2025北京丰台高一上学期期中数学试卷和答案

这是一份2025北京丰台高一上学期期中数学试卷和答案，共8页。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
集合{x  Z | 1  x 1  3} 用列举法可表示为
（A）0,1, 2, 3
（B）1, 2, 3
（C）0,1, 2, 3, 4
（D）1, 2, 3, 4
已知集合 A  {x | x2  x  0},下列说法正确的是
（A）  A（B） 1 A
命题x  1, x2  2x  3  0 的否定是
（C）1  A
（D） A  0,1
（A） x  1, x2  2x  3  0
（C） x  1, x2  2x  3  0
下列函数是幂函数的是
3
（B） x  1, x2  2x  3  0
（D） x  1, x2  2x  3  0
xx2 1
y  2 x
y  x
y  (2)（C） y  2
（D）()
3
若a  b  0 ，则下列不等式成立的是
（A） a2  b2（B） b  1（C） 1  1（D） ab  b2
aab
“ x  3 ”是“ | x | 3 ”的
充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
函数 f (x)  2x  2 的图象大致为
x
（A）（B）（C）（D）
若不等式 ax2  c  0 的解集为{x | 2  x  2}，则对于函数 f (x)  ax2  c 有
（A） f (4) 
f (0) 
f (2)（B） f (0) 
f (4) 
f (2)
（C） f (0) 
f (2) 
f (4)（D） f (2) 
f (0) 
f (4)
若关于 x 的不等式 ax2  ax  4  0 的解集是R ，则 a 的取值范围是
（A） (0,16)（B）[0,16)
(16, )
(16, )
（C） (, 0)（D） (, 0]
（10）设函数 （f x） x2  (2k 2  4)x  5 (k  R) .若当 k [1, 2] 时，对于任意 x1 [k, k  m] ，
x2 [k  2m, k  4m]，都有 f (x1)  f (x2 ) ，则实数 m 的最大值为
7
（A）
10
4
（B）
5
（C）1（D）2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
函数 f (x) 
x  2 的定义域为．
x 1
设 f (x)  x  2 (x  0) ，则当 x =时， f (x) 取得最小值，最小值为．
x

1
3 27 +25 2  20250 = ．
已知函数 f (x)  1 | x 1|在[1, m] 上的值域为[1,1] ，则实数 m 的取值范围是．
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数
1, x为有理数，

f (x)   0，x为无理数 称为狄利克雷函数，则关于 f (x) ，给出下列四个结论：
① f (x) 的值域为[0,1] ；
② x  R, f ( f (x))  1 ；
③ x  R, f (1 x)  f (1 x) ；
④任意一个非零有理数T ， f (x  T )  f (x) 对任意 x  R 恒成立.其中所有正确结论的序号是.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知集合 A  {x | 1  x  4} ， B  {x | x  0}.
求 AB ， AB ；
求 A( R B) ， B( R A) .
（17）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x  0 时， f (x)  1 x2  x .
2
（Ⅰ）求 f (1) ， f (2) 的值；
在平面直角坐标系中，画出函数 f (x) 在区间[4, 4] 上的图象；
写出一组 m，n，a 的值，使得不等式 f (x)  ax 在区间[m, n] 上恒成立.
（18）（本小题 14 分）
已知二次函数 f (x)  x2  ax  2 ．
当 a  3 时，求不等式 f (x)  0 的解集；
解关于 x 的不等式 f (x)  x  2  a ．
（19）（本小题 15 分）
某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量 y （单位：万件）与售价 x （单位：元/件）之间满足函数关系 y  32  x .已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为 70 万元，制造成本为 12 元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.
（利润=销售量×售价-生产成本）
求该电子产品第一年的利润 W（单位：万元）与售价 x 之间的函数关系式；
已知第一年利润不低于 30 万元，求该电子产品第一年的售价；
在（Ⅱ）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降 3 元/件，直接成
本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于 25 元/件，求第二年利润的最大值.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) 
求 a 和b 的值；
x  a x2  b
是定义在[1,1] 上的奇函数，且 f (1)  1 .
2
判断 f (x) 在[1,1] 上的单调性，并用定义证明；
设集合 A  {y | y  f (x)}，函数 g(x)  kx 1(k  0) 在区间[1,1] 上的值域为 B ，若 x  A 是 x  B
的充分不必要条件，求实数 k 的取值范围.
（21）（本小题 15 分）
设 m, n  N ， n  m ，集合 S  {x  N* | m  x  n} .若集合 S 的任意两个子集 A,B 满足以下条件：① A B  S, A B   ；②“存在 a, b, c  A ，使得 ab  c ”与“存在 a, b, c  B ，使得ab  c ”至少有一个成立，则称 S 是好集合.
（Ⅰ）判断集合T  {1, 2, 3},U  {2, 3, 4} 是否为好集合；
若 m  2 ，S 不是好集合，证明： n  31 ；
若 m  3 ，S 是好集合，证明：n 的最小值为 243.
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
答案
C
B
D
A
C
A
D
C
B
B
2
（11){x | x  2 且 x  1}(12) (14)[1, 3](15)②③④
2
， 2
11
(13)
5
三、解答题共 6 小题，共 85 分。
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ） AB  {x 1  x  0} ，
 R B  {x
B  {x x  4}，………6 分
（Ⅱ）
R B  {x x  0} ， A
0  x  4} ，
R A  {x | x  1或 x  4}，
( R A)  {x | x  0 或 x  4}13 分
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，
所以 f (1)  f (1)   1 ， f (2) 
2
f (2)  04 分
答案略.
（图象上有点(4, 4),(2, 0),(1,  1),(0, 0) 以及对称性）………9 分
2
答案略.
（写出一组 m,n 的值，且0 [m, n] ，给 2 分，a 的值能使 f (x)  ax 成立，再给 2
分）………13 分
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）当 a  3 时， f (x)  x2  3x  2 ， 令 x2  3x  2  0 得 x1  2，x2  1 ，
函数 f (x) 的图象为：
所以不等式 x2  3x  2  0 的解集为x | x  2或x  1. ………6分
由题意得 x2  ax  2  x  2  a ,
整理得， x2  (a 1)x  a  0 ，即(x  a)(x 1)  0 ，
令(x  a)(x 1)  0 ，解得 x1  a，x2  1.
当 a  1，即 a  1 时，不等式(x  a)(x 1)  0 的解集为x | x  1或x  a；当 a  1，即 a  1 时，不等式(x  a)(x 1)  0 的解集为x | x  1；
当 a  1，即 a  1 时，不等式(x  a)(x 1)  0 的解集为x | x  a或x  1.………14分
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）依题意，得销售额为 xy  x(32  x) 万元， 生产成本为直接成本加制造成本与销售量的乘积，即[70  12(32  x)] 万元.
根据利润=销售额-生产成本，列式可得：
W  x(32  x) [70 12(32  x)]  x2  44 x  454
(12  x  32)………5 分
（Ⅱ）已知第一年利润不低于 30 万元，即 w  30 ，所以 x2  44x  454  30
（x  22）2  0
所以 x  22 ，
所以电子产品第一年的售价为 22 元/件9 分
依题意，得第二年的售价22  x  25 ，
将第一年售价 22 元/件代入W  x2  44 x  454 ,可得第一年利润W  222  44  22  454  30 万
元.
设第二年的利润为W2 万元，
则W2  x(32  x) [30  9(32  x)]  x2  41x  318
所以，抛物线开口向下，对称轴为 x  41 ，
2
所以函数W2  x2  41x  318 在区间[22,25] 上单调递减，
所以当 x  22 时W2 有最大值，且最大值为 222  41 22  318  100 万元.…15 分
（20）（本小题 15 分）解：
因为函数 f (x)  x  a 是定义在1，1上的奇函数，所以 f (0)  0 ，
x2  b
 0  a
又 f（1） 1 ，所以 02  b
 0，a  0，

解得
 2

2 1  a
1  b
 1 ， 2
b  1，
此时，所以 f (x) 
x
x2  1 ，
因为 f (x) x
（ x）2  1
 x x2  1
  f (x) ,
所以 f (x) 
x
x2  1
是奇函数，满足题意，所以 a  0, b  14 分
由（Ⅰ）知 f (x) 
x
x2  1
，所以 f (x) 在1，1上单调递增，证明如下：
设任意 x1, x2 [1,1] ，且 x1  x2 ，则
f (x1)  f (x2 ) 
x1
1
x 2  1
x2
2
x 2  1
x (x 2  1)  x (x 2  1)
 1 22 1
(x 2  1)(x 2  1)
12
 (x2  x1 )(x1x2  1)
(x 2  1)(x 2  1)
12
因为1  x1  x2  1，所以 x1 x2  1 ， x2  x1  0 ， x 2  1  0, x 2  1  0
12
f (x )  f (x )  (x2  x1 )(x1x2 1)  0
所以12
(x 2  1)(x 2  1)，
12
即 f (x1)  f (x2 ) ，所以 f (x) 在[1,1] 上单调递增9 分
因为 x  A 是 x  B 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B
由 f (x) 在[1,1] 上单调递增，可得 f (1)  f (x)  f（1），即 1  f (x)  1 ，
22
所以 A  [ 1 , 1 ] .
2 2
由函数 g(x)  kx 1(k  0) 在区间[1,1] 上单调递增，所以 B  [k  1, k  1]
 k 1   1 ，

因为 A ⫋ B ，所以


k 1 
2 ，所以 k  3 ，
1 ，2
2
当 k  3 时，符合题意.
2
所以实数 k 的取值范围为[ 3
2
（21）（本小题 15 分）
,）.………15 分
解：（Ⅰ）T 是好集合；U 不是好集合4 分
假设 n  32 , S  {2，3, 4,, n}，集合 S 的两个子集 A 与 B 满足 AB  S, AB   ，且这两个集合都不包含整数 a,b,c，使得 ab=c，不妨设2 A ，则必有22  4  B .
如果 23  8  A ，则因为 24  2  23  22  22  16 ，所以必有一个子集含整数 a,b,c（不一定相异）使得
ab=c，矛盾.
如果 23  B ，则 22  23  25  32  A ,进而25  2  24  16  B ，
此时 24  22  22  16 矛盾.
所以 n  318 分
首先证明 n  243 ,
当 n  243 时， S  {3, 4,, n} ，集合 S 的两个子集 A 与 B 满足 AB  S, AB   ，且这两个集合都不包含整数 a,b,c，使得 ab=c，
不妨设3  A ，则必有32  B .
如果33  A ，则因为34  3  33  32  32 ，
所以必有一个子集含整数 a,b,c（不一定相异）使得 ab=c，矛盾.
如果33  B ，则32  33  35  A ,进而35  3  34  B ，此时34  32  32 矛盾.所以 n  243 ，集合 S 一定是好集合.
当 n  242 时，令 A  {9,10,,80}S , B  S A ，A 与 B 都不包含整数 a,b,c（不一定相异）使得 ab=c，即此时 S 不是好集合.
所以满足 S 是好集合，n 的最小值为 243.………15 分