浙江省杭州市2026届高三上学期教学质量检测数学试卷(杭州一模)（含答案）

这是一份浙江省杭州市2026届高三上学期教学质量检测数学试卷(杭州一模)（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，则2+ii=( )
A. 1+2iB. 1-2iC. 2-iD. -1+2i
2.设集合M={1,2}，N={x∈N*|6x∈N*}，则M∩N=( )
A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}
3.设向量a=(2,x)，b=(2+x,2x).若a⋅(2a-b)=0，则x=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载(用现代文表达):今有牛、羊、猪各数头(各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为( )
A. 12B. 15C. 18D. 21
5.已知函数f(x)(x∈R).若对于任意的等差数列{an}，总有{f(an)}是等差数列，则称函数f(x)具有“保等差性”.函数f(x)可能是( )
A. f(x)=2xB. f(x)=x2C. f(x)=sinxD. f(x)=2x+1
6.设样本数据x1，x2，⋯，x2025的平均数，中位数，众数和标准差分别为a，b，c，d.当i=12025(xi-k)2取到最小值时，k=( )
A. aB. bC. cD. d
7.若圆C经过A(1,1)，B(2,-2)，圆心在直线x-y+1=0上，则圆C的面积为( )
A. 16πB. 25πC. 36πD. 49π
8.设函数f(x)=x3+3x2+6x+5，若f(a)=15，f(b)=-13，则a+b=( )
A. 2B. 1C. -1D. -2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(2x+1x)5的展开式中，( )
A. 常数项为20B. 含x的项的系数为80
C. 各项系数的和为32D. 各项系数中的最大值为80
10.设函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)，则( )
A. f(π3)=2B. f(x)的最小正周期是π
C. f(x)的值域是[-1,3]D. f(x)在区间(π3,π2)上单调递增
11.已知函数y=f(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数.例如f(1)=1，f(4)=3.则下列选项正确的是( )
A. f(6)=4 B. f(2025)=20
C. k=120251f(6k)4)=0.36，则P(2≤X≤4)= ．
13.函数f(x)=f(2)4x2+f(1)x-1在[12,2]上的最小值为 ．
14.过点F(- 2, 2)的直线l与圆O:x2+y2=1相切于点M，与曲线y=-1x(x>0)交于点R.若FR的中点为N，则|ON|-|MN|= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}满足a4=7，a6=11．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}的前n项和为Sn，且bn+1=Sn+2.令cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin(A-C)=sinB.
(1)若C=π4，c=1．
(ⅰ)求tanA;
(ⅱ)求b;
(2)求tan(A-C)的最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex+e-x2，f'(x)为f(x)的导数，其中e为自然对数的底数．
(1)求[f(x)]2-[f'(x)]2;
(2)证明：当x∈(0,+∞)时，f'(x)>x;
(3)设n∈N*，对任意的xi>1(i=1,2,⋯,n)，若x1x2⋯xn=e2，求证：x1+x2+⋯+xn-(1x1+1x2⋯+1xn)>4．
18.(本小题17分)
已知F(1,0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过F作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在x轴上方.当AB⊥x轴时，|AB|=3．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P(4,0)，
(ⅰ)求证：∠APF=∠BPF;
(ⅱ)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点(异于M)，若MF平分∠AMB，且1|NA|+1|NB|= 3|NF|，求cs∠ANB的值．
19.(本小题17分)
现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成(如图所示)，假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以1∼6标号.在棋盘上，以O为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(1,0).棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子n次，用Xn表示第n次投掷后棋子的位置(X0为坐标原点)，规定：OXn={OXn-1→+uk→,第n次掷得奇数,OXn-1→,第n次掷得偶数,其中向量uk=(cs2kπ3,sin2kπ3)(k∈Z)，k为前n次投掷过程中，掷得偶数的总次数．
(1)求点X2所有可能的坐标;
(2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率;
(3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为r(0≤r≤80)的概率为p(r)，求p(r)的表达式，并指出当r为何值时，p(r)取得最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.D
6.A
7.B
8.D
9.BD
10.ABC
11.ACD

13.2
14. 3- 2
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
则a4=a1+3d=7a6=a1+5d=11，解得d=2a1=1,
所以等差数列{an}的通项公式为：
an=1+(n-1)×2=2n-1；
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
已知bn+1=Sn+2(Sn为等比数列{bn}的前n项和)，
当n=1时，b2=S1+2=b1+2，
当n≥2时，由bn=Sn-1+2，与bn+1=Sn+2相减得：
bn+1-bn=(Sn+2)-(Sn-1+2)=Sn-Sn-1=bn，
即bn+1=2bn(n≥2)，则q=2，
由b2=qb1=2b1，结合b2=b1+2，得：b1=2，
所以等比数列{bn}通项公式为：bn=2×2n-1=2n，
由cn=an+bn=(2n-1)+2n，
可知数列{cn}的前n项和为等差数列{an}的前n项和与等比数列{bn}的前n项和之和：
等差数列{an}的前n项和：San=n(1+2n-1)2=n2，
等比数列{bn}的前n项和：Sbn=2(1-2n)1-2=2(2n-1)=2n+1-2，
所以数列{cn}的前n项和：
Tn=San+Sbn=n2+2n+1-2．
16.解：(1)(ⅰ)因为A+B+C=π，
所以B=π-(A+C)，则sinB=sin(A+C)，
因为2sin(A-C)=sinB，所以2sin(A-C)=sin(A+C)，
则2sinAcsC-2csAsinC=sinAcsC+csAsinC，
即sinAcsC=3csAsinC，
因为C=π4，所以csC=sinC= 22，所以sinA=3csA，
因此tanA=sinAcsA=3；
(ⅱ)由(ⅰ)知tanA=3，
故sin A=3 1010，cs A= 1010，
因为C=π4，所以csC=sinC= 22，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，代入得：
sin B=3 1010× 22+ 1010× 22=2 55，
由正弦定理bsinB=csinC，得b=sin B·csin C=2 55·1 22=2 105；
(2)由(1)(ⅰ)知sinAcsC=3csAsinC，
两边除以csAcsC(A,C∈(0,π),csA≠0,csC≠0)，得tanA=3tanC，
设t=tanC(t>0，因为C∈(0,π2)，否则A+C>π，与三角形内角和矛盾)，
则tanA=3t，
又tan (A-C)=tan A-tan C1+tan Atan C=2t1+3t2=23t+1t，
因为3t+1t⩾2 3t·1t=2 3(当且仅当3t=1t，即t= 33时取等号)，
所以tan(A-C)≤22 3= 33，即tan(A-C)的最大值为 33．
17.解：(1)函数f(x)=ex+e-x2，求导得：f'(x)=ex-e-x2，
则[f(x)]2-[f'(x)]2=ex+e-x22-ex-e-x22=1；
(2)要证当x∈(0,+∞)时，f'(x)>x，即证ex-e-x2>x，等价于证ex-e-x>2x，
构造函数g(x)=ex-e-x-2x，x∈(0,+∞)，
求导得：g'(x)=ex+e-x-2，
因为ex+e-x⩾2 ex·e-x=2，当且仅当x=0时取等号，
因为x>0，故g'(x)=ex+e-x-2>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(0)=e0-e0-0=0，因此当x>0时，g(x)>g(0)=0，即ex-e-x>2x，
故ex-e-x2>x，即f'(x)>x成立，
所以当x∈(0,+∞)时，f'(x)>x，得证；
(3)证明：设h(t)=t-1t，t>1，
求导得h'(t)=1+1t2>0，故h(t)在(1,+∞)上单调递增，
由xi>1，令ti=lnxi(ti>0)，则xi=eti，且i=1nti=ln(x1x2⋯xn)=lne2=2，
代入h(xi)得：h(xi)=xi-1xi=eti-1eti=eti-e-ti=2f'(ti)，
因此：i=1nxi-1xi=i=1nh(xi)=2i=1nf'(ti)，
由(2)知，当t>0时，f'(t)>t，结合ti>0，得：i=1nf'(ti)>i=1nt i=2，
两边乘2得：2i=1nf'(ti)>4，
故i=1nxi-1xi>4，即x1+x2+⋯+xn-(1x1+1x2⋯+1xn)>4，得证．
18.解：(1)由题知，AB=2b2a=3，又a2=b2+1，解得a=2，
故椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)(ⅰ)证明：记A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意知y1>0，y2