四川省自贡市荣县中学2026届高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 已知命题 ，则 为（ ）
A ， B. ，
C. ， D. ，
2. 复数 ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 5
3. 曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 已知数列 是首项为 5，公差为 2 的等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则
这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
7. 若函数 单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A B. C. D.
8. 已知 为等腰直角三角形，AB 为斜边， 为等边三角形，若二面角 为 ，则
直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
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二、多选题
9. 若 ．且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 随机变量 X，Y 分别服从正态分布和二项分布，即 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11. 若 ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
12. 已知向量 ， ，若 ，则 ________，若 ，则 ________．
13. 函数 在 上的最大值是______．
14. 对于任意两个正实数 a，b，定义 ，其中常数 ．若 ，且 与
都是集合 的元素，则 __________．
四、解答题
15. 如图，直三棱柱 中， ， 是 的中点， 是 的中
点．
（1）证明：直线 直线 ;
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（2）求直线 与平面 所成的角的大小．
16. 2021 年，中国新能源汽车销售火爆，A 省相关部门调查了该省 2021 年 1 月份至 10 月份的新能源汽车销
量情况，得到一组样本数据（ ， ）（i＝1，2，…，10），其中 表示第 i 个月， 表示第 i 个月 A 省新
能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y 与 x 具有线性相关关系，并将这 10 个月的数
据作了初步处理，得到下面一些统计量的值：
1.5 89.1 385 15
（1）建立 y 关于 x 线性回归方程，并估计 A 省 12 月份新能源汽车的销量；
（2）为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A 省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所
有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别
奖励 2 万元、1 万元、5 千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为 ， ， ．现有甲、乙两家汽
车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额 X（单位：万元）
的分布列及数学期望．
附：对于一组数据（ ， ），（ ， ），…，（ ， ），其回归直线 斜率和截距的最小二
乘估计分别为 ．
17. 在△ 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， ， .
（1）求 值；
（2）求△ 的面积.
18. 已知二阶行列式 ，三阶行列式 ，其中 分
别为 的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
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（1）计算 ．
（2）设函数 ．
①若 的极值点恰为等差数列 的前两项，且 的公差大于 0，求 ；
②若 且 ，函数 ，证明： ．
19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底， .
（1）求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在请说明理由.
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