北京市丰台区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案

丰台区2021—2022学年度第一学期期末练习   2022.01

高一数学

第一部分 （选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知函数，那么

（2）已知集合，，那么集合可能是

（3）已知，，那么下列结论成立的是

（4）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是

（5）下列函数中，最小正周期为的是

（6）已知，那么的最小值是

（7）已知函数那么“”是“函数是增函数”的

（8）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知两次地震的能量与里氏震级分别为与，若，则

（9）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．

收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，进攻球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过四个点中的某一点并命中，依然忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是

（10）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是

第二部分 （非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知幂函数的图象经过点，那么    ．

（12）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称．若，则    ．

（13）已知命题“，”是真命题，那么实数的取值范围是    ．

（14）函数的最小值是    ．

（15）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横、纵坐标分别为第名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，．给出下列四个结论：

①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；

②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；

③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；

④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少．

其中所有正确结论的序号是    ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知不等式（R）的解集．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若集合，求，．

（17）（本小题14分）

已知，且是第二象限角．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

（18）（本小题14分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的定义域;

（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明；

（Ⅲ）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．

（19）（本小题14分）

一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费. 这种病毒开机时占据内存，每3分钟后病毒所占内存是原来的倍．记分钟后的病毒所占内存为．

（Ⅰ）求关于的函数解析式；

（Ⅱ）如果病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．

（20）（本小题15分）

已知函数，．

（Ⅰ）在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

在答题卡相应位置完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

（Ⅱ）写出函数的单调递增区间；

（Ⅲ）求函数在区间上的值域．

（21）（本小题15分）

已知为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：

；

.

（Ⅰ）当时，设，写出，并计算；

（Ⅱ）若集合满足，且，，求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，并证明你的结论；

（Ⅲ）若，且，任取，求 的值.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2021～2022学年度第一学期期末练习

高一数学参考答案

2022. 01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．                      12．

13．                  14．0

15．①②④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为不等式的解集为，

         所以是方程的两个实数根.           ………… 2分

         则有                                           .…………4分

解得.                                         .………… 6分

（Ⅱ） 因为，，

       所以.                                    .………… 8分

       ，                                             .…………10分

.                                               .………… 13分

17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为，

         所以.                                 .………… 4分

         因为是第二象限角，

         所以.                                                .………… 6分

（Ⅱ）.                   .………… 14分

18．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）根据题意，有 得.                         

         所以函数的定义域为.                                .………… 3分

（Ⅱ） 函数为偶函数.                                             ..………… 4分

证明：函数的定义域为，关于原点对称，

      因为，

      所以为偶函数.                                        ..………… 8分

（Ⅲ）函数在区间上单调递减.                                  .………… 9分

      证明：

                         ，

              因为

              所以.

              所以，即.

              所以函数在区间上单调递减.                       .………… 14分

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）根据题意，得.                                 .………… 6分

（Ⅱ）因为病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，

      故有，解得.                                  

      所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟.                  .………… 14分

20．（本小题共15分）

解：（Ⅰ）

函数图象略.                                                   .………… 5分

（Ⅱ）证明：令，，

            得，.

所以函数的单调递增区间：，. .………… 10分

（Ⅲ）因为，所以.

      所以.

      当，即时，；

      当，即时，.

  所以函数在区间上的值域为.                 .………… 15分

21．（本小题共15分）

解：（Ⅰ），                                   .………… 4分

（Ⅱ）最大值是4.

此时 或.

若还有第5个元素，则必有 和 和 和 之一出现，其对应的，不符合题意.       .………… 10分

（Ⅲ）证明：设，，，

所以，，

从而，

又，

当时，；

当时，.

所以，

所以.                                        .…………15分

（若用其他方法解题，请酌情给分）