北京市海淀区2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试题+答案

这是一份北京市海淀区2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试题+答案，共13页。试卷主要包含了11，1万元，0，1）当时，等内容，欢迎下载使用。
2025.11
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为
（A）（B）
（C）（D）
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
（A）（B）
（C）-4（D）4
（3）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
（A）5（B）6
（C）7（D）8
（4）设，且，则
（A）（B）
（C）（D）
（5）函数
（A）有最大值，也有最小值（B）没有最大值，有最小值
（C）有最大值，没有最小值（D）没有最大值，也没有最小值
（6）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则
（A）是偶函数（B）
（C）是奇函数（D）
（7）函数的图象可能是
（A） （B） （C） （D）
（8）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．若，则
（A）当时，（B）当时，
（C）当时，（D）当时，
（10）已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是
（A）存在，使得成立
（B）存在，使得且对任意成立
（C）对任意，存在，使得成立
（D）对任意奇数，存在和，使得成立
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域是______．
（12）已知等差数列中，，且，则的公差_______
（13）若向量，，则；________.
（14）设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为________，的最小值为________.
（15）某社区内有一扇形草坪（如图），扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米
给出下列四个结论：
①当时，；
②函数在区间上单调递增；
③方程在区间上恰有一个根；
④若函数在处取得最小值，则其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值．
（17）（本小题14分）
已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的通项公式；
（Ⅲ）若的各项都为正数，记，求．
（18）（本小题14分）
已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使得唯一确定，求：
（Ⅰ）曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）函数的单调区间．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题14分）
某城市公园计划将园内三角形区域（如图）建造为多功能区，其中米，
米，．
（Ⅰ）求的长度；
（II）公园拟在边上设置休息点（与，不重合），同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）。
（i）将表示为的函数；
（ii）若不超过48万元，求的最大值．（只需写出结论）
（20）（本小题14分）
已知函数有两个极值点．记，．
（Ⅰ）若点在直线上，求的值；
（Ⅱ）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围．
（21）（本小题15分）
给定正整数，已知是一个行列的数表，其中
．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质：
①对任意，有；
②对任意，且，有；
③对任意，有．
（Ⅰ）判断数表是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）若数表具有性质，求的最小值；
（Ⅲ）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）。
北京海淀区2025-2026学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）D （3）A （4）D （5）B
（6）B （7）C （8）C （9）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15） = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3② = 4\* GB3 ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）因为
所以


，
因为的单调递增区间为，
令，
所以，
所以函数的单调递增区间为.
（Ⅱ）令，，
因为，所以.
再令，，
因为，所以，
所以.
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）因为，令，化简得.
所以，或.
（Ⅱ）当时，，，
所以，
当时，，
所以 .
因为，所以，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
当 时，，
所以.
（Ⅲ）因为，所以，
所以.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）选择条件 = 2 \* GB3 ②
因为，
所以.
所以，
所以，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程
即.
选择条件 = 3 \* GB3 ③
因为，
所以，
所以.
所以，
所以，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（Ⅱ）函数的定义域为，
因为，
令，得， ，
当变化时，的变化情况如下表：
函数的单调递增区间为，
单调递减区间为.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）在三角形中，
由余弦定理 ，
代入，得到，
解得.
（Ⅱ）因为，
所以
在三角形中，
由正弦定理
所以，
，
又
所以


，
其中 .
( = 2 \* rman ii) 的最大值为.
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为，
当时，，函数无极值
当时，令， ，
所以的变化情况如下表

又点在直线上，
所以，
所以.
（Ⅱ）法一：
由（Ⅰ）得，，
所以线段的中点为
设，
因为△是以为顶点的等腰三角形，
所以，所以
又，，
所以，
即.
设，
所以函数存在零点.
因为，
令，解得，
所以的变化情况如下表

所以.
因为时，由可得，
所以存在零点当且仅当.
解得
所以的取值范围是.
法二：
由（Ⅰ）得，，
所以线段的中点为
设，
因为△是以为顶点的等腰三角形，
所以，所以
又，，
所以，
即.
设，
所以函数存在零点.
因为，
令，解得，
所以的变化情况如下表

所以.
因为时，由可得，
所以函数存在零点即.
解得
所以的取值范围是.

（21）（共15分）
解：（Ⅰ）数表不具有性质，
因为取，则有，不满足条件③.
（Ⅱ）由①②，
数表中的元素总和为.
设 ，
又由③，有（），解得.
又当时，可构造数表 具有性质，
所以的最小值为.
（Ⅲ）（1）当时，
由（Ⅱ）知，
所以的最大值为.
（2）当时，
因为，
所以.
若，则，矛盾.
所以.
所以.
（2.1）当时，
若，则，，
此时，矛盾.
所以.
又可构造数表具有性质， 且，
所以的最大值为7.
（2.2）当时，
可构造数表具有性质，且，
所以的最大值为. 2
无定义
极大值
无定义
极小值
极大值
极小值
极大值


极大值