅美味，而且还承载着丰富的文化历史.每批荔枝进入市场前都会进行检测.现随机抽取12箱荔枝，其中有6箱为一等品.
（1）现从这12箱中任取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列与期望；
（2）从这12箱荔枝中不放回地依次抽取3箱，求在第一次取到一等品的前提下后两次至少一次抽到一等品的概率.
【答案】解：（1）若随机抽取3箱，则
，，，
，
的分布列为
（2）设“第一次抽到一等品”为事件，“后二次至少一次抽到一等品”为事件.
，
16. 如图，四棱锥中，为等边三角形，，为上一点，且平面.

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连，由，所以为等腰梯形，
由余弦定理有：，
又，解得，，
所以，所以，
又平面，
所以平面，
又平面平面平面；
（2）解：由（1）知平面平面平面，以为原点，以分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设.
则，
过作交于点，连，则，在平面四边形中，
平面面，面面，
，平面四边形为平行四边形，
为中点.，
，
设平面的法向量为，
则有，取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）集合，将集合的所有非空子集中最小元素相加，其和记为，求.
【答案】解：（1）依题意，，
则时，，当时满足该等式.
（另解：.）
（2）由题意知，M的非空子集有个，
其中最小元素为2的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有，
含3个元素的集合有，，含n个元素的集合有，
故最小元素为2的子集个数有，
同理最小元素为3的子集个数有个，
，
最小元素为的子集个数有1个，
①
②
②－①得.
18. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点.
（i）求证点在定直线上；
（ii）设，求的最大值.
【答案】（1）解：依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为
，
椭圆方程为
（2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为，
联立和，
得，直线l过椭圆焦点，必有，
，
，直线方程为，
直线方程为，
联立两方程得，
，即点在定直线上；
（ii）解：依（i）有.设，若，
则，则，
.
故当时，的最大值为1.
19. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数.已知曲线.
（1）当时，求曲线在点处的曲率；
（2）已知曲线在不同的两点处的曲率均为0.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）解：.
则.
当时，.
则，所以.
（2）（i）解：依题意即（※）有两个不同的解.
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
.又或时，，
所以时方程（※）有两解.的取值范围为.
（ii）证明：由（i）知可设，且，
.欲证.
即证，
构造函数.
，在上单调递减，.
即，而，
令.
，
通分化简得，
欲证，即证.即证.
令在上单调递减.
.即证得在上单调递增，，
对于时，恒成立.
又当时，单调递增，，
.即证得.
0
1
2
3